Verhältnis Gerade und Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 So 23.04.2006 | | Autor: | bamby |
Hallo, ich sitze auch schon sehr lange vor meiner 2. Mathehausaufgabe, leider auch erfolglos....:(
Kann mir hier evtl. jemand helfen?
E: [mm] \vec{x}= \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
für t [mm] \in \IR [/mm] ist gt: [mm] \vec{x}= \vektor{3 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \nu \vektor{t \\ 1 \\ 1-2t }
[/mm]
Frage 1: Für welche t [mm] \in \IR [/mm] schneidet die Gerade gt die Ebene E. Gib jeweils den Schnittpunkt an.
Frage 2: Zeige, dass all diese Punkte auf einer Geraden h liegen und gib eine Gleichung für h an!
Oh je....wie soll ich das denn bloß noch hinkriegen? Ich wünschte, ich käme weiter! Kann mir jemand netterweise helfen?
Danke ihr Lieben:).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 So 23.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin bamby,
zu Frage1:
die Schnittpunkte bzw. den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene
erhält man, in dem man beide gleichsetzt:
[mm] \vektor{3\\1\\0} [/mm] + v [mm] \vektor{t\\1\\1-2t} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-1\\1\\0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{1\\1\\2}
[/mm]
Daraus erhältst Du ein LGS mit drei Gleichungen...
3 + vt = 1 - [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu
[/mm]
1 + v = 1 + [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu
[/mm]
0 + v(1-2t) = 1 [mm] +2\mu
[/mm]
- [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] - vt = 2
+ [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] - v = 0
[mm] +2\mu [/mm] - v(t-2t) = -1
Dies dann in die Dreiecksform bringen usw...
gruss
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 23.04.2006 | | Autor: | bamby |
Und wie genau funktioniert das mit der Dreiecksform? Ich bin so von der Unbekannten t irritiert...können denn mehrere Lösungen herauskommen für t? und wie fahre ich dann in Frage 2 fort, bei der Ermittlung der Geraden h, auf der all diese Punkte liegen? Sorry, wegen der lästigen Nachfragen...
aber schon mal tausend Dank an Wolfgang, echt lieb von Dir, dass Du mir schon ein wenig weiter geholfen hast...:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 So 23.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
nur noch ein paar hinweise...
[mm] \lambda [/mm] ; [mm] \mu [/mm] ; v
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -t : 2\\ 1 & 1 & -1 : 0\\ 0 & 2 & 1-2t : -1}
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -t : 2\\ 0 & 2 & -1-t : 2\\ 0 & 2 & 1-2t : -1}
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -t : 2\\ 0 & 2 & -1-t : 2\\ 0 & 0 & -2+t : 3}
[/mm]
(-2+t)*v=3
v= 3/(-2+t)
[mm] 2\mu [/mm] - (1+t)v = 2
[mm] \mu [/mm] = 1 + (1+t)/2 v
[mm] \mu [/mm] = 1 + (1+t)/2 * 3/(-2+t) ...
[mm] -\lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] -tv = 2 ...
usw.
gruss
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 23.04.2006 | | Autor: | bamby |
Oh nein, ich habe das jetzt noch mal genauso versucht wie Du, komme aber für [mm] \mu [/mm] auf 1+ (1-t) [mm] \* \nu [/mm] / 2
ist das korrekt?
und ist was ist dann mit [mm] \lambda?
[/mm]
den versuche ich doch am herauszukriegen oder?
ist das dann die schnittstelle?
und auf welcher geraden h liegt die? wie kann ich die ermitteln? können es auch mehrere schnittpunkte sein? ich hab angst, ich glaub ich krieg das so nicht hin:(
vielen dank für die liebe liebe hilfe (v.a. Wolfgang!! danke danke)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 So 23.04.2006 | | Autor: | bamby |
also ich möchte lambda ausrechnen? oh sorry, aber ich weiß noch immer nicht, wie ich den schnittpunkt ermitteln und auf meinem papier ist nur zahlengewirr!! bin am verzweifeln...:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 So 23.04.2006 | | Autor: | goeba |
Hallo,
- Du musst Gerade und Ebene gleichsetzen und Lambda, Mu und Nu ausrechnen.
