Untervektorraum 2x2 MatrizenVR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:56 So 10.02.2013 | | Autor: | locke123 |
| Aufgabe | Sei V = [mm] M_{2,2}(\IR), [/mm] aufgefasst als [mm] \IR-Vektorraum [/mm] (mit Matrizenaddition und Skalarmultiplikation). Wir definieren die Teilmengen
[mm] W_{+} [/mm] := {A [mm] \in [/mm] V : [mm] A^{t} [/mm] = A} und [mm] W_{-} [/mm] := {A [mm] \in [/mm] V : [mm] A^{t} [/mm] = -A}, wobei [mm] A^{t} [/mm] die Transponierte zu A bezeichnet.
(a) Zeigen Sie, dass [mm] W_{+} [/mm] und [mm] W_{-} [/mm] Untervektorräume von V sind.
(b) Berechnen Sie die Dimensionen des Durchschnitts [mm] W_{+} \cap W_{-} [/mm] und des Erzeugnisses [mm] W_{+} [/mm] + [mm] W_{-} [/mm] von [mm] W_{+} [/mm] und [mm] W_{-}. [/mm] |
Ich habe irgendwie ein Problem mit Untervektorräumen, wie zeige ich dass der Untervektorraum nicht leer ist? Auch die anderen UVR-Axiome sind mir unklar. Die Mengendefinition macht mich auch nachdenklich. Die Rechenregeln für transponierte Matrizen sind mir bekannt. Aber wie kann ich die UVR-Axiome konkret zeigen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 So 10.02.2013 | | Autor: | barsch |
Hallo!
> Sei V = [mm]M_{2,2}(\IR),[/mm] aufgefasst als [mm]\IR-Vektorraum[/mm] (mit
> Matrizenaddition und Skalarmultiplikation). Wir definieren
> die Teilmengen
>
> [mm]W_{+}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {A [mm]\in[/mm] V : [mm]A^{t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= A} und [mm]W_{-}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {A [mm]\in[/mm] V :
> [mm]A^{t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= -A}, wobei [mm]A^{t}[/mm] die Transponierte zu A
> bezeichnet.
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm]W_{+}[/mm] und [mm]W_{-}[/mm] Untervektorräume von
> V sind.
> (b) Berechnen Sie die Dimensionen des Durchschnitts [mm]W_{+} \cap W_{-}[/mm]
> und des Erzeugnisses [mm]W_{+}[/mm] + [mm]W_{-}[/mm] von [mm]W_{+}[/mm] und [mm]W_{-}.[/mm]
> Ich habe irgendwie ein Problem mit Untervektorräumen, wie
> zeige ich dass der Untervektorraum nicht leer ist? Auch die
> anderen UVR-Axiome sind mir unklar. Die Mengendefinition
> macht mich auch nachdenklich.
> Die Rechenregeln für
> transponierte Matrizen sind mir bekannt.
Mehr benötigst du hier auch gar nicht!
Betrachten wir beispielhaft [mm]W_{+}.[/mm]
1. Du musst zeigen, dass [mm]W_{+}\not=\emptyset[/mm] gilt. Kennst du denn ein [mm]A\in{W_{+}}[/mm] - was wählt man denn hier in der Regel?
2. Abgeschlossenheit gegenüber der (Matrizen-)Addition: Seien [mm]A,B\in{W_{+}},[/mm] d.h., es gilt [mm]A^t=A[/mm] und [mm]B^t=B.[/mm] Ist nun [mm]A+B\in{W_{+}}[/mm]? Ja! - Warum? Hier musst du einfach nur die Regeln anwenden, die du kennst: [mm](A+B)^t=...[/mm].
3. Abgeschlossenheit gegenüber Multiplikation mit Skalaren: Sei [mm]A\in{W_{+}}[/mm] und [mm]\lambda[/mm] ein Skalar. Ist dann [mm]\lambda*A\in{W_{+}}[/mm]? Ja! - Warum?
> Aber wie kann ich
> die UVR-Axiome konkret zeigen?
Versuche es jetzt einmal. Vielleicht bringen dich diese Hinweise bereits weiter.
> Viele Grüße
Beste Grüße,
barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 So 10.02.2013 | | Autor: | locke123 |
Ich komme glaub ich einfach nicht mit den Mengen klar, ich definier die Mengen ja so:
[mm] W_{+} [/mm] ist die Menge aller Matrizen aus V, für die gilt [mm] A^{t} [/mm] = A. Das sind doch einfach alle Matrizen aus V oder? Weil ja jede Matrix aus V transponierbar ist. Ich versteh die Mengenschreibweise nicht wirklich.
