Wurzelziehen in C < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Di 04.10.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | | [mm] z^3=4-3i [/mm] |
Hallo,
wie gehe ich da vor?
Ich habe die Wurzelformel nach dem Schema
[mm] \zeta_{k}=\wurzel[n]{r}*(cos\bruch{\phi+k*360°}{n}+i*sin\bruch{\phi+k*360°}{n})
[/mm]
Was setze ich da für k ein?
Danke und beste Grüße
[mm] \zeta_{k}=\wurzel[3]{12}*(cos\bruch{323,13°+k*360°}{3}+i*sin\bruch{323,13°+k*360°}{3})
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> [mm]z^3=4-3i[/mm]
> Hallo,
>
> wie gehe ich da vor?
>
> Ich habe die Wurzelformel nach dem Schema
>
> [mm]\zeta_{k}=\wurzel[n]{r}*(cos\bruch{\phi+k*360°}{n}+i*sin\bruch{\phi+k*360°}{n})[/mm]
für [mm]k=0,1,..., n-1[/mm]
Hier mit [mm]n=3[/mm]
>
> Was setze ich da für k ein?
Da die Gleichung dritten Grades ist, gibt es auch 3 Lösungen, k läuft hier also von 0 bis 2, also rechne die Lösungen nacheinander für [mm]k=0, k=1, k=2[/mm] aus.
>
> Danke und beste Grüße
>
> [mm]\zeta_{k}=\wurzel[3]{12}*(cos\bruch{323,13°+k*360°}{3}+i*sin\bruch{323,13°+k*360°}{3})[/mm]
Es ist doch [mm]|z^3|=|z|^3=|\sqrt{4^2+3^2}|^3=5^3[/mm]
Also [mm]|z|=5[/mm]
Wie kommst du auf [mm]\sqrt[3]{12}[/mm] ?
Und wie hast du diesen "krummen" Wert für [mm]\phi[/mm] berechnet? Habe gerade keine Lust, das nachzurechnen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Di 04.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
[mm] \zeta_{k}=\wurzel[3]{12} [/mm] Da hab ich mich im Taschenrechner vertippt, sorry.
Dann wäre es also [mm] \zeta_{k}=\wurzel[3]{4^2+(-3)^2}?
[/mm]
[mm] \phi [/mm] habe ich so berechnet:
-3:4 (da ja (4-3i))= [mm] -\bruch{3}{4} \Rightarrow tan^{-1} [/mm] = -36,87
Da wir im vierten Quadranten sind gilt 360°-36,87° = 323,13°
Oder verwechsel ich da jetzt etwas?
Beste Grüße
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
sei $r cis (\phi) := rcos(\phi) + r\cdot i sin(\phi)$
zuerst wandelst du die komplexe Zahl in die Polarform um, du hast $4-3i$ also ist das: $5cis(-36.87^{\circ})$ oder dein Ergebnis: $5cis(323.13^{\circ)$
Den Winkel anpassen müsstest du hier nicht!
Um zu schauen ob du im richtigen Quadranten bist, wandle deine Polarform wieder in die Normalform um. Dann siehst du an den Vorzeichen um wie viel du den Winkel anpassen musst.
Du musst jetzt zur Lösung der Aufgabe in deine Formel von De MOivre einsetzen, dabei ist $k: 0,1...,n-1$ und n ist hier 3.
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Di 04.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Hab ich das richtig verstanden, ich rechne also:
[mm] \zeta_{0}=\wurzel[3]{5}*(cos\bruch{36,87°+0*360°}{3}+i*sin\bruch{36,87°+0*360°}{3})
[/mm]
[mm] \zeta_{1}=\wurzel[3]{5}*(cos\bruch{36,87°+1*360°}{3}+i*sin\bruch{36,87°+1*360°}{3})
[/mm]
[mm] \zeta_{2}=\wurzel[3]{5}*(cos\bruch{36,87°+2*360°}{3}+i*sin\bruch{36,87°+2*360°}{3})
[/mm]
Das jeweils dann wieder zurückrechnen in die Binomialform um den Quadranten zu bestimmen um dann mit dem entsprechenden Winkel in der Polarform entsprechend [mm] (r|\phi) [/mm] anschreiben zu können?
Besten Dank…
|
|
|
| |
|
Hallo,
> richtig verstanden
ja
> Quadranten
Ich verstehe nicht was du meinst, den Winkel für den Quadranten musst du doch nur anpassen beim Umwandeln von Binomial/Normalform in Polarform.