Das t bleibt dann im Ergebnis drin stehen.
Das Ergebnis ist - zur Kontrolle:
Lambda = (-t - 1) / (2*t); My = (t-1)/(2*t) und Ny = -1/t
Wenn Du jetzt Nu in die Geradengleichung (ich hoffe, das war Nu, ich habe die Gleichung jetzt nicht mehr da) einsetzt, erhälst Du den Schnittpunkt.
Das heißt: Für jedes t erhälst Du einen anderen Schnittpunkt!
Nur für t=0 ist die Lösung nicht definiert, daher dann kein Schnittpunkt.
Du musst das genau so rechnen, als gäbe es kein t (also mit dem Gaußschen Algorithmus oder vielleicht habt Ihr das Additionsverfahren genannt).
Viele Grüße,
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 So 23.04.2006 | | Autor: | bamby |
Okay, also vielen Dank schon mal für die tolle Erklärung. Die bringt mich um einen großen Schritt weiter. Jedoch komme ich immer auf andere Ergebnisse für die Parameter, als die, die Du mir zum Vergleichen gegeben hast. Hmm, ich komme nämlich beispielsweise für Ny immer auf 3 / t-2 !
Und dementsprechend weichen auch die anderen Ergebnisse ab...
noch eine Frage...wie füge ich die Ergebnisse auf eine gemeinsame Gerade h?
Danke danke danke und noch einen wunderschönen Abend wünsche ich Dir!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 So 23.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
da habe ich mich wohl verrechnet. ok.
habe für ny jetzt auch -1/t heraus, allerdings für my und lambda andere werte als mein vorredner.
[mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor {-1\\1\\0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{1\\1\\2} [/mm] = [mm] \vektor{3\\1\\0} [/mm] + v [mm] \vektor{t\\1\\1-2t}
[/mm]
[mm] \lambda \vektor {-1\\1\\0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{1\\1\\2} [/mm] + v [mm] \vektor{-t\\-1\\-1+2t} [/mm] = [mm] \vektor{2\\0\\-1}
[/mm]
[mm] \pmat{-1 & 1 & -t : 2\\ 1 & 1 & -1 : 0 \\ 0 & 2 & -1+2t :-1}
[/mm]
ich addiere Gleichung bzw. Zeile 1 und Gleichung bzw. Zeile 2
[mm] \pmat{-1 & 1 & -t : 2\\ 0 & 2 & -1-t : 2 \\ 0 & 2 & -1+2t :-1}
[/mm]
ich multipliziere Gleichung bzw. Zeile 2 mit (-1)
[mm] \pmat{-1 & 1 & -t : 2\\ 0 & -2 & +1+t : -2 \\ 0 & 2 & -1+2t :-1}
[/mm]
und addiere Gleichung bzw. Zeile 2 und Glechung bzw. Zeile 3
[mm] \pmat{-1 & 1 & -t : 2\\ 0 & -2 & +1+t : -2 \\ 0 & 0 & 3t :-3}
[/mm]
Das ist die Dreiecksform.
aus Gleichung drei folgt:
3t*v = - 3
v= -1 / t
-2 [mm] \mu [/mm] + (1+t)v = - 2
sowie
- [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] -t*v = 2
Daraus müßte man die anderen beiden Parameter berechnen können; leider stimmen die Ergebnisse nicht mit denen meines Vorredners überein.
Allerdings ist v=-1/t
eingesetzt in die Geradengleichung:
[mm] \vektor{3\\1\\0} [/mm] + v [mm] \vektor{t\\1\\1-2t} [/mm]
Schnittpunkt = [mm] \vektor{3\\1\\0} [/mm] -1/t [mm] \vektor{t\\1\\1-2t}
[/mm]
[mm] \vektor{3\\1\\0} [/mm] + [mm] \vektor{-1\\-1/t\\(-1+2t)t}
[/mm]
S (3-1 / 1 -1/t / (-1+2t)/t )
S (2 / 1 -1/t / (-1+2t)/t )
gruss
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 So 23.04.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
ich habe mal eine Zeichnung dazu gemacht und festgestellt, dass die Lösung von Wolfgang auf jeden Fall stimmt.
Für Dich bleibt noch zu tun: Zeigen, dass das eine Gerade ist.