> Hallo!
>
> > Sei V = [mm]M_{2,2}(\IR),[/mm] aufgefasst als [mm]\IR-Vektorraum[/mm] (mit
> > Matrizenaddition und Skalarmultiplikation). Wir definieren
> > die Teilmengen
> >
> > [mm]W_{+}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> := {A [mm]\in[/mm] V : [mm]A^{t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> = A} und [mm]W_{-}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> := {A [mm]\in[/mm] V :
> > [mm]A^{t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> = -A}, wobei [mm]A^{t}[/mm] die Transponierte zu A
> > bezeichnet.
> >
> > (a) Zeigen Sie, dass [mm]W_{+}[/mm] und [mm]W_{-}[/mm] Untervektorräume von
> > V sind.
> > (b) Berechnen Sie die Dimensionen des Durchschnitts
> [mm]W_{+} \cap W_{-}[/mm]
> > und des Erzeugnisses [mm]W_{+}[/mm] + [mm]W_{-}[/mm] von [mm]W_{+}[/mm] und [mm]W_{-}.[/mm]
> > Ich habe irgendwie ein Problem mit Untervektorräumen,
> wie
> > zeige ich dass der Untervektorraum nicht leer ist? Auch die
> > anderen UVR-Axiome sind mir unklar. Die Mengendefinition
> > macht mich auch nachdenklich.
>
> > Die Rechenregeln für
> > transponierte Matrizen sind mir bekannt.
>
> Mehr benötigst du hier auch gar nicht!
>
> Betrachten wir beispielhaft [mm]W_{+}.[/mm]
>
> 1. Du musst zeigen, dass [mm]W_{+}\not=\emptyset[/mm] gilt. Kennst
> du denn ein [mm]A\in{W_{+}}[/mm] - was wählt man denn hier in der
> Regel?
In der Regel wählt man das Nullelement, also hier die Nullmatrix. Ich versuchs mal:
Sei A = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] => [mm] A^{t} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] => A [mm] \in W_{+} [/mm] => [mm] W_{+} \not= \emptyset [/mm] .
>
> 2. Abgeschlossenheit gegenüber der (Matrizen-)Addition:
> Seien [mm]A,B\in{W_{+}},[/mm] d.h., es gilt [mm]A^t=A[/mm] und [mm]B^t=B.[/mm] Ist
> nun [mm]A+B\in{W_{+}}[/mm]? Ja! - Warum? Hier musst du einfach nur
> die Regeln anwenden, die du kennst: [mm](A+B)^t=...[/mm].
Ich hätte es nun so gemacht:
A,B [mm] \in W_{+} [/mm] => A + B = [mm] A^{t}+ B^{t} [/mm] = [mm] (A+B)^{t} [/mm] => (A+B) [mm] \in W_{+}
[/mm]
würde das so stimmen? Bzw. ich darf ja schon "anwenden", dass A = [mm] A^{t} [/mm] ist. Im Prinzip gilt ja A [mm] \in W_{+} [/mm] und [mm] A^{t} \in W_{+} [/mm] oder?
>
> 3. Abgeschlossenheit gegenüber Multiplikation mit
> Skalaren: Sei [mm]A\in{W_{+}}[/mm] und [mm]\lambda[/mm] ein Skalar. Ist dann
> [mm]\lambda*A\in{W_{+}}[/mm]? Ja! - Warum?
>
> > Aber wie kann ich
> > die UVR-Axiome konkret zeigen?
>
> Versuche es jetzt einmal. Vielleicht bringen dich diese
> Hinweise bereits weiter.
>
> > Viele Grüße
>
> Beste Grüße,
> barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 10.02.2013 | | Autor: | barsch |
> Ich komme glaub ich einfach nicht mit den Mengen klar, ich
> definier die Mengen ja so:
>
> [mm]W_{+}[/mm] ist die Menge aller Matrizen aus V, für die gilt
> [mm]A^{t}[/mm] = A. Das sind doch einfach alle Matrizen aus V oder?
> Weil ja jede Matrix aus V transponierbar ist. Ich versteh
> die Mengenschreibweise nicht wirklich.
