Volumenberechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Fr 28.11.2008 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe 1 | Seien a,c [mm] \in \IR_{+} [/mm] \ {0}. Berechnen Sie das Volumen von
P:={(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | ax² + cy² [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1}. |
| Aufgabe 2 | Seien a,b,c [mm] \in \IR, \pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] eine positiv definite Matrix und
Q:= {(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | ax² + 2bxy + cy² [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1}.
Durch eine lineare Transformation der (x,y)-Ebene führt man die Berechnung von [mm] v_{3}(Q) [/mm] auf Aufgabe 1. zurück. |
Hallo zusammen,
ich habe momentan leider keine Idee wie ich bei den Aufgaben beginnen soll. Ich kann mir bei Aufgabe 1. auch nicht vorstellen, wie dort der "Körper" aussehen soll, von dem das Volumen zu berechnen ist.
Ich weiß nur: x² + y² =1 ist die Koordinatengleichung des Einheitskreises, aber bringt mich das weiter?
Wir behandeln zur Zeit den Transformationssatz. Findet dieser in Aufgabe 1. Anwendung? Und wenn ja, in wie fern?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
Gruß vicky
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Hallo vicky,
> Seien a,c [mm]\in \IR_{+}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {0}. Berechnen Sie das Volumen von
>
> P:={(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | ax² + cy² [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}.
> Seien a,b,c [mm]\in \IR, \pmat{ a & b \\ b & c }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine positiv
> definite Matrix und
>
> Q:= {(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | ax² + 2bxy + cy² [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}.
>
> Durch eine lineare Transformation der (x,y)-Ebene führt man
> die Berechnung von [mm]v_{3}(Q)[/mm] auf Aufgabe 1. zurück.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe momentan leider keine Idee wie ich bei den
> Aufgaben beginnen soll. Ich kann mir bei Aufgabe 1. auch
> nicht vorstellen, wie dort der "Körper" aussehen soll, von
> dem das Volumen zu berechnen ist.
>
> Ich weiß nur: x² + y² =1 ist die Koordinatengleichung des
> Einheitskreises, aber bringt mich das weiter?
Nun, das ist doch schon mal nen Anfang.
Weiterhin wirst Du auch wissen, wenn bei der Gleichung
[mm]a*x^{2}+c*y^{2}=r^{2}, \ a,c,r \in \IR^{+} \setminus \left\{0\right\}[/mm]
die Koeffizienten a,c gleich sind, daß es dann um einen Kreis handelt.
Sind die Koeffzienten a,c unterschiedlich, dann handelt es sich um eine Ellipse.
Daher handelt es sich hier um einen elliptischen Zylinder.
>
> Wir behandeln zur Zeit den Transformationssatz. Findet
> dieser in Aufgabe 1. Anwendung? Und wenn ja, in wie fern?
Der Transformationssatz findet bei der Berechnung des Volumens Anwendung.
>
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
>
> Gruß vicky
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower und vicky,
> >Berechnen Sie das Volumen von
> >
> > [mm] P:=\{(x,y,z) \in \IR^3 | ax² + cy² \le z \le1\}
[/mm]
> > Ich kann mir bei Aufgabe 1 auch
> > nicht vorstellen, wie dort der "Körper" aussehen soll, von
> > dem das Volumen zu berechnen ist.
> >
> > Ich weiß nur: x² + y² =1 ist die Koordinatengleichung des
> > Einheitskreises, aber bringt mich das weiter?
>
>
> Nun, das ist doch schon mal nen Anfang.
>
> Weiterhin wirst Du auch wissen, wenn bei der Gleichung
>
> [mm]a*x^{2}+c*y^{2}=r^{2}, \ a,c,r \in \IR^{+} \setminus \left\{0\right\}[/mm]
>
> die Koeffizienten a,c gleich sind, daß es dann um einen
> Kreis handelt.
>
> Sind die Koeffzienten a,c unterschiedlich, dann handelt es
> sich um eine Ellipse.
>
> Daher handelt es sich hier um einen elliptischen Zylinder. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
ein elliptisches Paraboloid !
> > Wir behandeln zur Zeit den Transformationssatz. Findet
> > dieser in Aufgabe 1. Anwendung? Und wenn ja, in wie fern?
