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| Aufgabe | Berechne den Inhalt der Fläche mit Hilfe der Unter- bzw. Obersumme
$ [mm] f(x)=2x^2+4 [/mm] $
Begrenzung: [1;3] |
Hallo,
ich schreibe am Mittwoch eine Klausur und bin gerade am lernen.
Integralrechnung ist das allgemeine Thema und eigentlich kann ich das auch recht gut. Aber unser Lehrer meinte, dass wir auch den Weg für Unter- bzw. Obersumme können müssen.
Und genau da hab ich das Problem. Ich weiß nicht mehr genau wie man das macht.
Ich kann die Fläche nur [mm] \integral_{1}^{3}{2x^2+4} [/mm] so berechnen.
Da wäre die Stammfunktion [mm] F(x)=\bruch{2}{3}*x^3+4x
[/mm]
$ [mm] \bruch{2}{3}\cdot{}3^3+4\cdot{}3-(\bruch{2}{3}+4) [/mm] $
25,33 ist die Lösung dann bzw. der Flächeninhalt.
Es wäre super, super nett, wenn mir jemand den Weg einmal Schritt für Schritt erklären könnte.
Eigentlich würde es mir bis zu dem Punkt reichen, wo k - oder auch m genannt - bekannt ist. Also ab dem Punkt wenn ich k in die entsprechenden Formeln einsetze. Z.B. [mm] \bruch{K*(K+1)*(2K+1)}{6}
[/mm]
Den Weg ab dort bis hin zum Limes kann ich auch.
Falls jemand die Zeit fände, mir das ganze, bitte schritt für schritt und verständlich, aufzuschreiben, wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße, TryingHard
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> Berechne den Inhalt der Fläche mit Hilfe der Unter- bzw.
> Obersumme
> [mm]f(x)=2x^2+4[/mm]
> Begrenzung: [1;3]
Hallo,
um die Ober- oder Untersumme auszurechnen, teilst Du das Intervall zunachst in k gleichgroße Stücke (Intervalle)
Die Länge Deines Intervalls ist 3-1=2, also ist jedes dieser Stücke [mm] \bruch{2}{k} [/mm] lang, und Dein Intervall besteht aus den Teilintervallen
[mm] I_1=[1,1+\bruch{2}{k})=[\bruch{k}{k},\bruch{k+1*2}{k})
[/mm]
[mm] I_2=[1+\bruch{2}{k},1+2*\bruch{2}{k})=[\bruch{k+1*2}{k},\bruch{k+2*2}{k})
[/mm]
[mm] I_3= [\bruch{k+2*2}{k},\bruch{k+3*2}{k})
[/mm]
...
[mm] I_k=[\bruch{k+(k-1)*2}{k},\bruch{k+K*2}{k}]=[\bruch{k+(k-1)*2}{k},3]
[/mm]
Nun definierst Du für die Untersumme eine neue Funktion [mm] f_u, [/mm] eine Treppenfunktion, und zwar abschnittweise auf diesen Teilintervallen:
[mm] f_u(x)=\begin{cases} f(1), & \mbox{für } x \in[1,1+\bruch{2}{k}) \mbox{ } \\ f(1+\bruch{2}{k}), & \mbox{für } x \in [\bruch{k+1*2}{k},\bruch{k+2*2}{k}) \mbox{ }\\ f(1+2*\bruch{2}{k}), & \mbox{für } x \in [\bruch{k+2*2}{k},\bruch{k+3*2}{k}) \mbox{}\\ ...\\f(\bruch{k+(k-1)*2}{k}), & \mbox{für } x \in [\bruch{k+(k-1)*2}{k},3] \mbox{}\end{cases}
[/mm]
Um die Fläche unter der Treppenfunktion [mm] f_u [/mm] auszurechnen, summierst Du die Flächeninhalte der k Streifen. Jeder der Streifen ist 2k breit, 2k*Funktionswert ergibt die Fläche.
Wenn ich Dich richtig verstehe, kommst Du ab hier alleine weiter.
Sonst: fragen.
Gruß v. Angela
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Hallo TryingHard,
> Berechne den Inhalt der Fläche mit Hilfe der Unter- bzw.
> Obersumme
> [mm]f(x)=2x^2+4[/mm]
> Begrenzung: [1;3]
> Hallo,
>
> ich schreibe am Mittwoch eine Klausur und bin gerade am
> lernen.
> Integralrechnung ist das allgemeine Thema und eigentlich
> kann ich das auch recht gut. Aber unser Lehrer meinte, dass
> wir auch den Weg für Unter- bzw. Obersumme können müssen.
> Und genau da hab ich das Problem. Ich weiß nicht mehr genau
> wie man das macht.
>
> Ich kann die Fläche nur [mm]\integral_{1}^{3}{2x^2+4}[/mm] so
> berechnen.
>
> Da wäre die Stammfunktion [mm]F(x)=\bruch{2}{3}*x^3+4x[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{3}\cdot{}3^3+4\cdot{}3-(\bruch{2}{3}+4)[/mm]
>
> 25,33 ist die Lösung dann bzw. der Flächeninhalt.
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>
> Es wäre super, super nett, wenn mir jemand den Weg einmal
> Schritt für Schritt erklären könnte.
> Eigentlich würde es mir bis zu dem Punkt reichen, wo k -
> oder auch m genannt - bekannt ist. Also ab dem Punkt wenn
> ich k in die entsprechenden Formeln einsetze. Z.B.
> [mm]\bruch{K*(K+1)*(2K+1)}{6}[/mm]
> Den Weg ab dort bis hin zum Limes kann ich auch.
>
> Falls jemand die Zeit fände, mir das ganze, bitte schritt
> für schritt und verständlich, aufzuschreiben, wäre ich sehr
> dankbar.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Flächenbestimmung in unserer MatheBank
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