Vektorraum und Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Menge aller Parabeln (d.h. aller Funktionen f: [mm] \IR \to \IR [/mm] der Form x [mm] \mapsto [/mm] f(x)=ax²+bx+c mit a,b,c [mm] \in \IR) [/mm] ist ein [mm] \IR-Vektorraum, [/mm] die Menge aller linearen Funktionen ist ein Untervektorraum davon. |
Ich hab leider gar keine Ahnung, wie ich das machen soll.
Kann mit jemand einen Tipp geben?
|
|
| |
|
> Zeigen Sie: Die Menge aller Parabeln (d.h. aller Funktionen
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm] der Form x [mm]\mapsto[/mm] f(x)=ax²+bx+c mit a,b,c
> [mm]\in \IR)[/mm] ist ein [mm]\IR-Vektorraum,[/mm]
Formal [mm]V:=\{f:\IR\to\IR\quad | \quad f=aX^2+bX+c , a,b,c \in \IR\}[/mm]
Naja du musst die Vektorraumaxiome nachweisen.
- Ist (V,+) eine abelsche Gruppe? (inbes. abgeschlossen?)
und Prüfe die Eigenschaften der abelschen Gruppe nach:
also gibt es ein Element e in V mit [mm]e+f=f\forall f[/mm]?
...
- Funktioniert die Multiplikation mit Skalaren?
- Distributivgesetze?
Damit das nicht so ganz alleine dasteht, zeige ich dir es für die Existenz von Inversen in der abelschen Gruppe
Sei also [mm]f\in (V,+)[/mm] beliebig, d.h. f ist von der Form [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm] mit [mm]a,b,c\in \IR[/mm]
Setze [mm]g(x):=(-a)x^2+ (-b)x + (-c)[/mm], dann ist
[mm]f+g=ax^2+bx+c + (-a)x^2+ (-b)x + (-c)=0[/mm].
Damit ist g die Inverse von f.
Gib doch einmal als erstes das neutrale Element an.
Für die Kommutativität gibst du dir zwei Parabeln vor (mit jeweils unterschiedlichen Koeffizienten). Addiere sie. Stell um, sodass am Ende
[mm]f(x)+g(x)=\ldots = g(x)+f(x)[/mm]
> die Menge aller linearen
[mm]U:=\{f:\IR\to\IR\quad | \quad f=dX+e , d,e \in \IR\}[/mm]
> Funktionen ist ein Untervektorraum davon.
Auch hier Axiome:
- Ist U eine Teilmenge von V? Warum? D.h. kannst du U irgendwie in V einbetten.
- ist U abgeschlossen gegenüber Addition
- ist U abgeschlossen gegenüber Multiplikation mit Skalaren (Zahlen aus [mm] $\IR$)
[/mm]
> Ich hab leider gar keine Ahnung, wie ich das machen soll.
> Kann mit jemand einen Tipp geben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 Sa 14.05.2011 | | Autor: | schnuubi |
Hänge bei der gleichen Aufgabe, habe aber durch deine Erklärung wieder den Faden gefunden und konnte schon so einiges Beweisen ;)
Eine Frage habe ich zunächst zum Vektorraumnachweis der Parabelmenge, brauche ich dafür zwingend die Abgeschlossenheit? Ich dachte die ist nur bei UVR von Bedeutung.
Und damit auch zur zweiten Frage, wie weise ich bei der Menge der linearen Funktionen die Abgeschlossenheit bzgl + nach? Trifft die überhaupt zu? Da hänge ich irgendwie gerade. Liegt vllt auch daran, dass ich mich frage, muss nicht irgendwie jede Gerade, die ein Vektorraum ist, durch den Ursprung gehen? Oder vermische ich gerade, verschiedene Aspekte ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Sa 14.05.2011 | | Autor: | huzein |
>Eine Frage habe ich zunächst zum Vektorraumnachweis der
>Parabelmenge, brauche ich dafür zwingend die Abgeschlossenheit?
>Ich dachte die ist nur bei UVR von Bedeutung.
Nach Definition eines Vektorraums wird eine Addition und eine Multiplikation definiert. Und diese müssen natürlich auch nachgewiesen werden.
>Und damit auch zur zweiten Frage, wie weise ich bei der Menge der
>linearen Funktionen die Abgeschlossenheit bzgl + nach?
du zeigst einfach, dass die Summe zweier Geradengleichungen wieder eine Geradengleichung darstellt. Dabei definierst du die Addition punktweise, d.h.
$(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ für [mm] $f,g\in [/mm] V$
Du zeigst also: [mm] $f,g\in V\implies f+g\in [/mm] V$.
>Liegt vllt auch daran, dass ich mich frage, muss nicht irgendwie jede
>Gerade, die ein Vektorraum ist, durch den Ursprung gehen?
Da muss man aufpassen. In der Schule lernt man, dass unter einer Gleichung der Form $f(x)=mx+n$ eine lineare Funktion zu verstehen ist. Das ist so nicht richtig, denn für jede lineare Funktion (Abbildung) gilt $f(0)=0$. Und das ist bei obiger Gerade dann und nur dann erfüllt, wenn $n=0$, die Gerade also durch den Urpsrung geht. Korrekt fomuliert würde man unter einer Gleichung der Form $f(x)=mx+n$ eine affin-lineare Funktion verstehen.
Aber Geraden generell können natürlich durch Ursprung gehen oder die $y$-Achse an einer beliebigen Stelle schneiden.
Gruß
|
|
|
|
