Verständnisfrage, Irreduzibel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 So 21.11.2010 | | Autor: | AriR |
Hey Leute,
eine kurze Frage und zwar warum setzt man der Definition von "irreduzibel" in einem Ring voraus, dass das betrachtete Element keine Einheit ist? Sehe leider den tieferen Sinn nicht. Was wäre das "Problem", wenn man dieses nicht verlangen würde?
Schönen Abend an alle 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 So 21.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> eine kurze Frage und zwar warum setzt man der Definition
> von "irreduzibel" in einem Ring voraus, dass das
> betrachtete Element keine Einheit ist? Sehe leider den
> tieferen Sinn nicht. Was wäre das "Problem", wenn man
> dieses nicht verlangen würde?
Aus dem gleichen Grund, warum 1 keine Primzahl ist.
Ausserdem: durch Einheiten kann man immer teilen. Einheiten sind also "langweilig", wenn man sich anschauen will was sich wie teilt. Interessanter dagegen sind irreduzible Elemente (oder Primelemente), da man die eben nicht mehr weiter "richtig" teilen kann -- durch Einheiten kann man sie aber beliebig oft teilen (wie alle anderen Elemente auch). Damit man also irgendwas "endliches" bekommt -- man nur endlich oft "richtig" teilen kann, man kann etwas als endliches Produkt von irreduziblen Elementen schreiben (in manchen Ringen) -- muss man die Einheiten als nicht irreduzibel nehmen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 So 21.11.2010 | | Autor: | AriR |
Ah jetzt sehe ich es auch  Dauert immer etwas länger bei Leuten, die kein Algebra gehört haben und somit nur [mm] \IZ [/mm] als Ring vor Augen haben :P
Schönen Abend noch ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 So 21.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ah jetzt sehe ich es auch Dauert immer etwas länger
> bei Leuten, die kein Algebra gehört haben und somit nur
> [mm]\IZ[/mm] als Ring vor Augen haben :P
ja, in [mm] $\IZ$ [/mm] gibt es nur die Einheiten [mm] $\pm [/mm] 1$, da geht es sozusagen nur um's Vorzeichen.
In beliebigen Ringen hat man jedoch ein paar mehr "Vorzeichen" :)
Dir auch nen schoenen Abend!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:55 Mo 22.11.2010 | | Autor: | AriR |
Eine kurze Rückfrage bitte noch
Wenn ich ein beliebiges Element c = a * b betrachte für c,a,b [mm] \in [/mm] R, R Ring, wobei jedoch a,b beide keine Einheiten sind, folgt dann nicht auch direkt, dass c keine Einheit ist?
Falls ja, ist es in der Definition von "irreduzibel" doch eigentlich gar nicht mehr nötig zu verlangen, dass c unter anderem eine nicht-Einheit sein muss damit es irreduzibel sein kann, da eine Darstellung c = a * b, für a,b keine Einheiten dies schon impliziert oder übersehe ich etwas?
Schönen Wochenstart wünsche ich ;)
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Hallo AriR,
> Eine kurze Rückfrage bitte noch
> Wenn ich ein beliebiges Element c = a * b betrachte für c,a,b $ [mm] \in [/mm] $ R, R Ring, wobei > jedoch a,b beide keine Einheiten sind, folgt dann nicht auch direkt, dass c keine Einheit ist?
So ist es.
> Falls ja, ist es in der Definition von "irreduzibel" doch eigentlich gar nicht mehr nötig zu verlangen, dass c unter anderem eine nicht-Einheit sein muss damit es irreduzibel sein kann, da eine Darstellung c = a * b, für a,b keine Einheiten dies schon impliziert oder übersehe ich etwas?
Nach Deiner Definition von Irreduzibilität, die ich mal e-Irreduzibilität nenne, sind Einheiten e-irreduzibel. Man verlangt aber gerade die Eigenschaft der Nichteinheit, weil es keinen Sinn macht, wie Felix auch schon erklärt hat, Einheiten als irreduzibel aufzufassen! Man kann nämlich beipsielsweise $1 = [mm] 1\cdot1= (-1)\cdot(-1)$ [/mm] schreiben, wobei $-1,1$ e-irreduzibel sind. Man hat Zerlegungen einer e-irreduziblen Zahl in e-irreduzible Faktoren. Diese Zerlegbarkeit kann man schlecht als irreduzibel bezeichnen.