[mm]W_{+}[/mm] enthält alle [mm]2\times{2}[/mm]-Matrizen [mm]A\in\IR^{2\times{2}},[/mm] für die gilt [mm]A^t=A,[/mm] d.h. die Transponierte der Matrix A entspricht der Matrix A selbst.
> > Betrachten wir beispielhaft [mm]W_{+}.[/mm]
> >
> > 1. Du musst zeigen, dass [mm]W_{+}\not=\emptyset[/mm] gilt. Kennst
> > du denn ein [mm]A\in{W_{+}}[/mm] - was wählt man denn hier in der
> > Regel?
>
> In der Regel wählt man das Nullelement, also hier die
> Nullmatrix. Ich versuchs mal:
>
> Sei A = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\
0 & 0 }[/mm] => [mm]A^{t}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\
0 & 0 }[/mm] => A [mm]\in W_{+}[/mm] => [mm]W_{+} \not= \emptyset[/mm] .
Ja.
> >
> > 2. Abgeschlossenheit gegenüber der (Matrizen-)Addition:
> > Seien [mm]A,B\in{W_{+}},[/mm] d.h., es gilt [mm]A^t=A[/mm] und [mm]B^t=B.[/mm] Ist
> > nun [mm]A+B\in{W_{+}}[/mm]? Ja! - Warum? Hier musst du einfach nur
> > die Regeln anwenden, die du kennst: [mm](A+B)^t=...[/mm].
>
> Ich hätte es nun so gemacht:
>
> A,B [mm]\in W_{+}[/mm] => A + B = [mm]A^{t}+ B^{t}[/mm] = [mm](A+B)^{t}[/mm] => (A+B) [mm]\in W_{+}[/mm]
Stimmt auch. Du willst ja zeigen, dass für zwei Matrizen, die in der Menge liegen, auch die Summe der beiden in der Menge liegt.
>
> würde das so stimmen? Bzw. ich darf ja schon "anwenden",
> dass A = [mm]A^{t}[/mm] ist. Im Prinzip gilt ja A [mm]\in W_{+}[/mm] und
> [mm]A^{t} \in W_{+}[/mm] oder?
Wenn [mm]A\in{W_{+}}[/mm], dann ist [mm]A^t=A.[/mm]
[mm]A\in{W_{+}}[/mm] setzt du ja auch voraus, also darfst du das auch verwenden.
[mm]A^t\in{W_{+}}[/mm] setzen wir hingegen nicht voraus und brauchen wir auch nicht.
Vielleicht wäre es klarer, wenn du deine Gleichung etwas umschreibst.
Nimm ein A und B aus [mm]{W_{+}}[/mm]. Dann gilt sowohl [mm]A^t=A[/mm] als auch [mm]B^t=B.[/mm]
Ist nun [mm]A+B\in{W_{+}}[/mm], so muss [mm](A+B)^t=A+B[/mm] gelten: Es gilt
[mm](A+B)^t=A^t+B^t[/mm] nach den Rechenregeln für Transponierte.
[mm]A^t+B^t=A+B[/mm], da wegen [mm]A,B\in{W_{+}}\,\textrm{sowohl } A^t=A \ \textrm{als auch } B^t=B[/mm] gilt.
Insgesamt ist also [mm](A+B)^t=A+B[/mm] und somit [mm]A+B\in{W_{+}}[/mm].
Die Abgeschlossenheit gegenüber der Skalarmultiplikation musst du noch zeigen.
>
> >
> > 3. Abgeschlossenheit gegenüber Multiplikation mit
> > Skalaren: Sei [mm]A\in{W_{+}}[/mm] und [mm]\lambda[/mm] ein Skalar. Ist dann
> > [mm]\lambda*A\in{W_{+}}[/mm]? Ja! - Warum?
> >
> > > Aber wie kann ich
> > > die UVR-Axiome konkret zeigen?
> >
> > Versuche es jetzt einmal. Vielleicht bringen dich diese
> > Hinweise bereits weiter.
> >
> > > Viele Grüße
> >
> > Beste Grüße,
> > barsch
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 So 10.02.2013 | | Autor: | locke123 |
Ok, [mm] W_{+} [/mm] habe ich verstanden,
bei der Skalarmultiplikation wäre es dann:
Sei a [mm] \in \IR [/mm] und A [mm] \in W_{+} [/mm] => a * [mm] A^{t} [/mm] = (a * [mm] A)^{t} [/mm] = a * A => a * A [mm] \in W_{+}.