Ich kenne den Satz nicht genau, aber ich kann mir
vorstellen, um was es geht: durch eine affine Transformation
(Multiplikation der y-Koordinate mit einem geeigneten
Faktor) wird das elliptische Paraboloid in eines mit
kreisförmigen Querschnitten verwandelt. Dann wird
aus der Volumenberechnung ein gewöhnliches Rotations-
körper-Integral.
Gruß Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Sa 29.11.2008 | | Autor: | vicky |
Guten Morgen,
muß ich bei der 1. Aufgabe auch mit Polarkoordinaten arbeiten. Ich weiß leider immer noch nicht wie ich bei der Berechnung des Volumens vorgehen soll. Ich bin mir da ziemlich unsicher.
Ich vermute allerdings, das eine Umwandlung in Polarkoordinaten die Aufgabe vielleicht einfacher zum rechnen macht.
Desweiteren vermute ich, das bei dem elliptischen Paraboloiden Rotationssymetrie vorliegt und ich somit eine weitere Vereinfachung bei dieser Aufgabe erhalte.
Ansatz:
Vol(P) = [mm] \integral_{P}{dxdydz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{-\pi}^{\pi}\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{r^{2} cos \phi d\phi d\psi dr}
[/mm]
Wie geht es nun weiter?
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Guten Morgen vicky
> muß ich bei der 1. Aufgabe auch mit Polarkoordinaten
> arbeiten.
Es geht hier auch ohne.
> Ich vermute allerdings, das eine Umwandlung in
> Polarkoordinaten die Aufgabe vielleicht einfacher zum
> rechnen macht.
Eher nicht !
> Desweiteren vermute ich, das bei dem elliptischen
> Paraboloid Rotationssymetrie vorliegt und ich somit eine
> weitere Vereinfachung bei dieser Aufgabe erhalte.
Das elliptische Paraboloïd ist nicht rotations-
symmetrisch, falls [mm] a\not=c. [/mm] In diesem Fall können wir
es aber leicht so "quetschen", dass es rotations-
symmetrisch wird !
> Ansatz:
>
> Vol(P) = [mm]\integral_{P}{dxdydz}=\integral_{0}^{1}\integral_{-\pi}^{\pi}\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{r^{2} cos \phi d\phi d\psi dr}[/mm]
Für die gedachte Methode brauchen wir kein
Dreifachintegral. Ein einfaches wird genügen !
Wie "quetschen" wir nun das Paraboloid zurecht ?
Das Ziel wäre, aus den Ellipsengleichungen
[mm] a*x^2+c*y^2=z [/mm]
Kreisgleichungen zu machen, mit identischen
Faktoren bei beiden Quadraten, also z.B.
[mm] a*x^2+a*\overline{y}^2=z
[/mm]
Identifizieren wir diese beiden Terme, so zeigt
sich:
[mm] c*y^2=a*\overline{y}^2
[/mm]
[mm] y^2=\bruch{a}{c}*\overline{y}^2
[/mm]
Wenn wir also
[mm] y=\wurzel{\bruch{a}{c}}*\overline{y}
[/mm]
setzen, so wird im [mm] x-\overline{y}-z-Raum
[/mm]
ein Rotationsparaboloid entstehen:
[mm] $\overline{P}:\quad a*x^2+a*\overline{y}^2\le z\le [/mm] 1$
Sein Volumen [mm] Vol(\overline{P}) [/mm] unterscheidet sich von
$Vol(P)$ um den gleichen Faktor wie die
[mm] \overline{y}- [/mm] Koordinaten von den $\ y$ .
In der Transformationsformel entspricht
dieser Faktor einer Determinante.
Die Gleichung des Rotationsparaboloids, das den
gekrümmten Teil des Randes von [mm] \overline{P} [/mm] ausmacht,
kann in der Form [mm] z=a*r^2 [/mm] geschrieben werden,
wobei r der Radius auf dem Niveau z ist [mm] (0\le z\le [/mm] 1).
Die Berechnung von [mm] Vol(\overline{P}) [/mm] wird nun ein
einfaches Drehkörperintegral.
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Sa 29.11.2008 | | Autor: | vicky |
Es tut mir leid aber ich kann das alles noch nicht so ganz nachvollziehen.
