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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Aussage für ein festes k [mm] \le [/mm] n mit vollständiger Induktion über n:
[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{n+1-j}{j}, \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] k
Begründen Sie, warum die Induktion erst mit [mm] n_{0} [/mm] = k startet |
hab bei dieser Aufgabe massive Probleme, krieg iwie weder den IS noch den IA hin
Folgendes habe ich bisher:
IA: n=k // [mm] n_{0}=k [/mm] folgt meines Erachtens daraus das [mm] n\ge [/mm] k sein soll somit ist k der kleinste Wert
[mm] \bruch{k!}{k1(0!}=\bruch{k!}{k!}=1= \produkt_{j=1}^{k} \bruch{k+1-j}{j} [/mm]
Komme bei dem Produkt iwie nicht wirklich weiter an dieser Stelle, da ich nicht auf 1 komme
IV: Für ein n [mm] \ge [/mm] k gelte [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{n+1-j}{j}
[/mm]
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \bruch{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}= \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{n-k+1}= \produkt_{k}^{j=1} \bruch{n+1-j}{j} [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{n-k+1} [/mm] // nach ausmultiplizieren komme ich hier aber leider auf kein vernünftiges Ergebnis
Auf entsprechende Tipps würde ich mich sehr freuen
Lg Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Fr 24.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst n=1 damit auch k<=1 also k=1
und jetzt setze ein! sicherheitshalber noch für n=2k=1 aber in dem produkt steht ein n im Zähler kein k
und schreib die induktionsvors ordentlich auf, setz sie dann in die Ind. Beh. ein, das hast du nicht gemacht,
Gruß leduart
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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Aussage für ein [mm] k\le [/mm] n mit vollständiger Induktion über n:
[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}=\produkt_{j=1}^{k} \bruch{n+1-j}{j} [/mm] , [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] k
Begründen Sie, warum die Induktion erst mit [mm] n_{0} [/mm] = k startet |
IA: n=1 k=1
[mm] \bruch{1!}{1!(0!)}=1=\produkt_{j=1}^{1} \bruch{1+1-1}{1}=1 [/mm]
n=2 k=1
[mm] \bruch{2!}{1!(0!)}=2=\produkt_{j=1}^{1} \bruch{2+1-1}{1}=2 [/mm] // IA klappt nun schon mal also danke für den Tipp. Hab das [mm] n_{0}=k [/mm] falsch aufgefasst
IV: Für ein festes [mm] k\le [/mm] n gelte: [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}=\produkt_{j=1}^{k} \bruch{n+1-j}{j} [/mm] // ist die IV jetzt richtig aufgeschrieben?
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \bruch{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\bruch{n!}{k!(n-k)!} *\bruch{n+1}{n-k+1} [/mm] =(IV) [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{n+1-j}{j}* \bruch{n+1}{n-k+1} [/mm] // hier setze ich doch die IV (wie schon im ersten Versuch) ein.
Zum Schluss müsste dann doch eig [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{(n+1)+1-j}{j}
[/mm]
rauskommen oder nicht?
Und dies bekomme ich leider nicht hin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Sa 25.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Martin!
> Beweisen Sie die folgende Aussage für ein [mm]k\le[/mm] n mit
> vollständiger Induktion über n:
> [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}=\produkt_{j=1}^{k} \bruch{n+1-j}{j}[/mm] ,
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] k
>
> Begründen Sie, warum die Induktion erst mit [mm]n_{0}[/mm] = k
> startet
> IA: n=1 k=1
Ich denke, leduart hat sich da vertan... k ist fest, also können wir nicht einfach k=1 setzen. Wie du anfangs richtig geschrieben hast, startet die Induktion bei n=k, weil [mm]k\le n[/mm] vorausgesetzt ist.
> [mm]\bruch{1!}{1!(0!)}=1=\produkt_{j=1}^{1} \bruch{1+1-1}{1}=1[/mm]
>
> n=2 k=1
>
> [mm]\bruch{2!}{1!(0!)}=2=\produkt_{j=1}^{1} \bruch{2+1-1}{1}=2[/mm]
> // IA klappt nun schon mal also danke für den Tipp. Hab
> das [mm]n_{0}=k[/mm] falsch aufgefasst
Das vergessen wir mal wieder alles und ergänzen, was du im der ursprünglichen Frage geschrieben hast.