> Schönen Wochenstart wünsche ich ;)
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Eine kurze Rückfrage bitte noch
>
> > Wenn ich ein beliebiges Element c = a * b betrachte für
> > c,a,b [mm]\in[/mm] R, R Ring, wobei > jedoch a,b beide keine
> > Einheiten sind, folgt dann nicht auch direkt, dass c keine
> > Einheit ist?
>
> So ist es.
Vorsicht! Das stimmt so nur in kommutativen Ringen und in manchen nicht-kommutativen (Matrizenringen ueber kommutativen Ringen z.B., bzw. allgemein Endomorphismenringen von endlichdimensionalen Vektorraeumen)!
Allein schon im Endomorphismenring eines unendlichdimensionalen Koepers gilt das nicht mehr, wie Linksshift $L$ und Rechtsshift $R$ (nach Basiswahl) zeigen: es gilt $id = L [mm] \circ [/mm] R$, jedoch sind weder $L$ noch $R$ Einheiten ($R$ ist nicht surjektiv, $L$ ist nicht injektiv).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 22.11.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Felix,
jetzt geht es mir so wie Dir neulich mit geordneten Körpern. Während ich die Antwort gab, musste ich daran denken, ob Du das jetzt auch bemängelst! Und das hast Du!
Ich dachte man darf annehmen, dass es nur um kommutative Ringe geht, zumal manche Autoren in diesem Zusammenhang (Irreduzibilität) mit Ring immer einen kommutativen Ring mit $1$ meinen.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin mathfunnel,
> jetzt geht es mir so wie Dir neulich mit geordneten
> Körpern. Während ich die Antwort gab, musste ich daran
> denken, ob Du das jetzt auch bemängelst! Und das hast
> Du!
:)
> Ich dachte man darf annehmen, dass es nur um kommutative
> Ringe geht, zumal manche Autoren in diesem Zusammenhang
> (Irreduzibilität) mit Ring immer einen kommutativen Ring
> mit [mm]1[/mm] meinen.
Es gibt auch manche, die sich Teilbarkeit nur in Integritaetsringen anschauen.
Ueber Einheiten kann man allerdings in beliebigen Ringen sprechen, und bevor sich das jetzt jemand so merkt, dass $a = b * c$ mit $b, c$ Einheit impliziert $a$ Einheit, ohne sich dabei zu merken wo das eigentlich gilt, dachte ich ich schreib es lieber dabei
Das Problem ist eng damit verwand, dass man Einheiten in Ringen nicht einfach als Elemente $x$ mit [mm] $\exists [/mm] y [mm] \in [/mm] R : x y = 1$ definieren kann, sondern dass man auch die Bedingung $y x = 1$ braucht.
Mir war das eine laengere Zeit auch mal nicht bewusst, ich bin davon ausgegangen dass aus $a = b c$ mit $a [mm] \in R^\ast$ [/mm] folgt $b, c [mm] \in R^\ast$; [/mm] ich habe es dann mal versucht zu beweisen als mir auffiel, dass es gar nicht gelten muss. Deswegen wollte ich das hier gleich mit erwaehnen, damit nicht noch mehr diesen Fehler machen
LG Felix
PS: in kommutativen Ringen mit 1 kann man Einheiten und Nichtnullteiler sehr schoen charakterisieren ueber die Abbildung [mm] $\varphi_x [/mm] : R [mm] \to [/mm] R$, $y [mm] \mapsto [/mm] x y$. Ein Element ist eine Einheit genau dann, dann [mm] $\varphi_x$ [/mm] surjektiv ist (und daraus folgt, dass es injektiv ist), und ein Element ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn die Abbildung injektiv ist. (Und wie man in [mm] $\IZ$ [/mm] sieht folgt daraus nicht, dass sie surjektiv sein muss).
Das ganze funktioniert so aber erstmal nur in kommutativen Ringen.
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