Ich habe jetzt also meinen elliptischen Paraboloiden so zurecht "gequetscht", das dieser nun rotationssymmetrisch ist, was er ja bei [mm] a\not=c [/mm] nicht wäre.
Den elliptischen Paraboloiden habe ich mir bei wikipedia angesehen. Im Punkt x=0,y=0 und z=0 ist der Ursprung und hat eine Höhe von [mm] z\le [/mm] 1.
Da nun z = a * r² sein soll, heißt es also das mein Radius von meinem "gequetschten" Paraboloiden r= [mm] \wurzel{\bruch{z}{a}} [/mm] ist??? Und wenn [mm] z=ax^{2} [/mm] + [mm] a\overline{y}^{2}, [/mm] gilt dann [mm] r=\wurzel{x²+\overline{y}²}?
[/mm]
Bedeutet es eigentlich auch, das mein gequetschter Paraboloid um die z-Achse rotiert oder habe ich da was falsch verstanden?
Und nun die wichtigste Frage: Wie sieht das Integral aus? Es ist ja nun ein einfaches Integral. Gehen die Integrationsgrenzen von 0 bis 1?
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Hi Vicky,
> Ich habe jetzt also meinen elliptischen Paraboloiden so
> zurecht "gequetscht", das dieser nun rotationssymmetrisch
> ist, was er ja bei [mm]a\not=c[/mm] nicht wäre.
>
> .......
>
> Da nun z = a * r² sein soll, heißt es also das mein Radius
> von meinem "gequetschten" Paraboloiden [mm]r=\wurzel{\bruch{z}{a}}[/mm] ist???
> Und wenn [mm]\ z=ax^{2}+a\overline{y}^{2}[/mm], gilt dann [mm]\ r=\wurzel{x²+\overline{y}²}?[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau.
> Bedeutet es eigentlich auch, das mein gequetschter
> Paraboloid um die z-Achse rotiert
> oder habe ich da was falsch verstanden?
>
> Und nun die wichtigste Frage: Wie sieht das Integral aus?
> Es ist ja nun ein einfaches Integral. Gehen die
> Integrationsgrenzen von 0 bis 1?
Ja: $\ [mm] Vol(\overline{P})=\integral_{z=0}^{1}\underbrace{\pi*r(z)^2}_{Q(z)}\ [/mm] dz$
$\ Q(z)$ ist die Querschnittsfläche des Rotationsparaboloïds
in der Höhe $\ z$ über der [mm] x-\overline{y}- [/mm] Ebene.
Wenn du $\ [mm] Vol(\overline{P})$ [/mm] hast, musst du noch
zurückrechnen zu $\ Vol(P)$ und bist am Ziel.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 29.11.2008 | | Autor: | vicky |
Ich versuche dann jetzt mal das Volumen zu berechnen:
[mm] Vol(\overline{P}) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} \pi r(z)^{2} [/mm] dz = [mm] \integral_{0}^{1} \pi \bruch{z}{a} [/mm] dz (mit [mm] r(z)=\wurzel{\bruch{z}{a}} [/mm] )
= [mm] \bruch{\pi}{a}\integral_{0}^{1} [/mm] z dz = [mm] \bruch{\pi}{2a}
[/mm]
Stimmt das noch?
Wie erfolgt nun die Rückrechnung zu Vol(P)?
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> Ich versuche dann jetzt mal das Volumen zu berechnen:
>
> [mm]Vol(\overline{P})[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1} \pi r(z)^{2} dz =\integral_{0}^{1} \pi \bruch{z}{a}[/mm] dz
> (mit [mm]r(z)=\wurzel{\bruch{z}{a}}[/mm] )
> = [mm]\bruch{\pi}{a}\integral_{0}^{1}[/mm] z dz = [mm]\bruch{\pi}{2a}[/mm]
>
> Stimmt das noch? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Exakt.
> Wie erfolgt nun die Rückrechnung zu Vol(P)?
