Wiener-Prozess/EW < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P}) [/mm] ein W-Raum und seien [mm] (W_{t})_{t\ge0} [/mm] ein Wiener-Prozess sowie [mm] (X_{t})_{t\ge0} [/mm] ein stochastischer Prozess, so dass
[mm] Y(\omega)=\integral_{0}^{T}{X_{t}(\omega) dW_{t}(\omega) }
[/mm]
existiert.
Zeigen Sie: Hängt [mm] X_{t} [/mm] stoch. höchstens von [mm] W_{s} [/mm] für [mm] s\le [/mm] t ab, dann ist E(Y)=0. Was bedeutet dies insbesondere für die Sonderfälle [mm] X_{t}=(W_{t})^{n} [/mm] für eine Konstante [mm] n\in\IN [/mm] sowie [mm] X_{t}(\omega)=f(t), [/mm] f stückweise stetige Funktion? |
Hallo!
Ich habe zuerst den Erwartungswert von Y ausgerechnet:
Nachdem man den limes und die Summe aus dem EW herausgezogen hat und die E-Werte getrennt hat, da die ZVen ja stochastisch unabhängig sind, erhält man:
...
[mm] E(Y)=\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n-1} E(X_{t}(\omega))E(W_{t_{k+1}}(\omega)-W_{t_{k}}(\omega))=0
[/mm]
da ja die Differenz der Wienerprozesse den Erwartungswert 0 hat.
Jetzt weiß ich nicht genau, was ich noch für die beiden Sonderfälle zeigen muss bzw. was das für die Sonderfälle bedeutet. Kann mir jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Sa 17.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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