Volumenberechnung eines Prisma < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Di 11.03.2008 | | Autor: | Kimi91 |
| Aufgabe | Ein senkrechtes Prisma mit der Höhe a hat gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge a als Grundseiten. Berechne das Volumen eines Körpers, der aus dem Prisma so hergestellt wird :
Man zeichnet auf zwei Mantelquadrate je ein Quadrat der Seitenlänge a/3
das die gleichen Symmetrieachsen wie das Mantelquadrat hat. Dann entfernt man das so entstandene Prisma. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie kann man nun mit diesen Angaben das Volumen des Körpers berechnen? Ich hoffe ihr könnt mir wenigstens einen Denkanstoß geben. Vielen Dank im Voraus =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Di 11.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Ein senkrechtes Prisma mit der Höhe a hat gleichseitige
> Dreiecke mit der Seitenlänge a als Grundseiten. Berechne
> das Volumen eines Körpers, der aus dem Prisma so
> hergestellt wird :
> Man zeichnet auf zwei Mantelquadrate je ein Quadrat der
> Seitenlänge a/3
> das die gleichen Symmetrieachsen wie das Mantelquadrat
> hat. Dann entfernt man das so entstandene Prisma.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wie kann man nun mit diesen Angaben das Volumen des Körpers
> berechnen? Ich hoffe ihr könnt mir wenigstens einen
> Denkanstoß geben. Vielen Dank im Voraus =)
Hallo,
von oben gesehen sieht das ganze so aus:
- gleichseitiges Dreieck (nimm mal zum Zeichnen als Seitenlänge 6 cm)
- Zwei Dreiecksseiten haben Zwischenpunkte bei 2 cm und 4 cm
- Die Zwischenpunkte werden jeweils parallel zur 3. Seite miteinander verbunden.
Es ist zwischendrin ein gleichschenkliges Trapez entstanden.
Wenn du dessen Fläche ermitteln kannst, hast du auch schon fast das ausgeschnittene Volumen.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 11.03.2008 | | Autor: | Kimi91 |
Wow, danke abakus für die schnelle Hilfe. Aber jetzt habe ich eine weitere Frage : Die Formel des Flächeninhalts von einem Trapez ist ja a+c/2*h oder m*h
aber ich habe ja gar keine Angaben von dem Trapez, wie soll ich dann die Fläche berechnen?
Vlg Kimi91
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Di 11.03.2008 | | Autor: | maddhe |
aus der aufgabenstellung geht nicht hervor, WO auf den mantelflächen die quadrate gezeichnet werden sollen... ich vermute aber der einfachheit halber zeichnet man es in einer ecke, sodass 2 der 4 quadratseiten auf den prismakanten liegen (ich guck mal, ob ich ne zeichnung hinbekomme, kommt wenn dann noch nach^^)
dann musst du nur das ursprüngliche prisma berechnen (grundfläche*höhe, also fläche des gleichseitigen dreiecks mit seitenlänge a * höhe a)
und das neue prisma (grundfläche: gleichseitiges dreieck mit seitenlänge a/3 und höhe a/3) davon abziehen... brauchst du die rechnung dazu?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 11.03.2008 | | Autor: | Kimi91 |
Ja, das wäre nett ^^
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Hallo,
berechnen wir zunächst das große Prisma:
[mm] V_g_r=A_G*h
[/mm]
[mm] V_g_r=\bruch{\wurzel{3}}{4}*a^{2}*a [/mm] mit [mm] \bruch{\wurzel{3}}{4}*a^{2} [/mm] berechnest du das gleichseitige Dreieck
[mm] V_g_r=\bruch{\wurzel{3}}{4}*a^{3}
[/mm]
berechnen wir jetzt das kleine Prisma:
[mm] V_k_l=\bruch{\wurzel{3}}{4}*(\bruch{a}{3})^{2}*\bruch{a}{3}
[/mm]
[mm] V_k_l=\bruch{\wurzel{3}}{4}*\bruch{a}{9}^{2}*\bruch{a}{3}
[/mm]
[mm] V_k_l=\bruch{\wurzel{3}}{4}*\bruch{a^{3}}{27}
[/mm]
Restkörper
[mm] V_R_e_s_t=V_g_r-V_k_l
[/mm]
[mm] V_R_e_s_t=\bruch{\wurzel{3}}{4}*a^{3}-\bruch{\wurzel{3}}{4}*\bruch{a^{3}}{27}
[/mm]
[mm] V_R_e_s_t=\bruch{\wurzel{3}}{4}*a^{3}*(1-\bruch{1}{27})
[/mm]
[mm] V_R_e_s_t=\bruch{\wurzel{3}}{4}*a^{3}*\bruch{26}{27}
[/mm]
den Bruch kannst du noch so weit wie möglich vereinfachen,
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mi 12.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Wow, danke abakus für die schnelle Hilfe. Aber jetzt habe
> ich eine weitere Frage : Die Formel des Flächeninhalts von
> einem Trapez ist ja a+c/2*h oder m*h
> aber ich habe ja gar keine Angaben von dem Trapez, wie
> soll ich dann die Fläche berechnen?
>
> Vlg Kimi91
Die benötigten Längen sind gewisse Bruchteile der Kantenlänge des gleichseitigen Dreieecks. (Es geht da um 1/3 bzw 2/3, so wie auch deine Zwischenpunkte die Kantenlänge teilen - Stichwort: Strahlensatz!)
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