Volumen und Mantelfläche < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sei ein spitzer Kreiskegel mit der Höhe h und dem Radius der Bodenfläche r.Leiten sie jeweils eine Formel für das Volumen und die Mantelfläche des Kegels her. |
So letztes mal für heute :)
Es gibt ja folgende Formel für das Volumen:
[mm] \integral_{}^{} \pi*f(x)^2\, [/mm] dx
Wenn ich mir jetz allerdings überlege wie der Körper aussehen müsste damit ein Kegel entsteht wenn er sich um die x-Achse dreht, hab ich irgendwie die Vorstellung dass es sich bei dem Graphen um eine einfache Gerade handeln müsste.
Wobei r der y-wert ist und h die x-stelle die Fläche könnte ich dann ja einfach berechnen durch [mm] \bruch{h*r}{2}.
[/mm]
Kann ich dann nich einfach diese Fläche mal [mm] 2\pi=360Grad [/mm] nehmen und hab die Lösung fürs Volumen als:
[mm] 2\pi*\bruch{h*r}{2}=\pi*h*r [/mm] ??
Für die Mantelfläche habe ich leide rncoh keinen Ansatz rausgefunden.
Mit großen Dank an alle:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mi 08.06.2011 | | Autor: | uliweil |
Hallo mathefreak89,
bei Deiner Lösung solltest Du erst mal die Qualitäten klären, d.h. wenn man zwei Längen multipliziert, dann kommt selten ein Volumen raus; da ändert auch [mm] \pi [/mm] nichts dran. 
Geh doch systematisch vor, stelle die Geradengleichung für die Rotationsfunktion f auf und integriere dann; übrigens hat die Intergralformel für Rotationskörper auch Integrationsgrenzen.
Gruß
Uli
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Ich komm halt irgendwie nicht auf die Rotationsfunktion:
wenn ichs mit y=mx+b probiere erhalte ich ja für die Steigung [mm] -\bruch{r}{h} [/mm] wenn ich jetz mal von den Punkten (0/h) und (r/0) ausgehe.
und dann weiß ich nich wie ich das machen mit zwei variablen im integral^^
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Hallo mathefreak89,
> Ich komm halt irgendwie nicht auf die Rotationsfunktion:
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> wenn ichs mit y=mx+b probiere erhalte ich ja für die
> Steigung [mm]-\bruch{r}{h}[/mm] wenn ich jetz mal von den Punkten
> (0/h) und (r/0) ausgehe.
Damit hast Du auch die Integrationsgrenzen.
>
> und dann weiß ich nich wie ich das machen mit zwei
> variablen im integral^^
>
Integriere jetzt einfach gemäß der Formel.
Du bekommst dann eine weitere Formel,
die ebenfalls von diesen zwei Variablen abhängig ist.
Gruss
MathePower
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Also is das meine Greradengleichung?? [mm] -\bruch{r}{h}??
[/mm]
Ich hab aber keine Ahnung wie ich mit 2 variablen integreren kann^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Pappus |
> Also is das meine Greradengleichung?? [mm]-\bruch{r}{h}??[/mm]
Nein
>
> Ich hab aber keine Ahnung wie ich mit 2 variablen
> integreren kann^^
Guten Abend!
1. Hast Du Dir den Graphen (die Gerade) einmal gezeichnet? Wenn ja, dann siehst Du, dass die Gerade die Gleichung
$y = [mm] f(x)=-\bruch [/mm] rh [mm] \cdot [/mm] x + r$
haben muss.
2. Benutze nun die von Dir zitierte Formel für das Rotationsvolumen:
[mm] $V=\pi \int\left(-\bruch hr \cdot x + h \right)^2 [/mm] dx$
h und r sind Konstante, die die Lage der Geraden im Koordinatensystem festlegen.
3. Da Du keinen Doppelkegel haben willst, müsstest Du jetzt die Integrationsgrenzen einfach an der Zeichnung ablesen können.
Gruß
Pappus
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