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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:42 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier eine kleine Frage, bei der ich nicht so ganz weiß, wie ich darüber nachdenken soll:
Kann eine abzählbar unendliche Menge M eine [mm] \IR\mbox{-Vektorraumstruktur} [/mm] besitzen?
Irgendwie weiß ich nicht, warum das nicht der Fall sein könnte. Ich kann doch durchaus eine abzählbar unendliche Menge haben, die eine Gruppe ist, z. B. [mm] \IZ [/mm] oder [mm] \IQ [/mm] bzgl. "+". Und nun muss noch die Skalarmultiplikation vernünftig funktionieren. Aber ich weiß nicht, warum das nicht gehen sollte. Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, was es in diesem Fall anders macht, ob ich nun eine abzählbare oder eine überabzählbare unendliche Menge habe. Wer kann mir da mal sagen, in welche Richtung ich denken muss?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Mi 10.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> Irgendwie weiß ich nicht, warum das nicht der Fall sein
> könnte.
Woher weisst du denn die (negative) Antwort?
> Ich kann doch durchaus eine abzählbar unendliche
> Menge haben, die eine Gruppe ist, z. B. [mm]\IZ[/mm] oder [mm]\IQ[/mm] bzgl.
> "+". Und nun muss noch die Skalarmultiplikation vernünftig
> funktionieren. Aber ich weiß nicht, warum das nicht gehen
> sollte.
Tja, das ist auch das "Problem".
> Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, was es in
> diesem Fall anders macht, ob ich nun eine abzählbare oder
> eine überabzählbare unendliche Menge habe. Wer kann mir da
> mal sagen, in welche Richtung ich denken muss?
Hier weiter mit VR-Axiomen und nicht Trivialität von M.
Da ich hier nicht den Text weißeln kann, erstmal keine weietren Hinweise.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo SEcki!
Schon mal vielen Dank für deine Reaktion. 
> > Irgendwie weiß ich nicht, warum das nicht der Fall sein
> > könnte.
>
> Woher weisst du denn die (negative) Antwort?
Nein, die wusste ich nicht. Nur hatte ich so das Gefühl, dass es wahrscheinlich so ist, weil ich erst recht nicht gewusst hätte, wie ich es beweisen soll, wenn es stimmt. Irgendwie hatte die Frageart so den Charakter an sich, dass es nicht der Fall ist...
> > Ich kann doch durchaus eine abzählbar unendliche
> > Menge haben, die eine Gruppe ist, z. B. [mm]\IZ[/mm] oder [mm]\IQ[/mm] bzgl.
> > "+". Und nun muss noch die Skalarmultiplikation vernünftig
> > funktionieren. Aber ich weiß nicht, warum das nicht gehen
> > sollte.
>
> Tja, das ist auch das "Problem".
>
> > Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, was es in
> > diesem Fall anders macht, ob ich nun eine abzählbare oder
> > eine überabzählbare unendliche Menge habe. Wer kann mir da
> > mal sagen, in welche Richtung ich denken muss?
>
> Hier weiter mit VR-Axiomen und nicht Trivialität von M.
Mmh, ich weiß nicht so ganz, was du damit meinst. Aber mir sagte jemand (mal sehen, ob ich es wirklich verstanden habe und jetzt selber wiedergeben kann): Ich brauche ja ein Einselement. Und für jedes Element [mm] v\in\IR [/mm] wäre dann auch das Produkt [mm] 1*v\in\IR [/mm] und somit gäbe es überabzählbar viele Elemente. Aber irgendwie komme ich gerade etwas durcheinander damit, welches Element jetzt wo drin liegt... Also das Einselement liegt in M oder? Aber muss nicht dann 1*v mit [mm] v\in\IR [/mm] auch in [mm] \IR [/mm] liegen? Dann würde das ja doch stimmen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Sorry, vllt ist es nur wieder mal diese späte Stunde, die mich nicht mehr richtig denken lässt...
> Da ich hier nicht den Text weißeln kann, erstmal keine
> weietren Hinweise.
Was ist denn "weißeln"???
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:29 Do 11.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> > Hier weiter mit VR-Axiomen und nicht Trivialität von M.
> Mmh, ich weiß nicht so ganz, was du damit meinst.
Eher eine direkte Folgerung aus den VR-Axiomen ...
