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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Do 29.05.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Wir betrachten die Normen [mm] ||z||_\infty=max\left\{|z_1|,...,|z_n|\right\}, ||z||_2=\wurzel{|z_1|^2+...+z_n|^2} [/mm] und [mm] ||z||_1=|z_1|+...+|z_n| [/mm] auf [mm] \IC^n. [/mm] Finde maximale Konstanten [mm] c_n, c_n' [/mm] und minimale Konstanten [mm] C_n, C_n' [/mm] mit
[mm] (a)c_n||\cdot||_\infty\le||\cdot||_2\le\,C_n||\cdot||_\infty
[/mm]
[mm] (b)c_n'||\cdot||_1\le||\cdot||_2\le\,C_n'||\cdot||_1 [/mm] |
Ich gehe erstmal davon aus, dass ich hier nicht zeigen muss, dass es sich auch wirklich um Normen handelt, oder?Das ist ja eigendlich offensichtlich. Aber wie finde ich jetzt die Konstanten? Ich denke erstmal,dass wenn ich (a) gelöst habe, (b) kein Problem mehr ist, aber den Weg zu erkennen, den ich wählen muss, da liegt glaube ich mein problem...Wir haben in der Vorlesung definiert, dass, wenn solche Konstanten existieren, die Normen äquivalent sind. ( zum mindest haben wir das durch ~ gekennzeichnet) Weiter denke ich, dass gelten muss: [mm] c_n=\bruch{1}{C_n}. [/mm] stimmt das soweit? Wie komme ich jetzt an die maximale/ minimale Konstante?
Danke im Vorraus
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Gruß!
Diese Normkonstanten findet man am Besten anhand eines Bildes. Betrachte den zweidimensionalen Fall und zeichne den "Norm-1-Ball", also alle Vektoren mit Norm 1. Im Fall der euklidischen Norm ist das der Einheitskreis, im Fall der anderen... das solltest Du Dir überlegen. 
Jetzt kannst Du Dir anhand der Bilder überlegen, wie die Konstanten zu wählen sind. Denn damit skalierst Du diese Bilder und Du möchtest es so erreichen, dass bzgl. der einen Skalierung der eine Ball im anderen liegt und bzgl. der anderen genau andersherum.
Natürlich ersetzt das Bild den Beweis in keinster Weise, es hat auch höchstens als Veranschaulichung etwas in der Lösung der Aufgabe zu suchen - aber es kann Dir helfen, die richtigen Konstanten zu finden, deren Richtigkeit dann zu beweisen ist.
Gruß,
Lars
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:18 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hey,
ich glaub ich bin grad zu dumm um die Bilder zu betrachten...
Kann man das vielleicht so machen?:
zu a)
[mm] c_n \le \overbrace{\wurzel{\bruch{|z_1|^2 +...+|z_n|^2}{ (max { |z_1|,...,|z_n| }) ^2 } }}^{( X )} \le C_n
[/mm]
(Stimmt der nächste Schritt? Muss man das noch beweisen?)
Nun ist (X) am kleinsten, wenn (n-1) der [mm] z_i=0 [/mm] sind
Sei dann [mm] z_j \not= [/mm] 0
=> max { [mm] |z_1|,...,|z_n| [/mm] }) = [mm] z_j
[/mm]
=> (X) = 1
=> [mm] c_n [/mm] =1
(X) ist am größsten, wenn alle [mm] |z_i| [/mm] gleich groß sind (muss man das beweisen?) Sei | [mm] z_i [/mm] | = y
=> (X) = [mm] \wurzel{\bruch{n*|z_i|^2}{|z_i|^2}} [/mm] = [mm] \wurzel{n}
[/mm]
=> [mm] C_n [/mm] = [mm] \wurzel{n}
[/mm]
zu b)
[mm] c_n' \le \overbrace{\wurzel{\bruch{|z_1|^2+...+|z_n|^2}{(|z_1|+...+|z_n|)^2}} }^{(X)} \le C_n'
[/mm]
Es gilt: [mm] |z_1|^2+...+|z_n|^2 \le (|z_1|+...+|z_n|)^2
[/mm]
=> (X) <=1
=> [mm] C_n' [/mm] = 1
Wenn alle [mm] |z_i| [/mm] gleich groß sind, gilt:
(X) = [mm] \wurzel{\bruch{n*|z_i|^2}{(n*|z_i|)^2}} [/mm] = [mm] \wurzel{1/n}
[/mm]
Dann ist (X) am kleinsten
=> [mm] c_n' [/mm] = [mm] \wurzel[{1/n}
[/mm]
Wie gesagt.. ich bin mir absolut unsicher und würde deswegen gerne eure Meinung wissen und darauf hingewiesen werden, wenn es totaler Mist ist..
Viele Grüße und Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 04.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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