Sei also [mm]n=k[/mm].
Dann ist (linke Seite) [mm]\frac{k!}{k!}=1[/mm]
und (rechte Seite) [mm]\prod_{j=1}^k \frac{k+1-j}{j}=\frac{k+1-1}{1}\cdot\frac{k+1-2}{2}\cdot\frac{k+1-3}{3}\cdot\dots\cdot\frac{k+1-(k-1)}{k-1}\cdot\frac{k+1-k}{k}=\frac{k*(k-1)*(k-2)*\dots *2*1}{k!}=\frac{k!}{k!}=1[/mm]
> IV: Für ein festes [mm]k\le[/mm] n gelte:
> [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}=\produkt_{j=1}^{k} \bruch{n+1-j}{j}[/mm] //
> ist die IV jetzt richtig aufgeschrieben?
Nein, es geht doch um n. Also: Für ein [mm]n\ge k[/mm] mit festem k sei ... bereits bewiesen.
>
> IS: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm]\bruch{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\bruch{n!}{k!(n-k)!} *\bruch{n+1}{n-k+1}[/mm]
> =(IV) [mm]\produkt_{j=1}^{k} \bruch{n+1-j}{j}* \bruch{n+1}{n-k+1}[/mm]
> // hier setze ich doch die IV (wie schon im ersten Versuch)
> ein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zum Schluss müsste dann doch eig [mm]\produkt_{j=1}^{k} \bruch{(n+1)+1-j}{j}[/mm]
>
> rauskommen oder nicht?
> Und dies bekomme ich leider nicht hin
Doch, das schaffst du 
Aus Tippaufwandsgründen (und weil du mehr lernst, wenn du es selber machst) rechne ich dir das jetzt hier nicht vor, aber ich gebe dir eine Anleitung:
Schreibe das Produkt in [mm]\produkt_{j=1}^{k} \bruch{n+1-j}{j}* \bruch{n+1}{n-k+1}[/mm] so, wie ich es im Induktionsanfang gemacht habe (also die ersten paar Faktoren, dann "..." und dann die letzten paar Faktoren). Du wirst feststellen, dass auch hier die Faktoren immer um 1 kleiner werden, allerdings hört das irgendwann auf. Was dann zu tun ist, sag ich dir mit einem Beispiel:
Einen Faktor kannst du kürzen und dann hast du so etwas dastehen [mm]\frac{12*11*10*9*8*7*6*5}{8*7*6*5*4*3*2*1}[/mm]. Salopp gesagt: oben wird's immer um 1 kleiner hört aber irgendwann auf und unten wird's auch immer um 1 kleiner, geht aber bis zur 1.
Das möchte ich jetzt mit Fakultäten ausdrücken. Dazu erweitere ich mit [mm]4*3*2*1[/mm]:
[mm]\frac{12*11*10*9*8*7*6*5\ \ *4*3*2*1}{8*7*6*5*4*3*2*1\ \ *4*3*2*1}=\frac{12!}{8!*4!}=\frac{12!}{8!*(12-8)!}[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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| Aufgabe | | siehe 1. und 2. Versuch |
Habe den Induktionsschritt nun folgendermaßen gemacht:
[mm] ...=\bruch{n+1}{n-k+1}*\produkt_{j=1}^{k} \bruch{n+1-j}{j}= \bruch{n+1}{n-k+1}*( \bruch{n}{1}*\bruch{n-1}{2}*\bruch{n-2}{3}*...*\bruch{n+1-(k-1)}{k-1}*\bruch{n+1-k}{k})= [/mm] //jetzt kann man den Nenner n-k+1 kürzen und erhält somit
= [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{n+2-j}{j}
[/mm]
Ist das nun so richtig oder habe ich es mir zu leicht gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Di 28.10.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich kann das nun nachvollziehen, aber ich musste dazu ein paar Details selbst herausfinden. Die solltest Du auch aufschreiben.