> Aber mir
> sagte jemand (mal sehen, ob ich es wirklich verstanden habe
> und jetzt selber wiedergeben kann): Ich brauche ja ein
> Einselement. Und für jedes Element [mm]v\in\IR[/mm] wäre dann auch
> das Produkt [mm]1*v\in\IR[/mm] und somit gäbe es überabzählbar viele
> Elemente. Aber irgendwie komme ich gerade etwas
> durcheinander damit, welches Element jetzt wo drin liegt...
> Also das Einselement liegt in M oder? Aber muss nicht dann
> 1*v mit [mm]v\in\IR[/mm] auch in [mm]\IR[/mm] liegen? Dann würde das ja doch
> stimmen. Sorry, vllt ist es nur wieder mal diese
> späte Stunde, die mich nicht mehr richtig denken lässt...
Das ist zwar falsch, aber leicht modifizirt ergibt es die komplette Lösung. Es gibt im einen VR a priori nicht so etwas wie ein 1-Element. Jetzt mache dir die Nichttrivialität von M zu Nutzen. Die Lösung ist dann quasi komplett.
> > Da ich hier nicht den Text weißeln kann, erstmal keine
> > weietren Hinweise.
> Was ist denn "weißeln"???
Tja, rat mal ...
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo SEcki!
> > > Hier weiter mit VR-Axiomen und nicht Trivialität von M.
> > Mmh, ich weiß nicht so ganz, was du damit meinst.
>
> Eher eine direkte Folgerung aus den VR-Axiomen ...
>
> > Aber mir
> > sagte jemand (mal sehen, ob ich es wirklich verstanden habe
> > und jetzt selber wiedergeben kann): Ich brauche ja ein
> > Einselement. Und für jedes Element [mm]v\in\IR[/mm] wäre dann auch
> > das Produkt [mm]1*v\in\IR[/mm] und somit gäbe es überabzählbar viele
> > Elemente. Aber irgendwie komme ich gerade etwas
> > durcheinander damit, welches Element jetzt wo drin liegt...
> > Also das Einselement liegt in M oder? Aber muss nicht dann
> > 1*v mit [mm]v\in\IR[/mm] auch in [mm]\IR[/mm] liegen? Dann würde das ja doch
> > stimmen. Sorry, vllt ist es nur wieder mal diese
> > späte Stunde, die mich nicht mehr richtig denken lässt...
>
> Das ist zwar falsch, aber leicht modifizirt ergibt es die
> komplette Lösung. Es gibt im einen VR a priori nicht so
> etwas wie ein 1-Element. Jetzt mache dir die
> Nichttrivialität von M zu Nutzen. Die Lösung ist dann
> quasi komplett.
Ehrlich gesagt, verstehe ich jetzt überhaupt nichts mehr. Wieso gibt es kein Einselement? Bei den VR-Axiomen heißt es doch, dass gelten muss: 1*v=v - ist diese 1 dann kein Einselement???
Und was hat das jetzt mit der Nichttrivialität von M zu tun?
> > > Da ich hier nicht den Text weißeln kann, erstmal keine
> > > weietren Hinweise.
> > Was ist denn "weißeln"???
>
> Tja, rat mal ...
Das hatte ich ja schon versucht, aber ich habe keine Ahnung!
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Do 11.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> > Das ist zwar falsch, aber leicht modifizirt ergibt es die
> > komplette Lösung. Es gibt im einen VR a priori nicht so
> > etwas wie ein 1-Element. Jetzt mache dir die
> > Nichttrivialität von M zu Nutzen. Die Lösung ist dann
> > quasi komplett.
> Ehrlich gesagt, verstehe ich jetzt überhaupt nichts mehr.
> Wieso gibt es kein Einselement? Bei den VR-Axiomen heißt es
> doch, dass gelten muss: 1*v=v - ist diese 1 dann kein
> Einselement??? [1]
Sicher, aber du brauchst doch ebven so ein v - und wo ist das bei dir oben? v ist nicht eine relle Zahl, sonden ein Vektor; ich dachte du hättest blos oben 1*v verdreht und meintest v*1 (was mehr Sinn ergäbe) - und eine 1 im VR muss es nicht geben.
> Und was hat das jetzt mit der Nichttrivialität von M zu
> tun?
Was wäre, wenn der VR nur aus einem Element bestehen würde? Kriegt man dann einen Widerspruch? Nein, also gibt es wg. der Nichtrivialität ein Element mit ..., und an dieses Element multipliziere ich von links mal ..., und das ergibt dann ....
