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| Aufgabe | | Ein konvexes n-Eck ist ein Gebilde in der Ebene, das von n-Strecken berandet wird, von denen jede genau zwei weitere in je einer Ecke in einem Winkel [mm] \not= \pi [/mm] (also [mm] \not= [/mm] 180°) trifft, so dass die Verbindungsstrecke zwischen je zwei inneren Punkten zweier verschiedener Strecken keine weitere Strecke trifft. Zeigen Sie: Die Summe der winkel in einem n-Eck ist für n [mm] \ge [/mm] 3 [mm] (n-2)\pi\hat=(n-2)180°. [/mm] |
Grüße,
ich habe die Lösung für die Aufgabe vorliegen, bin jedoch einen anderen Weg gegangen und mit vollständiger Induktion noch so unsicher, das ich nicht weiß ob ich es richtig gemacht habe. Daher die bitte zur Überprüfung meines Lösungsversuchs:
Induktionsanfang:
(3-2)180°
Induktionsannahme:
(n-2)180°
Induktionsschluss:
(n-2)*180° [mm] \Rightarrow [/mm] (n-2)180°+180°
[mm] \Rightarrow [/mm] (n+1*2)180°
Besten Dank für eure Mühen und beste Grüße
Stan Neymeyer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ein konvexes n-Eck ist ein Gebilde in der Ebene, das von
> n-Strecken berandet wird, von denen jede genau zwei weitere
> in je einer Ecke in einem Winkel [mm]\not= \pi[/mm] (also [mm]\not=[/mm]
> 180°) trifft, so dass die Verbindungsstrecke zwischen je
> zwei inneren Punkten zweier verschiedener Strecken keine
> weitere Strecke trifft. Zeigen Sie: Die Summe der winkel in
> einem n-Eck ist für n [mm]\ge[/mm] 3
> [mm](n-2)\pi\hat=(n-2)180°.[/mm]
> Grüße,
>
> ich habe die Lösung für die Aufgabe vorliegen, bin jedoch
> einen anderen Weg gegangen und mit vollständiger Induktion
> noch so unsicher, das ich nicht weiß ob ich es richtig
> gemacht habe. Daher die bitte zur Überprüfung meines
> Lösungsversuchs:
>
> Induktionsanfang:
> (3-2)180°
> Induktionsannahme:
> (n-2)180°
> Induktionsschluss:
> (n-2)*180° [mm]\Rightarrow[/mm] (n-2)180°+180°
> [mm]\Rightarrow[/mm] (n+1*2)180°
>
> Besten Dank für eure Mühen und beste Grüße
> Stan Neymeyer
Hallo Stan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
man kann allenfalls vermuten, was du so ungefähr gemeint
hast. Beachte aber, dass ein Beweis in der Mathematik nicht
aus einer fast zusammenhangslosen Reihe von Termen
besteht, sondern aus einer Reihe von Argumenten, die
eine Behauptung und den Weg von den angenommenen
Voraussetzungen bis zum logisch daraus folgenden Nachweis
der Gültigkeit der Behauptung sprachlich und dem Leser
verständlich darstellen.
Versuch also bitte zuerst, deine Gedanken wirklich in
eine sprachlich verständliche Form zu bringen. Leider
glauben manche (leider sogar auch einige Mathematiklehrer)
immer noch, dass in mathematischem Zusammenhang normale
deutsche Sätze aus irgendwelchen (mir rätselhaften !)
Gründen nicht zuläßig seien.
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für das freundliche Willkommensgeheiß.
Ja das knappe wurde mir leider "anerzogen".
Ich versuche mal etwas ausführlicher darzulegen was ich eigentlich meine:
Ich denke bis zum Induktionsschluss sollte alles so bleiben(?).
...
Induktionsschluss:
Wir überprüfen ob die Aussage (n-2)*180° auch für das n+1te-Element gilt.
Da mit jedem weiteren n 180 addiert wird, addieren wir auch zu der Aussage 180.