Wir hatten $\ y\ =\ [mm] \wurzel{\bruch{a}{c}}*\overline{y}$
[/mm]
Analog ist $\ Vol(P)\ =\ [mm] \wurzel{\bruch{a}{c}}*Vol(\overline{P})\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\pi}{2\wurzel{a\,c}}$ [/mm]
Und tschüss ! ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Sa 29.11.2008 | | Autor: | lenz |
hallo
ich wollt mal fragen ob es bei zweitens sinn macht wenn man:
[mm] e\alpha^{²}+f\beta^{2}=ax^{2}+2bxy+cy^{²}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha=\wurzel{\bruch{ax^{2}+2bxy+cy^{²}+f}{e}}
[/mm]
für [mm] \beta=1
[/mm]
setzt
gruß lennart
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Hallo lenz,
> hallo
> ich wollt mal fragen ob es bei zweitens sinn macht wenn
> man:
> [mm]e\alpha^{²}+f\beta^{2}=ax^{2}+2bxy+cy^{²}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \alpha=\wurzel{\bruch{ax^{2}+2bxy+cy^{²}+f}{e}}[/mm]
>
> für [mm]\beta=1[/mm]
> setzt
Das macht keinen Sinn.
Sinn macht in lineare Transformation
[mm]x=r_{1}*\tilde{x}+s_{1}*\tilde{y}[/mm]
[mm]y=r_{2}*\tilde{x}+s_{2}*\tilde{y}[/mm]
womit 2) auf 1) zurückgeführt wird.
> gruß lennart
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 So 30.11.2008 | | Autor: | lenz |
hallo
irgendwie komm ich nicht weiter.wenn ich
[mm] x=r_{1}\cdot{}\tilde{x}+s_{1}\cdot{}\tilde{y}
[/mm]
[mm] y=r_{2}\cdot{}\tilde{x}+s_{2}\cdot{}\tilde{y}
[/mm]
setze,dann müßten [mm] x,y,\tilde{x},\tilde{y}
[/mm]
doch diese:
[mm] a\cdot{}x^{2}+c\cdot{}y^{2}=e\cdot{}\tilde{x}^²+2\cdot{} f\cdot{}\tilde{x}\cdot{}\tilde{y}+g\cdot{}\tilde{y}^²
[/mm]
gleichung erfüllen,oder nicht,also
[mm] a\cdot{}(r_{1}\cdot{}\tilde{x}+s_{1}\cdot{}\tilde{y})^{2}+c\cdot{}(r_{2}\cdot{}\tilde{x}+s_{2}\cdot{}\tilde{y})^{2}=e\cdot{}\tilde{x}^²+2\cdot{} f\cdot{}\tilde{x}\cdot{}\tilde{y}+g\cdot{}\tilde{y}^²
[/mm]
nur ist das nicht besonders hilfreich,ich hab hier zuviele
Unbekannte.es müßten also noch weitere gleichungen oder ein neuer lösungsansatz her
kann mir vielleicht jemand einen tip geben
gruß lennart
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Hallo lenz,
> hallo
> irgendwie komm ich nicht weiter.wenn ich
> [mm]x=r_{1}\cdot{}\tilde{x}+s_{1}\cdot{}\tilde{y}[/mm]
> [mm]y=r_{2}\cdot{}\tilde{x}+s_{2}\cdot{}\tilde{y}[/mm]
> setze,dann müßten [mm]x,y,\tilde{x},\tilde{y}[/mm]
> doch diese:
> [mm]a\cdot{}x^{2}+c\cdot{}y^{2}=e\cdot{}\tilde{x}^²+2\cdot{} f\cdot{}\tilde{x}\cdot{}\tilde{y}+g\cdot{}\tilde{y}^²[/mm]
>
> gleichung erfüllen,oder nicht,also
>
> [mm]a\cdot{}(r_{1}\cdot{}\tilde{x}+s_{1}\cdot{}\tilde{y})^{2}+c\cdot{}(r_{2}\cdot{}\tilde{x}+s_{2}\cdot{}\tilde{y})^{2}=e\cdot{}\tilde{x}^²+2\cdot{} f\cdot{}\tilde{x}\cdot{}\tilde{y}+g\cdot{}\tilde{y}^²[/mm]
>
> nur ist das nicht besonders hilfreich,ich hab hier zuviele
> Unbekannte.es müßten also noch weitere gleichungen oder
> ein neuer lösungsansatz her
> kann mir vielleicht jemand einen tip geben
Wende hier doch die binomische Formel an,
und zwar so daß Du nur noch eine Summe von Quadraten stehen hast.
