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Hallo, ich habe das Gefühl, bei den Umformungen in meiner Aufgabe irgendwo einen fehler drin zu haben... Wäre toll wenn irgendjemand das nachprüfen könnte?
Die Behauptung ist:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \summe_{i=0}^{n-k} a_{i,k} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \summe_{k=0}^{n-i} a_{i,k}
[/mm]
Der Induktionsanfang für n=0 ist wahr, das ist ja kein Problem.
Die Überführung nach n+1 habe ich so gelöst:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \summe_{i=0}^{n+1-k} a_{i,k} [/mm] =
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}(\summe_{i=0}^{n-k} a_{i,k}+a_{n+1,k})=
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}(\summe_{i=0}^{n-k} a_{i,k}+a_{n+1,k})+a_{0,n+1}=
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} \summe_{i=0}^{n-k} a_{i,k}+\summe_{k=0}^{n}a_{n+1-k,k}+a_{0,n+1} [/mm] =
[mm] \summe_{i=0}^{n} \summe_{k=0}^{n-i} a_{i,k}+\summe_{k=0}^{n+1}a_{n+1-k,k}=
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n+1} \summe_{k=0}^{n+1-i} a_{i,k}
[/mm]
Wer kann helfen??? Mir kommt der Schritt von der vierten zur fünften zeile komisch vor....
Danke!
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Hallo Biene!
> Die Behauptung ist:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \summe_{i=0}^{n-k} a_{i,k}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \summe_{k=0}^{n-i} a_{i,k}
[/mm]
>
> Der Induktionsanfang für n=0 ist wahr, das ist ja kein
> Problem.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") da beide Seiten [mm] $a_{0,0}$ [/mm] ergeben.
> Die Überführung nach n+1 habe ich so gelöst:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \summe_{i=0}^{n+1-k} a_{i,k}[/mm] =
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}(\summe_{i=0}^{n-k} a_{i,k}+a_{n+1,k})=
[/mm]
Hm. Mir kommt hier schon was komisch vor. Der letzte Summand ist doch [mm] $a_{n+1-k,k}$. [/mm] Später stimmt es bei Dir. Ich denke, das ist ein Tippfehler.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(\summe_{i=0}^{n-k} a_{i,k}+a_{n+1,k})+a_{0,n+1}=
[/mm]
Das ist auch etwas merkwürdig. Für $k=n+1$ würde die innere Summe doch von $i=0$ bis -1 laufen. BLITZ. Ich denke, Du solltest diesen Schritt zuerst machen. Dann klappt das (und kommt auf dasselbe raus).
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \summe_{i=0}^{n-k} a_{i,k}+\summe_{k=0}^{n}a_{n+1-k,k}+a_{0,n+1}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \summe_{k=0}^{n-i} a_{i,k}+\summe_{k=0}^{n+1}a_{n+1-k,k}=
[/mm]
> [mm]\summe_{i=0}^{n+1} \summe_{k=0}^{n+1-i} a_{i,k}
[/mm]
Hm. Das geht mir etwas zu schnell. Eigentlich musst Du doch alle Schritte, die Du vorher gemacht hast, wieder rückgängig machen, nur mit vertauschten Rollen. Dazu würde ich so vorgehen (für den hinteren Teil):
[mm]\summe_{k=0}^{n+1}a_{n+1-k,k}=\summe_{i=0}^{n+1}a_{i,n+1-i} \mbox{Substitution } i=n+1-k[/mm]
[mm] = \summe_{i=0}^{n}a_{i,n+1-i} + a_{n+1,0} [/mm]
Jetzt kannst Du [mm] $\summe_{i=0}^{n}$ [/mm] "ausklammern" usw. Versuch's nochmal. Du bist ganz dicht dran 
Viele Grüße
Brigitte
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