(n-2)180°+180°
Dies lässt sich auch umformen in:
(n+1-2)180°
Offensichtlich gilt die Aussage also auch für n+1.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Di 30.09.2014 | | Autor: | Fincayra |
Hallo.
Ich frage mich hauptsächlich, wie und ob ich überhaupt erstmal eine Gleichung hinbekomme. Induktion habe ich einfach nur mit kompletten Gleichungen in Erinnerung.
Also für ein Dreieck, klar, da kann man die Rechnung hinschreiben, weil man weiß, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° hat. Und dann? (n+1 [mm] -2)*\pi [/mm] = was? Auf dem Weg kann das nicht klappen, oder?
(Ich hoffe, ich konnte mein Problem verständlich darlegen *rot wird*) Die Lösung der Aufgabe habe ich auch vorliegen, aber ich würde trotzdem gern wissen, ob es so auch irgendwie geht.
Beste Grüße
Fin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Di 30.09.2014 | | Autor: | chrisno |
Es ist in der Mathematik absolut nicht verboten, mit Worten zu formulieren.
Mit der Winkelsumme im Dreieck hast Du das Fundament für den Beweis.
Nun fängst Du an:
Induktionsanfang (Induktionsverankerung): Sei n = 3, dann ist die Figur ein Dreieck. Für ein Dreieck gilt ...
Damit ist der Induktionsanfang gezeigt.
Induktionsannahme: Sei die Aussage schon für ein n-Eck mit den angegebenen Voraussetzungen, sonst aber beliebig, wahr. (Damit sind alle konvexen n-Ecke gemeint, unabhängig von den speziellen Winkeln und Seitenlängen.)
Für jedes konvexe n+1-Eck gibt es dann ein n-Eck, dass mit dem gegebenen n+1-Eck bis auf eine Ecke (hier formuliere ich mal salopp, das muss noch genauer werden) übereinstimmt. (Das muss noch gezeigt werden, ist aber einfach.)
Nun muss gezeigt werden, dass es möglich ist, das entscheidende Dreieck durch zwei zu ersetzen. Dabei kommen die Details der Definition von konvex ins Spiel.
Danach kann aus der alten Winkelsumme die neue ausgerechnet werden, und schon ist es geschafft.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Di 30.09.2014 | | Autor: | Fincayra |
Ich befürchte ja, ich verbeiße mich da in etwas, das es so nicht gibt oO
Also, das man einen Beweis durchaus mit Sätzen bilden kann, ist mir klar. Erklären könnte ich den Beweis auch...mit vielen nicht ganz mathematischen Worten ; ) Wie gesagt, die Lösung liegt mir vor und ich habe sie mittlerweile auch verstanden - und bei Wikipedia gibt es ja auch zwei Lösungsvorschläge (einer davon ist glaube ich das, was du erklärst).
Aber ich frage mich wirklich einfach, ob es eine Formel gibt, in der man dann n durch n+1 "ersetzen" kann. Also in die Richtung:
IAnfang: (3-2) [mm] \pi [/mm] = [mm] \pi [/mm] -> stimmt
IAnnahme.: für bel. aber festes n [mm] \ge [/mm] 3 gilt: (n-2) [mm] \pi [/mm] = bla (bla zu ersetzen mit ... ja was? einer Zahl? Das ist halt die Frage, die ich mir Stelle; GIBT es sowas?)
IS: (n+1 -2) [mm] \pi [/mm] = Rechnung/umgeforme = bla (bla wieder zu ersetzen)
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> Ich befürchte ja, ich verbeiße mich da in etwas, das es
> so nicht gibt oO
>
> Also, das man einen Beweis durchaus mit Sätzen bilden
> kann, ist mir klar. Erklären könnte ich den Beweis
> auch...mit vielen nicht ganz mathematischen Worten ; ) Wie
> gesagt, die Lösung liegt mir vor und ich habe sie
> mittlerweile auch verstanden - und bei Wikipedia gibt es ja
> auch zwei Lösungsvorschläge (einer davon ist glaube ich
> das, was du erklärst).