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Di 04.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Danke,
ich meine, für [mm] \zeta_{0} [/mm] würde ja gelten [mm] \wurzel[3]{5}*(cos\bruch{36,87°+0*360°}{3}+i*sin\bruch{36,87°+0*360°}{3}) [/mm]
= [mm] \wurzel[3]{5}*(cos12,29+i*sin12,29) [/mm]
Das wäre doch eine der drei Lösungen in Polardarstellung, oder?
Hier weiß ich aber nicht in welchem Quadranten "wir" uns befinden? Wenn ich in Polarform gemäß des Schemas [mm] (r|\phi) [/mm] anschreiben möchte, kann ich für [mm] \phi [/mm] ja nicht einfach 12,29 einsetzen, sondern muss erst entsprechend umrechnen.
"r" wäre ja weiterhin einfach [mm] \wurzel[3]{5} [/mm] für [mm] \phi [/mm] brauch ich doch aber erst den richtigen Quadranten.
Ich hätte also in die Binomialform umgerechnet: [mm] \wurzel[3]{5}*cos12,29 [/mm] = 1,67 und [mm] \wurzel[3]{5}*sin12,29 [/mm] = 0,36 wäre also 1,67+0,36i folglich also der erste Quadrant. In dem Fall kann man zwar doch direkt 12,29° einsetzen, was aber wäre wenn es nicht der erste Quadrant ist? Dann muss ich doch erst umrechnen?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Das wäre doch eine der drei Lösungen in Polardarstellung, oder?
ja
> Hier weiß ich aber nicht in welchem Quadranten "wir" uns befinden?
Arctan bildet nur in die ersten zwei Quadranten ab, deshalb musst du den Winkel anpassen wenn du von der Normalform in die Polarform umrechnest, aber nicht nach dem Wurzelziehen, und auch nicht beim Umrechnen von Polarform in Normalform.
> gemäss [mm] $r|\phi$
[/mm]
dann ist dein [mm] $\zeta_{0}$ [/mm] richtig so!
> was aber wäre wenn es nicht der erste Quadrant ist?
Der Quadrant muss stimmen wenn du von Polarform in Normalform umrechnest, weil du den Winkel angepasst hast bevor du die Wurzel gezogen hast.
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Mi 05.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
okay, ich habe das Ganze jetzt noch ein Mal anhand eines anderen Bespiels probiert:
[mm] z^3=-2+3i
[/mm]
[mm] r=\wurzel{|(-2)^2+3^2|}=\wurzel{13}
[/mm]
tan [mm] \phi: -\bruch{3}{2} \Rightarrow [/mm] -56,31
[mm] \zeta_{0}=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{-56,31+0*360°}{3}+i*sin\bruch{-56,31+0*360°}{3}) [/mm] =
=1,53*(cos-18,77+i*sin-18,77) [mm] \Rightarrow [/mm] 1,45-0,49i
[mm] \Rightarrow [/mm] (1,53| 341,23°) weil Q4 [mm] (360-\phi) [/mm]
Ergebnis sollte aber sein -1,45+0,49i
[mm] \zeta_{1}=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{-56,31+1*360°}{3}+i*sin\bruch{-56,31+1*360°}{3}) [/mm] =
=1,53*(cos101,23+i*sin101,23) [mm] \Rightarrow [/mm] -0,30+1,50i
[mm] \Rightarrow [/mm] (1,53| 78,77°) weil Q2 [mm] (180-\phi) [/mm]
Ergebnis sollte aber sein 0,30-1,50i
[mm] \zeta_{2}=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{-56,31+2*360°}{3}+i*sin\bruch{-56,31+2*360°}{3}) [/mm] =
=1,53*(cos221,23+i*sin221,23) [mm] \Rightarrow [/mm] -1,15-1i
[mm] \Rightarrow [/mm] (1,53| 41,23°) weil Q3 [mm] (180+\phi) [/mm]
Dieses Ergebnis stimmt komischer Weise ???