> gruß lennart
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 30.11.2008 | | Autor: | lenz |
hi
Ich weiß ehrlich gesagt nicht was du meinst.Die linke Seite der Gleichung
ist ja schon in binomischer Form und die rechte Seite krieg
ich nicht in binomische form da dafür [mm] f=\wurzel{e\cdot{}g} [/mm] sein müßte.
Ich weiß auch nicht so recht was du mit Summe von Quadraten meinst.
Könntest du vielleicht etwas genauer werden?
Gruß lenz
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Hallo lenz,
> hi
> Ich weiß ehrlich gesagt nicht was du meinst.Die linke
> Seite der Gleichung
> ist ja schon in binomischer Form und die rechte Seite
> krieg
> ich nicht in binomische form da dafür [mm]f=\wurzel{e\cdot{}g}[/mm]
> sein müßte.
> Ich weiß auch nicht so recht was du mit Summe von
> Quadraten meinst.
> Könntest du vielleicht etwas genauer werden?
Um 2) auf 1) zurückzuführen, mußt Du irgendwie das gemischtquadratische Glied in
[mm]ax^{2}+\blue{2bxy}+cy^{2}[/mm]
wegtransformieren, so daß nach der Transformation da steht:
[mm]\tilde{a}\tilde{x}^{2}+\tilde{c}\tilde{y}^{2}[/mm]
> Gruß lenz
>
>
Gruß
MathePower
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hallo lennart
Um den Term
[mm] T=a*x^2+2*b*x*y+c*y^2
[/mm]
in einen Term ohne gemischtes Glied
zu verwandeln, kann man so vorgehen:
[mm] $\bruch{T}{a}=x^2+2*\bruch{b*y}{a}*x+\bruch{c}{a}*y^2$
[/mm]
x-Term quadratisch ergänzen:
[mm] $\bruch{T}{a}=x^2+2*\bruch{b*y}{a}*x\ \red{+\bruch{b^2}{a^2}*y^2}+\bruch{c}{a}*y^2\ \blue{-\bruch{b^2}{a^2}*y^2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{T}{a}=\left(x+\bruch{b}{a}*y\right)^2+\left(\bruch{c}{a}\ -\bruch{b^2}{a^2}\right)*y^2$
[/mm]
wieder mit a multipliziert:
$\ [mm] T=a*\left(x+\bruch{b}{a}*y\right)^2+\left(c\ -\bruch{b^2}{a}\right)*y^2$
[/mm]
Setzen wir
[mm] u:=x+\bruch{b}{a}*y\right [/mm] und [mm] d:=c-\bruch{b^2}{a}
[/mm]
so wird
[mm] T=a*u^2+d*y^2
[/mm]
Darauf kann man nun die Erkenntnisse aus
Aufgabe 1 anwenden. Dort haben wir gefunden,
dass
$\ Vol(P)=\ [mm] \bruch{\pi}{2*\wurzel{a*c}}$
[/mm]
Auf die neue Situation mit [mm] Q=\{(x/y/z)\in\IR^3\ |\ T(x,y)\le z \le 1\}
[/mm]
angewandt, bedeutet dies:
$\ Vol(Q)=\ [mm] \bruch{\pi}{2*\wurzel{a*d}}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\pi}{2*\wurzel{a*(c-\bruch{b^2}{a})}}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\pi}{2*\wurzel{a*c-b^2}}$
[/mm]
Eine Frage bleibt noch: weshalb wird in der
Aufgabenstellung verlangt, dass die Matrix
$\ [mm] A=\pmat{a&b\\b&c}$
[/mm]
positiv definit sein soll? Zum einen garantiert
dies, dass a>0 ist, wie das in Aufgabe 1 erfor-
derlich ist. Damit die Gleichung
[mm] T=a*u^2+d*y^2=z [/mm] (z>0)
im u-y-z-Raum wirklich Ellipsen liefert, müsste
natürlich nebst a auch d positiv sein:
[mm] d:=c-\bruch{b^2}{a}>0\ \gdw\ a*c-b^2>0
[/mm]
Der Ausdruck [mm] a*c-b^2 [/mm] ist aber genau die Determinante
der Matrix A, und die ist für eine positiv definite
Matrix positiv.
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Mo 01.12.2008 | | Autor: | lenz |
alles klar
danke,wär ich nicht draufgekommen
gruß lennart
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