> Aber ich frage mich wirklich einfach, ob es eine Formel
> gibt, in der man dann n durch n+1 "ersetzen" kann. Also in
> die Richtung:
> IAnfang: (3-2) [mm]\pi[/mm] = [mm]\pi[/mm] -> stimmt
> IAnnahme.: für bel. aber festes n [mm]\ge[/mm] 3 gilt: (n-2) [mm]\pi[/mm] =
> bla (bla zu ersetzen mit ... ja was? einer Zahl? Das ist
> halt die Frage, die ich mir Stelle; GIBT es sowas?)
> IS: (n+1 -2) [mm]\pi[/mm] = Rechnung/umgeforme = bla (bla wieder zu
> ersetzen)
Hallo,
ich schlage dir vor, zu dem Beweis unbedingt mindestens eine
Zeichnung zu erstellen !
Die Zeichnung für den Induktionsschritt könnte z.B. etwa so
aussehen:
Zeichne dir (als Beispiel) vielleicht mal ein konvexes 7-Eck.
Es muss natürlich keineswegs regelmäßig sein. Konvexität
ist aber wesentlich. Das 7-Eck habe die Eckpunkte A.B,C,D,E,F,G.
Lass nun mal eine der Ecken (z.B. G) aus und zeichne (am
besten mit anderer Farbe !) auch das Vieleck ABCDEF
ein. Dies ist noch ein (ebenfalls konvexes) 6-Eck.
Stellvertretend kannst du jetzt an n = 6 und (n+1) = 7
denken.
Nach Induktionsvoraussetzung hat das n-Eck die
winkelsumme (Summe aller seiner Innenwinkel)
[mm] S_n [/mm] = (n-2)*180° .
Nun betrachtest du die Zerlegung des (n+1)-Ecks , die
in der Zeichnung entstanden ist: Das 7-Eck ABCDEFG
ist unterteilt in das 6-Eck ABCDEF und das durch die
Strecke AF vom ursprünglichen 7-Eck abgetrennte
Dreieck AFG.
So. Und nun solltest du dir genau klar machen, wie du
von der (als bekannt gedachten) Winkelsumme [mm] S_n [/mm] = [mm] S_6
[/mm]
ausgehend die Summe [mm] S_7 [/mm] = [mm] S_{n+1} [/mm] aller 7 Innenwinkel des
(n+1) - Ecks berechnen könntest. Ein paar der Innen-
winkel des ersten Vielecks kannst du als Innenwinkel für das
neue Vieleck einfach übernehmen (nämlich die Winkel
an den Ecken B, C, D und E). Was passiert mit den Winkeln
an den Ecken A und F ? Und was ist mit dem Winkel bei
der "neuen" Ecke G ?
Wenn du die dabei gewonnenen Erkenntnisse und die
Folgerungen daraus klar in Worte fassen kannst , erhältst
du einen brauchbaren Beweis für den Induktionsschritt.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Di 30.09.2014 | | Autor: | chrisno |
> ....
> Ich denke bis zum Induktionsschluss sollte alles so
> bleiben(?).
Das sehe ich nicht so. Schreib mal Klartext, wie Du den Induktionsanfang durchführst und weshalb DU der Meinung bist, dass die entsprechende Aussage richtig ist.
> ...
> Induktionsschluss:
> Wir überprüfen ob die Aussage (n-2)*180° auch für das
> n+1te-Element gilt.
> Da mit jedem weiteren n 180 addiert wird, addieren wir
> auch zu der Aussage 180.
Genau so gut könnte man auch schreiben:
Wir überprüfen ob die Aussage (n-2)*155° auch für das n+1te-Element gilt.
Da mit jedem weiteren n 180 addiert wird, addieren wir auch zu der Aussage 155.
.....
Offensichtlich gilt die Aussage also auch f ür n+1.
So geht das also nicht. Abgesehen davon, dass die Darstellung noch unverständlich ist, fehlt jede Begründung, warum Dein Schluss gelten soll.
Schreibe richtig hin:
Induktionsannahme: .....
Aus dieser Annahme folgt .......
....
Damit ist gezeigt, dass ...