Wo liegt da der Rechenfehler? Besten Dank…
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Mi 05.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> okay, ich habe das Ganze jetzt noch ein Mal anhand eines
> anderen Bespiels probiert:
>
> [mm]z^3=-2+3i[/mm]
>
> [mm]r=\wurzel{|(-2)^2+3^2|}=\wurzel{13}[/mm]
>
> tan [mm]\phi: -\bruch{3}{2} \Rightarrow[/mm] -56,31
Das stimmt nicht. Schau mal hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten
unter "Berechnung des Winkels im Intervall (−π, π] "
FRED
>
>
> [mm]\zeta_{0}=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{-56,31+0*360°}{3}+i*sin\bruch{-56,31+0*360°}{3})[/mm]
> =
>
> =1,53*(cos-18,77+i*sin-18,77) [mm]\Rightarrow[/mm] 1,45-0,49i
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (1,53| 341,23°) weil Q4 [mm](360-\phi)[/mm]
>
> Ergebnis sollte aber sein -1,45+0,49i
>
>
> [mm]\zeta_{1}=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{-56,31+1*360°}{3}+i*sin\bruch{-56,31+1*360°}{3})[/mm]
> =
>
> =1,53*(cos101,23+i*sin101,23) [mm]\Rightarrow[/mm] -0,30+1,50i
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (1,53| 78,77°) weil Q2 [mm](180-\phi)[/mm]
>
> Ergebnis sollte aber sein 0,30-1,50i
>
>
> [mm]\zeta_{2}=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{-56,31+2*360°}{3}+i*sin\bruch{-56,31+2*360°}{3})[/mm]
> =
>
> =1,53*(cos221,23+i*sin221,23) [mm]\Rightarrow[/mm] -1,15-1i
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (1,53| 41,23°) weil Q3 [mm](180+\phi)[/mm]
>
> Dieses Ergebnis stimmt komischer Weise ???
>
>
>
> Wo liegt da der Rechenfehler? Besten Dank…
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Fr 07.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Ich komm' da leider nicht weiter.
Wie rechne ich da nun den richtigen Winkel [mm] \phi [/mm] aus?
Wenn [mm] z^3=(-2+3i) [/mm] gilt dann für den [mm] tan\phi \bruch{3}{2}-\pi [/mm] ?
Ich komm da einfach nicht auf die richtigen Ergebnisse.
Besten Dank
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
>
> Ich komm' da leider nicht weiter.
> Wie rechne ich da nun den richtigen Winkel [mm]\phi[/mm] aus?
>
> Wenn [mm]z^3=(-2+3i)[/mm] gilt dann für den [mm]tan\phi \bruch{3}{2}-\pi[/mm]
> ?
>
Rein rechnerisch ergibt sich der Winkel zu
[mm]\phi=\arctan\left(\bruch{3}{-2}\right)[/mm]
Dieser stimmt jedoch nicht.
Da [mm]-2 < 0[/mm] muss [mm]\cos\left(\phi\right) < 0[/mm] sein.
Dies ist für [mm]\bruch{\pi}{2} < \phi < \bruch{3\pi}{2}[/mm] der Fall.
Weiterhin ist [mm]3 > 0[/mm] und damit muss [mm]\sin\left(\phi\right) < 0[/mm] sein
Dies ist für [mm]0 < \phi < \pi [/mm] der Fall.
Daher muss für der Winkel [mm]\phi[/mm] im Intervall [mm]\left]\bruch{\pi}{2}, \pi\right[[/mm] liegen.
Für diesen Winkel ergibt sich:
[mm]\phi'=\pi-\arctan\left(\bruch{3}{2}\right)[/mm]
Einfacher: Nutze die Periodizität des Tangens aus.
> Ich komm da einfach nicht auf die richtigen Ergebnisse.
>
> Besten Dank
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Sa 08.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Ich kapier das leider trotzdem nicht. Nach welchem Schema kann ich da vorgehen, wenn ich z.B. eine komplexe Zahl [mm] z^3=-2+3i [/mm] habe oder [mm] z^3=7-i.
[/mm]
Ich komme da nie auf den richtigen Winkel [mm] \phi.
[/mm]
Ich habe das eben noch einmal mit einer anderen Aufgabe versucht und rechne:
[mm] z^3=7-i \Rightarrow tan\phi \bruch{-1}{7} \Rightarrow \phi=-8,13
[/mm]
Wenn ich aber überall -8,13 für [mm] \phi [/mm] einsetze, komme ich auf völlig andere Ergebnisse.
Ich bin hier nach dem Schema vorgegangen:
[mm] tan\bruch{y}{x} [/mm] wenn x>0
Das müsste doch eigentlich gehen, oder?