- Die Klammer beseitigen.
- Genauer schreiben, wo die beiden Terme stehen, die heraus gekürzt werden.
- Dann schreiben, dass alle Nenner im Produkt verschoben werden.
- Den letzten Zähler im Produkt noch umformen.
Dann ist die Zusammenfassung klar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:49 Sa 25.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Martin,
> Beweisen Sie die folgende Aussage für ein festes k [mm]\le[/mm] n
> mit vollständiger Induktion über n:
>
> [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] = [mm]\produkt_{j=1}^{k} \bruch{n+1-j}{j}, \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] k
Du sollst die Aufgabe ja mit Induktion lösen, aber ich möchte es mir dennoch
nicht nehmen, mal einen direkten Weg zu zeigen:
${n [mm] \choose k}:=\frac{n!}{k!*(n-k)!}=\frac{\blue{\prod_{f=1}^n f}}{k!\;*\;\blue{\prod_{p=1}^{n-k}p}}=\frac{\prod_{f=n-k+1}^{n} f}{k!}$
[/mm]
Substituiert man nun [mm] $j\,$ [/mm] so, dass
[mm] $j=1\,$ $\iff$ $f=n-k+1\,,$
[/mm]
also
[mm] $j=j(f)=f+k-n\,,$ [/mm] (beachte auch [mm] $j(n)=k\,$)
[/mm]
so ist obiges letztstehendes
[mm] $=\frac{\prod_{j=1}^k (j+n-k)}{k!}=(\*)\,.$
[/mm]
Jetzt kann man aber (leicht) zeigen, dass
[mm] $\prod_{j=1}^k (j+n-k)=\prod_{\ell=1}^k (n+1-\ell).$
[/mm]
Der Rest folgt mit
[mm] $(\*)=\frac{\prod_{\ell=1}^k (n+1-\ell)}{\prod_{m=1}^k m}=\prod_{\ell=1}^k \frac{n+1-\ell}{\ell}$
[/mm]
P.S. Generell mal ein Tipp (wenn man solche Beweise ohne Induktion machen
will):
Oft hilft "ausschreiben", und danach nochmal alles in Produktformel verpacken.
(Wenn Du später geübt im Rechnen mit Produkt- bzw. Summenzeichen
bist - eigentlich ist das alles analog, insbesondere lernt man sowas eigentlich
auch in der Algebra - wirst Du Dir das "mit ... Ausschreiben" sicher oft ersparen
wollen... Aber zum *Training* gibt es meiner Meinung nach keine bessere
Methode!)
Beispiel:
[mm] $\frac{n!}{k!*(n-k)!}=\frac{n*(n-1)*...*(n-k+1)*\red{(n-k)*(n-k-1)*...*2*1}}{k!*\red{(n-k)*(n-k-1)*...*2*1}}=\frac{n*(n-1)*...*(n-k+2)*(n-k+1)}{k!}$
[/mm]
Du siehst wunderbar, welche Faktoren sich wegkürzen.
In Produktformelnotation
[mm] $\frac{n!}{k!*(n-k)!}=\frac{\left(\produkt_{m=n-k+1}^n m\right)*\red{\produkt_{\ell=1}^{n-k} \ell}}{k!*\red{\produkt_{\ell=1}^{n-k} \ell}}=\frac{\produkt_{m=n-k+1}^{n} m}{k!}$
[/mm]
Jetzt sagst Du vielleicht: "Aber da steht doch nicht genau das gleiche, oben
kam
[mm] $\frac{n*(n-1)*...*(n-k+2)*(n-k+1)}{k!}$
[/mm]
raus, und unten hast Du
[mm] $\frac{(n-k+1)*(n-k+2)*...*(n-1)*n}{k!}$
[/mm]
raus."
Dann sage ich Dir: Ja, ich kann aber das untige zu obigem umschreiben,
indem ich einfach die Kommutativität der Multiplikation benutze.
Das mache ich oben übrigens durchaus auch schonmal an der ein oder
anderen Stelle (bei der vorigen Rechnung).
Gruß,
Marcel
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