Als weitere Übung kannst du dir analog überlegen: gibt es einen endlichen VR, der min. 2 Elemente enthält, der ein [m]\IQ[/m]-VR ist?
SEcki
[1]: ich kann gut lesen, du brauchst da nicht tausend Fragezeichen hinpinseln 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Danke für den Lückentext, aber ich glaube, ich bin zu blöd dazu...
> > Und was hat das jetzt mit der Nichttrivialität von M zu
> > tun?
>
> Was wäre, wenn der VR nur aus einem Element bestehen würde?
> Kriegt man dann einen Widerspruch? Nein, also gibt es wg.
> der Nichtrivialität ein Element mit ..., und an dieses
> Element multipliziere ich von links mal ..., und das ergibt
> dann ....
Kannst dus mir vllt verraten? Ich verstehe nicht ganz, was das soll - wenn es keinen Widerspruch gäbe bei nur einem Element, warum folgt dann noch etwas anderes daraus?
> Als weitere Übung kannst du dir analog überlegen: gibt es
> einen endlichen VR, der min. 2 Elemente enthält, der ein
> [m]\IQ[/m]-VR ist?
O ja, das will ich dann gerne machen, wenn ich dieses hier verstanden habe...
> [1]: ich kann gut lesen, du brauchst da nicht tausend
> Fragezeichen hinpinseln
Sorry, ich hoffe, du verstehst es nicht böse. So lange du mir weiter antwortest, werde ich auch immer weiter nachfragen... Aber ich spiele sehr gerne mit Satzzeichen, deswegen tauchen sie auch schon mal im Überfluss auf... ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Do 11.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Es sei also $M$ eine abzählbar unendliche Menge. Wir nehmen an $M$ hätte eine [mm] $\IR$-Vektorraumstruktur [/mm] und wollen dies zu einem Widerspruch führen.
Da $M$ abzählbar unendlich (insbesondere also nicht endlich ist und damit keinesfalls nur aus einem Element besteht) gibt es neben einem Nullelement $0 [mm] \in [/mm] M$ ein weiteres Element $v [mm] \in [/mm] M$, $v [mm] \ne [/mm] 0$.
Nun muss mit $v [mm] \in [/mm] M$ auch
[mm] $\lambda \cdot [/mm] v [mm] \in [/mm] M$
gelten für alle [mm] $\lambda \in \IR$.
[/mm]
Für [mm] $\lambda,\, \mu \in \IR$, $\lambda \ne \nu$, [/mm] sind [mm] $\lambda \cdot [/mm] v$ und [mm] $\mu \cdot [/mm] v$ verschiedene Elemente von $V$, denn
[mm] $\lambda \cdot [/mm] v= [mm] \mu \cdot [/mm] v [mm] \quad \Leftrightarrow \quad (\lambda [/mm] - [mm] \mu) \cdot [/mm] v =0 [mm] \quad \Leftrightarrow \quad \lambda [/mm] - [mm] \mu=0 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda [/mm] = [mm] \mu$.
[/mm]
Somit stellt die Abbildung
[mm] $\begin{array}{ccc} \IR & \to & \{\lambda \cdot v\, : \, \lambda \in \IR\} \\[5pt] \lambda & \mapsto & \lambda \cdot v \end{array}$
[/mm]
eine Bijektion dar. Die Menge [mm] $\{\lambda \cdot v\, : \, \lambda \in \IR\}$ [/mm] ist somit überabzählbar. Da sie aber eine Teilmenge von $M$ ist, muss auch $M$ überabzählbar sein, im Widerspruch zur Voraussetzung.
Liebe Grüße
Stefan
P.S. Beim flüchtigen Durchlesen einiger Beiträge der letzten Tage (ich war ja im Urlaub) ist mir aufgefallen, dass der Ton hier zum Teil relativ rau geworden ist, dass zum großen Teil eine nette Anrede fehlt und man sich anscheinend für Nichtwissen (auch gegenüber "Moderatoren" (von moderare=mäßigen)) ständig rechtfertigen muss. Eine bedauerliche Entwicklung, die ich hier beobachte. Mir kannst du nach wie vor so viele (Nach-)Fragen stellen wie immer, und wenn du es nicht verstehst, sehe ich in erster Linie die Schuld bei mir und meinen schlechten Erklärungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Es sei also [mm]M[/mm] eine abzählbar unendliche Menge. Wir nehmen
> an [mm]M[/mm] hätte eine [mm]\IR[/mm]-Vektorraumstruktur und wollen dies zu
> einem Widerspruch führen.