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| Aufgabe | | Ein konvexes n-Eck ist ein Gebilde in der Ebene, das von n-Strecken berandet wird, von denen jede genau zwei weitere in je einer Ecke in einem Winkel [mm] \not= \pi [/mm] (also [mm] \not= [/mm] 180°) trifft, so dass die Verbindungsstrecke zwischen je zwei inneren Punkten zweier verschiedener Strecken keine weitere Strecke trifft. Zeigen Sie: Die Summe der winkel in einem n-Eck ist für n [mm] \ge [/mm] 3 [mm] (n-2)\pi\hat=(n-2)180°. [/mm] |
Danke für die Reaktion. Ich habe diese zum Anlass genommen meinen Ansatz neu zu überdenken.
Induktionsanfang:
Das die Winkelsumme in einem Dreieck (n=3) 180°ist, setzen wir als bekannt vorraus.
Induktionsannahme:
[mm] (n-2)\pi [/mm] gilt für beliebiges aber festes n [mm] \ge [/mm] 3
Induktionsschluss:
Ein Viereck (n=4) lässt sich in zwei Dreiecke (n1, n2) unterteilen wobei diese sich zwei Ecken des Vierecks teilen und entsprechend subtrahiert werden müssen.
Für ein n-Eck gilt also:
n = n1+n2-2
Die Winkelsumme des n-Ecks ist dann die Summe der Winkelsummen von n1+n2.
Daraus erhalten wir:
[mm] (n1-2)\pi [/mm] + [mm] (n2-2)\pi
[/mm]
[mm] =\pi((n1-2)+(n2-2))
[/mm]
[mm] =\pi(n1-2+n2-2) [/mm] | mit n1+n2-2 erhalten wir
[mm] =\pi(n-2)
[/mm]
Beste Grüße und nochmals vielen Dank für die Mühen
Stan Neymeyer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Di 30.09.2014 | | Autor: | chrisno |
>
>
> Induktionsanfang:
> Das die Winkelsumme in einem Dreieck (n=3) 180°ist,
> setzen wir als bekannt vorraus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber -1r
>
> Induktionsannahme:
> [mm](n-2)\pi[/mm] gilt für beliebiges aber festes n [mm]\ge[/mm] 3
Schreib es lieber ausführlich. So erwartest Du, dass der Leser alles dazu denkt, was Du weggelassen hast.
>
> Induktionsschluss:
> Ein Viereck (n=4) lässt sich in zwei Dreiecke (n1, n2)
> unterteilen wobei diese sich zwei Ecken des Vierecks teilen
> und entsprechend subtrahiert werden müssen.
> Für ein n-Eck gilt also:
> n = n1+n2-2
Das verstehe ich nun gar nicht. n1 und n2 sind Dreiecke (Deine Bezeichnung, ich finde sie nicht gut.)
Dann wird von den Dreiecken in der Gleichung n = n1+n2-2 die Zahl 2 subtrahiert. Wie soll das gehen?
> Die Winkelsumme des n-Ecks ist dann die Summe der
> Winkelsummen von n1+n2.
