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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Sa 14.05.2011 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | Sei V VR, U, W UVR von V. Welche Aussagen sind wahr, welche falsch? (Beweis oder Gegenbeispiel)
a) V endlich dimensional und dimV=dimU+dimW,
dann gilt: [mm] V=U \oplus [/mm] W
b) V endlich dimensional und [mm] V=U\oplus [/mm] W,
dann gilt: dimV=dimU+dimW
c) U, W endlich dimensional und V=U+W,
dann gilt: V ist endlich dimensional
d) V endlich dimensional und dimV=dimU+dimW,
dann gilt: [mm] V=U+W\gdw [/mm] U [mm] \cap [/mm] W ={0}
e) V endlich dimensional und U nicht Teilmenge von W,
dann gilt: V=U+W oder [mm] dimV\ge [/mm] dimU+dimW |
Hallo,
könnte mir bitte jemand helfen diese (wohl leichte) Aufgabe zu verstehen und zu meistern?
kenne die direkte Summe, d.h. es gilt dafür: U+W=V und Schnitt U und W ist 0. Was ich an Informationen aus den Dimensionen von V bzw. U und W entnehmen kann, weiß ich nicht. Wahrscheinlich irgendwas mit Basis,...
Mein übliches Problem gilt eher dem Beweisen als solchem ;-(
Es wäre mir lieb, wenn mir jemand die Zusammenhänge mal in Worten erklären könnte.
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morgen ;)
Zu aller erst: ja, du kannst aus der Dimension im Endeffekt eine Info über die Basis erhalten, nämlich wie viele Elemente diese enthält.
Weiterhin dürfte dir der "Basisaustauschsatz" helfen.
Dieser besagt, dass du aus einem Vektorraum der Dimension d beliebige d linear unabhängige Vektoren nehmen kannst, diese bilden dann sofort eine Basis.
Zu a):
Hier stecken drei Informationen drinn:
1. V ist endlich-dimensional.
Diese Info ist wichtig, da du für unendlichdimensionale Vektorräume ein paar Probleme kriegen könntest, aber es reicht wenn du das zur Kenntnis nimmst; arbeiten musst du damit eigendlich nicht.
2. dim(V) = dim(U)+dim(W)
Was das heißt ist wohl selbsterklärend.
3. U [mm] $\cap$ [/mm] V = [mm] \{0\}
[/mm]
Diese Info steckt versteckt in der Tatsache, dass man überhaupt von einer direkten Summe spricht.
Und jetzt sollst du zeigen, dass V = U + W.
Hier musst du bedenken, dass V und U+W Mengen sind.
Also musst du zeigen, dass jedes Element aus V auch in U+W steckt und dass jedes Element aus U+W auch in V steckt.
Mal an einem Beispiel:
$V = [mm] \IR^2 [/mm] = [mm] \{\vektor{x \\ y} | x \in \IR \text{ und } y \in \IR\}$
[/mm]
U = [mm] \{\vektor{x \\ 0} | x \ in \IR\}
[/mm]
W = [mm] \{\vektor{0 \\ y} | y \in \IR \}
[/mm]
Dass das Untervektorräume sind darfst du wenn du willst gerne nachrechnen.^^
Offensichtlich ist auch [mm] $\vektor{0 \\ 0} [/mm] das einzige Element, das sowohl in U als auch in W liegt.
Weiterhin ist dim(V) = 2 = 1 + 1 = dim(U) + dim(W)
Stellt sich also noch die Frage, ob $ V=U [mm] \oplus [/mm] W $
Hierfür muss man wie gesagt die Mengengleichheit zeigen.
$V [mm] \supseteq [/mm] U [mm] \oplus [/mm] W$ folgt sofort aus der Abgeschlossenheit von V und aus der Tatsache, dass U und W Unterräume sind.
$V [mm] \subseteq [/mm] U [mm] \oplus [/mm] W$ ist jetzt noch die Frage.
Also kannst du jedes Element aus V als Summe von einem Element aus U und einem aus W darstellen?
In diesem Fall kannst du es, da ich U und W entsprechend gewählt habe.^^
Ob es aber auch allgemein geht oder ob es ein Gegenbeispiel gibt musst du dann gucken....
Zu b):
Das ist praktisch das gleiche rückwärts:
Der Schnitt von U und W enthält nur die 0, V ist die direkte Summe der beiden, gilt dann die Gleichung mit den Dimensionen?
Zu c):
Hier solltest du dir am besten folgendes überlegen:
U hat eine Basis, bestehend aus u Elementen.
W hat eine Basis, bestehend aus w Elementen.
U+W= V hat eine Basis bestehend aus v Elementen.
Kann v unendlich sein, wenn u und w endlich sind?
Wie groß kann v höchstens sein/wie groß muss v mindestens sein?
Zu d):
Das ist eine Erweiterung von a).
In a) hast du gezeigt:
Wenn dim(V)=dim(U)+dim(W), dann lässt sich V als DIREKTE Summe von U und W schreiben.
Hier wird gesagt:
Wenn dim(V) = dim(U)+dim(W), dann lässt sich V genau dann als Summe von U und W schreiben, wenn diese Summe direkt ist.
Das heißt du solltest am besten unterscheiden zwischen direkter und nicht direkter Summe.
Direkte hast du in a) erledigt, nicht direkte (also wenn der Schnitt mehr enthält) musst du auch noch beweisen oder ein Gegenbeispiel finden.
Zu e):
Hier benutzt du wieder das aus den vorherigen Teilen.
Über V=U+W weißt du ja bereits ein paar Sachen, also guck dir am besten an was passiert wenn das eine direkte Summe ist und was passiert wenn es keine direkte Summe ist.
So, hoffe der doch etwas lang geratene Roman hilft dir. ;)
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