>
> Da [mm]M[/mm] abzählbar unendlich (insbesondere also nicht endlich
> ist und damit keinesfalls nur aus einem Element besteht)
> gibt es neben einem Nullelement [mm]0 \in M[/mm] ein weiteres
> Element [mm]v \in M[/mm], [mm]v \ne 0[/mm].
>
> Nun muss mit [mm]v \in M[/mm] auch
>
> [mm]\lambda \cdot v \in M[/mm]
>
> gelten für alle [mm]\lambda \in M[/mm].
Muss es nicht [mm] \lambda\in\IR [/mm] heißen? Ich komme da immer ein bisschen durcheinander, was jetzt der Körper und was der Vektorraum ist und so...
> Für [mm]\lambda,\, \mu \in \IR[/mm], [mm]\lambda \ne \nu[/mm], sind [mm]\lambda \cdot v[/mm]
> und [mm]\mu \cdot v[/mm] verschiedene Elemente von [mm]V[/mm], denn
>
> [mm]\lambda \cdot v= \mu \cdot v \quad \Leftrightarrow \quad (\lambda - \mu) \cdot v =0 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda - \mu=0 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda = \mu[/mm].
Das folgt doch aus den Körperaxiomen, oder?
> Somit stellt die Abbildung
>
> [mm]\begin{array}{ccc} \IR & \to & \{\lambda \cdot v\, : \, \lambda \in \IR\} \\[5pt] \lambda & \mapsto & \lambda \cdot v \end{array}[/mm]
>
> eine Bijektion dar. Die Menge [mm]\{\lambda \cdot v\, : \, \lambda \in \IR\}[/mm]
> ist somit überabzählbar. Da sie aber eine Teilmenge von [mm]M[/mm]
> ist, muss auch [mm]M[/mm] überabzählbar sein, im Widerspruch zur
> Voraussetzung.
Ich glaub', das verstehe ich...
> P.S. Beim flüchtigen Durchlesen einiger Beiträge der
> letzten Tage (ich war ja im Urlaub) ist mir aufgefallen,
> dass der Ton hier zum Teil relativ rau geworden ist, dass
> zum großen Teil eine nette Anrede fehlt und man sich
> anscheinend für Nichtwissen (auch gegenüber "Moderatoren"
> (von moderare=mäßigen)) ständig rechtfertigen muss. Eine
> bedauerliche Entwicklung, die ich hier beobachte. Mir
> kannst du nach wie vor so viele (Nach-)Fragen stellen wie
> immer, und wenn du es nicht verstehst, sehe ich in erster
> Linie die Schuld bei mir und meinen schlechten Erklärungen.
>
Dazu schreibe ich dir gleich mal eine PN...
Viele Grüße und danke für die Antwort
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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> Lieber Stefan!
Sehr geehrte Damen und Herren,
> > Nun muss mit [mm]v \in M[/mm] auch
> >
> > [mm]\lambda \cdot v \in M[/mm]
> >
> > gelten für alle [mm]\lambda \in M[/mm].
>
> Muss es nicht [mm]\lambda\in\IR[/mm] heißen?
Ja.
> > Für [mm]\lambda,\, \mu \in \IR[/mm], [mm]\lambda \ne \nu[/mm], sind >> [mm]\lambda \cdot v[/mm]
> > und [mm]\mu \cdot v[/mm] verschiedene Elemente von [mm]V[/mm], >> denn
> >
> > [mm]\lambda \cdot v= \mu \cdot v \quad \Leftrightarrow \quad (\lambda - \mu) \cdot v =0 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda - \mu=0 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda = \mu[/mm].
>
> Das folgt doch aus den Körperaxiomen, oder?
Jo, [mm]v[/mm] ist ja ein Vektor. Aus den Vektorraumaxiomen folgt
[mm]\lambda \cdot v = 0[/mm] genau dann, wenn [mm]\lambda = 0[/mm] oder [mm]v = 0[/mm].
> Viele Grüße und danke für die Antwort
> Christiane
>
Mit freundlichen Grüßen,
Christian
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