Das Geht wohl am besten so:
Du substituierst u für 1/t. Dann erhälst Du (bei der letzten Koordinate erst den Bruch auf zwei Brüche verteilen) etwas lineares in u und kannst das dann in eine Geradengleichugn umformen.
Viele Grüße,
Andreas
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 So 23.04.2006 | | Autor: | bamby |
Oh nein, jetzt bin ich schon wieder auf den Kopf gefallen...jetzt wurde mir schon so intensiv geholfen (viiiielen lieben Dank), dass ich das eigentlich selbstständig hinbekommen müsste.
Also ich habe nun alles erledigt, bis auf diese Geradengleichung!!! ach herrje, ich glaube, es liegt auch an der Uhrzeit, dass ich nicht mehr so klar denken kann oder das meine Begabungen einfach auf anderen Gebieten liegen. was genau soll ich jetzt für u substituieren und wo? danke ihr Lieben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 So 23.04.2006 | | Autor: | goeba |
Ok, Du hast den SChnittpunkt:
(2 / 1 -1/t / (-1+2t)/t )
Das Problem: Es ist noch keine Geradengleichung, und es stehen auch so garstige Sachen wie 1/t drin, so dass man gar nicht weiß (wenn man jetzt keine Zeichnung hat), dass es eine Gerade ist.
Wenn Du den letzten Ausdruck auf zwei Brüche schreibst, bekommst Du
(2 | 1 - 1/t | -1/t + 2 )
Wenn Du jetzt für t alle reellen Zahlen außer Null einsetzt, dann bekommst Du für -1/t auch wieder alle reellen Zahlen raus. Also kannst Du statt -1/t auch einfach eine andere Variable nehmen, zum Beispiel u. Du ersetzt also überall dort, wo -1/t steht durch u. Dann erhälst Du
(2 | 1 + u | 2 + u )
und das als Geradengleichung
(2 | 1 | 2 ) + u * ( 0 | 1 | 1)
(ich bin zu faul für den Formeleditor, sorry).
Viele Grüße,
Andreas
p.S.: ist auch relativ schwer für Grundkurs... Mein Grundkurs hätte das nicht gekonnt 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 So 23.04.2006 | | Autor: | bamby |
so jetzt habe ich u substituiert und es steht dort: [mm] \vektor{2 \\ 1-u \\ -u+2}
[/mm]
ist das korrekt so?
und wie genau mache ich daraus die neue Geradengleichung h?
ach ich danke euch vielmals...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 So 23.04.2006 | | Autor: | goeba |
Jetzt haben sich unsere Antworten überschnitten.
Vorsicht: Ich habe jetzt -1/u substituiert, nicht 1/u, daher der Unterschied. Das kommt aber aufs gleiche raus. Der Rest Deiner Frage ist dort auch beantwortet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 So 23.04.2006 | | Autor: | bamby |
VIELEN LIEBEN DANK!!!!!
ich bin überglücklich, diese Hausaufgabe nun vollständig fertig zu haben. Ich danke ganz herzlich allen, die mir hier so intensiv dabei geholfen haben. Und danke für den Trost, dass die Aufgabe für einen 12er GK schwer ist, die Meinung kann ich natürlich nur teilen.
Ich bin wirklich dankbar, dass es so hilfsbereite Menschen wie hier im Matheforum gibt. Ihr glaubt nicht, wie erleichtert ich bin.
Eine gute Nacht allen!!!
Liebste Grüße, bamby:).
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Hallo,
ich habe diese Aufgabe mitverfolgt, da ich mich sehr für jedes neue Problem, in meiner Abiturvorbereitung, interessiere.
Würde es auch gehen, indem ich eine Koordinatengleichung der Ebene aufstelle. Dort dann g einsetze und nach v auflöse?
Dann könnte ich v in die Geradengleichung einsetzen und hätte den Schnittpunkt (mit der Variabel t).
Herzlichen Dank für die Mühe! :o)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 So 23.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin superente,
ja klar. das geht bestimmt!
vielleicht könntest du ja mal eine lösung posten; krönung für uns wäre, wenn du denselben schnittpunkt herausbekommen würdest 
gruss
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 So 23.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
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