Die Winkelsumme eines n-Ecks ist gleich der Winkelsumme zweier Dreiecke? Es gibt einen Fall, in dem das stimmt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 Di 30.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Bonsoir,
> > Ein konvexes n-Eck ist ein Gebilde in der Ebene, das von
> > n-Strecken berandet wird, von denen jede genau zwei weitere
> > in je einer Ecke in einem Winkel [mm]\not= \pi[/mm] (also [mm]\not=[/mm]
> > 180°) trifft, so dass die Verbindungsstrecke zwischen je
> > zwei inneren Punkten zweier verschiedener Strecken keine
> > weitere Strecke trifft. Zeigen Sie: Die Summe der winkel in
> > einem n-Eck ist für n [mm]\ge[/mm] 3
> > [mm](n-2)\pi\hat=(n-2)180°.[/mm]
> > Grüße,
> >
> > ich habe die Lösung für die Aufgabe vorliegen, bin jedoch
> > einen anderen Weg gegangen und mit vollständiger Induktion
> > noch so unsicher, das ich nicht weiß ob ich es richtig
> > gemacht habe. Daher die bitte zur Überprüfung meines
> > Lösungsversuchs:
> >
> > Induktionsanfang:
> > (3-2)180°
> > Induktionsannahme:
> > (n-2)180°
> > Induktionsschluss:
> > (n-2)*180° [mm]\Rightarrow[/mm] (n-2)180°+180°
> > [mm]\Rightarrow[/mm] (n+1*2)180°
> >
> > Besten Dank für eure Mühen und beste Grüße
> > Stan Neymeyer
>
>
> Hallo Stan,
>
>
>
> man kann allenfalls vermuten, was du so ungefähr gemeint
> hast. Beachte aber, dass ein Beweis in der Mathematik
> nicht
> aus einer fast zusammenhangslosen Reihe von Termen
> besteht, sondern aus einer Reihe von Argumenten, die
> eine Behauptung und den Weg von den angenommenen
> Voraussetzungen bis zum logisch daraus folgenden Nachweis
> der Gültigkeit der Behauptung sprachlich und dem Leser
> verständlich darstellen.
>
> Versuch also bitte zuerst, deine Gedanken wirklich in
> eine sprachlich verständliche Form zu bringen. Leider
> glauben manche (leider sogar auch einige
> Mathematiklehrer)
> immer noch, dass in mathematischem Zusammenhang normale
> deutsche Sätze aus irgendwelchen (mir rätselhaften !)
> Gründen nicht zuläßig seien.
c'est vrai, mais peut-être en francais? ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Vielleicht liegt das bei diesen Mathelehrern/Mathematikern daran, dass
sie (während ihres [Mathematik-]Studiums) nie in ein Mathematikbuch
geguckt haben?!
Verstanden habe ich diese Methodik auch nie - sie kann helfen, wenn man
sich mal schnell was notieren will. Allerdings muss man dann auch diese
symbolische Sprache beherrschen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Di 30.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ein konvexes n-Eck ist ein Gebilde in der Ebene, das von
> n-Strecken berandet wird, von denen jede genau zwei weitere
> in je einer Ecke in einem Winkel [mm]\not= \pi[/mm] (also [mm]\not=[/mm]
> 180°) trifft, so dass die Verbindungsstrecke zwischen je
> zwei inneren Punkten zweier verschiedener Strecken keine
> weitere Strecke trifft. Zeigen Sie: Die Summe der winkel in
> einem n-Eck ist für n [mm]\ge[/mm] 3
> [mm](n-2)\pi\hat=(n-2)180°.[/mm]
> Grüße,
>
> ich habe die Lösung für die Aufgabe vorliegen, bin jedoch
> einen anderen Weg gegangen und mit vollständiger Induktion
> noch so unsicher, das ich nicht weiß ob ich es richtig
> gemacht habe. Daher die bitte zur Überprüfung meines
> Lösungsversuchs:
>
> Induktionsanfang:
> (3-2)180°
> Induktionsannahme:
> (n-2)180°
> Induktionsschluss:
> (n-2)*180° [mm]\Rightarrow[/mm] (n-2)180°+180°
> [mm]\Rightarrow[/mm] (n+1*2)180°
ich sag's mal so:
Wenn ihr schon solch' eine merkwürdige Definition für das Gebilde des
konvexen [mm] $n\,$-Ecks [/mm] habt, dann sollte bei der Argumentation im
Induktionsschritt auch diese Definition verwendet werden.
Mal abgesehen davon, dass man von Euch in der Schule erwartet, dass
ihr den Begriff *berandet* zu interpretieren wißt, ohne, dass man Euch
da eine genau Definition gibt.
Entsprechend wird da auch ein bisschen *im Induktionsschritt mit dem
Zeugs argumentieren, was man -beim Zeichnen zu sehen glaubt- *
erwartet.
Vielleicht würde das Ganze wenigstens etwas griffiger, wenn man die
Methoden der analytischen Geometrie heranziehen dürfte... aber das
wäre eine Idee für einen Schulbuchautor. 
Gruß,
Marcel
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