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| Aufgabe | [Gegeben ist die Funktion f von f (x) = 0 für x< [mm] $-(\pi/2)$, [/mm] f (x) = 0 für x> [mm] (\pi/2)) [/mm] und mit f (x) = (1/2)cos x für [mm] -(\pi/2) \le [/mm] x [mm] \le (\pi/2)
[/mm]
a) Zeigen Sie, daß f eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.
b) Bestimmen Sie [mm] P((-({\pi/4}))\leq \large [/mm] X [mm] \leq ({\pi/4}).
[/mm]
c) Bestimmen Sie a so, dass [mm] P((-a)\leq \large [/mm] X [mm] \leq [/mm] a) = 0,5] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich habe schon zu Aufgabe b) etwas geschrieben, bin mir aber überhaupt nicht sicher, da ich nicht weiss wie ich das nun berrechnen soll.
Zu a) und c) habe ich überhaupt keinen Ansatz.
zu b) P [mm] $(-\pi/4)$ \le [/mm] X [mm] \le $(\pi/4)$ [/mm] = [mm] F$(\pi/4)$-F$(\pi/4)$=1
[/mm]
Könntet ihr mir bitte helfen?
Gruß
Tanja
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> [Gegeben ist die Funktion f von f (x) = 0 für x< [mm]-(\pi/2)[/mm],
> f (x) = 0 für x> [mm](\pi/2))[/mm] und mit f (x) = (1/2)cos x für
> [mm]-(\pi/2) \le[/mm] x [mm]\le (\pi/2)[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, daß f eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
> ist.
> b) Bestimmen Sie [mm]P((-({\pi/4}))\leq \large[/mm] X [mm]\leq ({\pi/4}).[/mm]
>
> c) Bestimmen Sie a so, dass [mm]P((-a)\leq \large[/mm] X [mm]\leq[/mm] a) =
> 0,5]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Ich habe schon zu Aufgabe b) etwas
> geschrieben, bin mir aber überhaupt nicht sicher, da ich
> nicht weiss wie ich das nun berrechnen soll.
> Zu a) und c) habe ich überhaupt keinen Ansatz.
Zu a) 1. Du musst zeigen, dass [mm]f(x)\geq 0[/mm], für alle [mm]x[/mm] (Nicht-Negativität eines W-Masses).
2. Du musst zeigen, dass [mm]\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\, dx = 1[/mm] (Normiertheit eines W-Masses).
Für Deine spezielle Dichtefunktion ist dies wegen [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x\notin\big[-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\big][/mm] äquivalent mit
[mm]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\cos(x)\, dx = 1[/mm]
Zu c) Du musst ein solches [mm]a[/mm] aus der Bedingung
[mm]\int_{-a}^{+a}f(x)\, dx=0.5[/mm]
das heisst, in Deinem Spezialfall für [mm]f(x)[/mm]
[mm]\int_{-a}^{+a}\frac{1}{2}\cos(x)\, dx=0.5[/mm]
bestimmen.
>
> zu b) [mm]P\big(-\frac{\pi}{4}\le X \le \frac{\pi}{4}
\big) = F\big(\frac{\pi}{4}\big)-F\big(\frac{\pi}{4}\big)=1[/mm]
Kaum. [mm]F\big(\frac{\pi}{4}\big)-F\big(\frac{\pi}{4}\big)[/mm] ist sicher [mm]=0[/mm]. [mm]1[/mm] wäre allenfalls [mm]F\big(\frac{\pi}{2}\big)-F\big(-\frac{\pi}{2}\big)[/mm] (gemäss Normiertheit des durch die Dichtefunktion [mm]f(x)[/mm] definierten Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm]P[/mm]).
Mit Hilfe der "Dichtefunktion [mm]f(x)[/mm] ausformuliert erhält man vielmehr:
[mm]P\big(-\frac{\pi}{4}\le X \le \frac{\pi}{4}\big)
= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}}f(x)\, dx = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{+\frac{\pi}{4}}\frac{1}{2}\cos(x)\, dx = F\big(\frac{\pi}{4}\big)-F\big(-\frac{\pi}{4}\big)[/mm]
Da die Dichtefunktion [mm]f(x)[/mm] gerade ist (Graph symmetrisch zur [mm]y[/mm]-Achse), ist dies dasselbe wie [mm]2\cdot \int_0^{+\frac{\pi}{4}}\frac{1}{2}\cos(x)\, dx =\int_0^{+\frac{\pi}{4}}\cos(x)\, dx [/mm]
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Hallo Somebody!
Vielen lieben Dank für deine ausführliche Antwort. Sie hilft mir sehr.
Gruß Tanja
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