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| Aufgabe | Man Zeige durch vollständige Induktion:
Für jedes [mm] n\ge0 [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n}(p+k)=\bruch{1}{2}(n+1)(2p+n) [/mm] |
Hallo erstmal :)
Bei dieser Aufgabe habe ich schon Probleme damit den induktionsanfang mit n=1 zu rechnen weil ich dann auf
p=2p+1 komme.
Hab jetz schon mehrere Aufgaben berechnet allerding immer ohne so eine Variable.
Hab das da dann immer so gemacht ,dass ich die rechte Seite auf die Linke geschrieben habe und zu dem vorhandenen term addiert habe und das k durch n+1 ersetzt habe. Auf der rechten Seite habe ich alle n durch n+1 ersetz und diese dann auf die gleiche Form gebracht.
Würd mich freuen wenn mir jemand erklären könnte wie ich bei der obigen Aufgabe den Induktionsanfang mache und ob mein rechenweg auch für diese Aufgabe gültig ist.
Mfg mathefreak
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Hallo mathefreak89,
> Man Zeige durch vollständige Induktion:
> Für jedes [mm]n\ge0[/mm] gilt:
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> [mm]\summe_{k=0}^{n}(p+k)=\bruch{1}{2}(n+1)(2p+n)[/mm]
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> Hallo erstmal :)
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> Bei dieser Aufgabe habe ich schon Probleme damit den
> induktionsanfang mit n=1 zu rechnen weil ich dann auf
>
> p=2p+1 komme.
Zum einen beginnt die Induktion bei [mm]n=0[/mm], zum anderen ist
[mm]\sum\limits_{k=0}^1(p+k)=(p+0)+(p+1)=2p+1[/mm]
Und rechterhand [mm]\frac{1}{2}(1+1)(2p+1)=2p+1[/mm]
Passt also ...
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> Hab jetz schon mehrere Aufgaben berechnet allerding immer
> ohne so eine Variable.
>
> Hab das da dann immer so gemacht ,dass ich die rechte Seite
> auf die Linke geschrieben habe und zu dem vorhandenen term
> addiert habe und das k durch n+1 ersetzt habe. Auf der
> rechten Seite habe ich alle n durch n+1 ersetz und diese
> dann auf die gleiche Form gebracht.
>
> Würd mich freuen wenn mir jemand erklären könnte wie ich
> bei der obigen Aufgabe den Induktionsanfang mache und ob
> mein rechenweg auch für diese Aufgabe gültig ist.
Mache den Induktionsschritt wie üblich, betrachte [mm]p[/mm] als (zwar bel., aber) feste Zahl
IV: Sei [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]\sum\limits_{k=0}^{n}(p+k)=\frac{1}{2}(n+1)(2p+n)[/mm]
Dann ist im Induktionsschritt zu zeigen, dass [mm]\sum\limits_{k=0}^{n+1}(p+k)=\frac{1}{2}(n+2)(2p+n+1)[/mm] ist
Nimm dir die linke Seite her, zerlege die Summe so, dass du die IV anwenden kannst und verrechne es weiter, bis die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung dasteht
Anderer Ansatz, der schon bekannte Induktionsbeweise nutzt:
[mm]\sum\limits_{k=0}^n(p+k)=\sum\limits_{k=0}^np \ + \ \sum\limits_{k=0}^nk[/mm]
[mm]=p\cdot{}\sum\limits_{k=0}^n1 \ + \ \sum\limits_{k=0}^nk[/mm]
Linkerhand wird in der Summe [mm](n+1)[/mm]-mal die 1 aufsummiert und mit p multipliziert, da steht also ...
Die andere Summe ist eine altbekannte Summe ...
So kannst du dir die Induktion sparen 
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> Mfg mathefreak
Gruß
schachuzipus
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