[/mm]
Das Problem bei [mm] W_{-} [/mm] ist doch, dass es dort nur eine Matrix gibt in der Menge, welche die Bedingung [mm] A^{t} [/mm] = -A erfüllt und das ist die Nullmatrix oder? Sonst kann es ja nicht funktionieren, wenn dies der Fall wäre, dann wären die Unterraumaxiome ja schnell gezeigt.
Weil welche Matrizen erfüllen schon [mm] A^{t} [/mm] = -A? Es müsste doch nur die Nullmatrix sein, bei [mm] W_{+} [/mm] waren es die Diagonalmatrizen.
Viele Grüße
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Hallo,
> Ok, [mm]W_{+}[/mm] habe ich verstanden,
>
> bei der Skalarmultiplikation wäre es dann:
> Sei a [mm]\in \IR[/mm] und A [mm]\in W_{+}[/mm] => a * [mm]A^{t}[/mm] = (a * [mm]A)^{t}[/mm] =
> a * A => a * A [mm]\in W_{+}.[/mm]
Ja, du solltest eventuell besser schreiben:
$(a* [mm] A)^{t} [/mm] = a * [mm] A^{t} [/mm] = a* A$,
also genau in dieser Reihenfolge, schließlich willst du [mm] $(a*A)^{t} [/mm] = (a*A)$ zeigen.
> Das Problem bei [mm]W_{-}[/mm] ist doch, dass es dort nur eine
> Matrix gibt in der Menge, welche die Bedingung [mm]A^{t}[/mm] = -A
> erfüllt und das ist die Nullmatrix oder? Sonst kann es ja
> nicht funktionieren, wenn dies der Fall wäre, dann wären
> die Unterraumaxiome ja schnell gezeigt.
> Weil welche Matrizen erfüllen schon [mm]A^{t}[/mm] = -A? Es müsste
> doch nur die Nullmatrix sein, bei [mm]W_{+}[/mm] waren es die
> Diagonalmatrizen.
Nein, das stimmt nicht. Es gibt Matrizen in diesem Vektorraum, die nicht die Nullmatrix sind.
Nimm dir doch mal eine beliebige 2 x 2-Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun berechne $-A$ und [mm] $A^{t}$. [/mm] Aus der Gleichung $-A = [mm] A^{t}$ [/mm] entsteht dann ein Gleichungssystem für a,b,c,d. Was für Lösungen sind möglich?
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mo 11.02.2013 | | Autor: | locke123 |
Tut mir leid, aber ich finde trozdem nur die Nullmatrix.
[mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]
=> [mm] -A=\pmat{ -a & -b \\ -c & -d }
[/mm]
und [mm] A^{t}=\pmat{ a & c \\ b & d } [/mm]
Was ist hier die Menge der Matrizen wobei gilt, dass [mm] -A=A^{t} [/mm] ist? Ich komme leider nicht darauf, was hier die Menge ist. Habe die Gleichungen aufgeschrieben, aber bringt mich auch nicht wirklich weiter.
Viele Grüße
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Hallo,
> Tut mir leid, aber ich finde trozdem nur die Nullmatrix.
>
> [mm]A=\pmat{ a & b \\
c & d }[/mm]
> => [mm]-A=\pmat{ -a & -b \\
-c & -d }[/mm]
> und [mm]A^{t}=\pmat{ a & c \\
b & d }[/mm]
>
> Was ist hier die Menge der Matrizen wobei gilt, dass
> [mm]-A=A^{t}[/mm] ist? Ich komme leider nicht darauf, was hier die
> Menge ist. Habe die Gleichungen aufgeschrieben, aber bringt
> mich auch nicht wirklich weiter.
$-A = [mm] A^{t}$
[/mm]
Daraus folgt
$-a = a, -b = c, -c = b, -d = d$.
Also
$a = d = 0, b = -c$
Das heißt, alle Matrizen der Form
[mm] $\begin{pmatrix}0 & b\\-b & 0\end{pmatrix}$
[/mm]
liegen in dem Raum.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Mo 11.02.2013 | | Autor: | locke123 |
Merci, warn langer Tag vorhin aus einer nicht so gut-gelaufenen Prüfung gekommen, da wäre jetzt ein kleines "Erfolgserlebnis" nicht schlecht ;)
Vielen Dank
Grüße
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