Besten Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Sa 08.10.2011 | | Autor: | Infinit |
Hall drahmas,
der ausgerechnete Winkel ist okay. Kann es sein, dass Du Deinen Rechner im Bogenmaß laufen hast und nicht im Gradmaß, dann passt das natürlich nicht zusammen.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Sa 08.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
okay, danke. Ich habe jetzt für
[mm] \zeta_{0} [/mm] 1,92*(cos -2,71+i*sin-2,71) [mm] \Rightarrow [/mm] 1,92-0,09i
[mm] \zeta_{1} [/mm] 1,92*(cos 117,29+i*sin117,29) [mm] \Rightarrow [/mm] -0,88+1,7i
[mm] \zeta_{2} [/mm] 1,92*(cos 237,29+i*sin237,29) [mm] \Rightarrow [/mm] -1,04-1,62i
So weit stimmen die Ergebnisse laut Lösung. Wenn ich aber umrechnen möchte in de Polardarstellung nach dem Schema [mm] (r|\phi) [/mm] erhalte ich
[mm] \zeta_{0} [/mm] = (1,92|357,29)
[mm] \zeta_{1} [/mm] = (1,92|62,71) 62,71
[mm] \zeta_{2} [/mm] = (1,92|57,29)237,29
Die Ergebnisse in Rot sind falsch, seltsamer Weise? Woran liegt das?
Beste Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Sa 08.10.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo drahmas,
zunächst einmal der Hinweis, dass Du doch mit Deiner Form mit Betrag und Phase bereits die Werte in Polarkoordinaten gegeben hast. Du musst hier nichts mehr rechnen.
Willst Du dagegen aus den kartesischen Koordinaten die Polarkoordinaten bestimmen, so geht dies ja über den Arcustangens und dieser nimmt nur Werte zwischen -Pi/2 und +Pi/2 an. Hier musst Du immer diesen berechneten Wert mit dem Quadranten vergleichen, in dem die kartesisch dargestellte komplexe Zahl liegt und dabei können Unterschiede von 180 Grad auftreten. Grund für diese Doppeldeutigkeit ist das Vorzeichen von Real- und Imaginärteil, das bei der Division zu falschen Ergebnissen führen kann. Einen positiven Wert für den Arcustangens bekommst Du sowohl bei positivem Realteil und positivem Imaginärteil, aber auch, um 180 Grad versetzt, bei negativem Realteil und negativem Imaginärteil. Es kommt also der gleiche Wert für den Bruch raus, unabhängig, ob die komplexe Zahl im ersten oder im dritten Quadranten liegt. Gleiches gilt für eine Unsicherheit bei negativen Ergebnissen. Hier kann die komplexe Zahl im 2. oder im 4. Quadranten liegen. Also, immer gegenrechnen.
Viele Grüße,
Infinit
P.S. Bei Deinem zweiten Ergebnis kommt übrigens -62 Grad raus, Hierzu 180 dazugezählt und Du bist wieder im richtigen Quadranten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 08.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort. Gut, ich übe das noch einmal.
Allerdings hab ich nun noch mal eine Frage zur vorangegangenen Aufgabe
[mm] z^3=-2+3i
[/mm]
[mm] r=\wurzel{|(-2)^2+3^2|}=\wurzel{13}
[/mm]
Ich versuche [mm] \phi [/mm] nun zu berechnen mit
[mm] \pi-arctan\bruch{3}{2}=-53,16°
[/mm]
1,53*(cos [mm] \bruch{-53,16+0*360}{3}+i*sin\bruch{-53,16+0*360}{3}) [/mm] =
1,53*(cos-17,72+i*sin-17,72) [mm] \Rightarrow [/mm] 1,46-0,47i
Das hab ich aber leider nicht im Lösungsheft stehen. Demnach wäre man ja im vierten Quadranten und würde [mm] \phi [/mm] mit 360-17,72 erhalten folglich hätte man zurückgerechnet (1,53|342,28) und das stimmt leider auch nicht.
Daher zwei Fragen:
Gibt es sozusagen "Standardformeln" in die ich einfach einsetze wenn ich habe +a+bi; -a+bi; -a-bi; +a-bi sodass ich auf den ersten Blick weiß wie ich [mm] \phi [/mm] ausrechnen kann?
Und zweitens: meine Information stimmt schon, dass man im Q1 [mm] \phi [/mm] unverändert lässt, im Q2 [mm] 180°-\phi, [/mm] im Q3 [mm] 180°+\phi [/mm] und im Q4 [mm] 360°-\phi [/mm] rechnet um auf den richtigen Winkel zu kommen, wenn ich von Binomial- in Polardarstellung umrechnen will?
Beste Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Sa 08.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> danke für die Antwort. Gut, ich übe das noch einmal.
>
> Allerdings hab ich nun noch mal eine Frage zur
> vorangegangenen Aufgabe
>
> [mm]z^3=-2+3i[/mm]
>
> [mm]r=\wurzel{|(-2)^2+3^2|}=\wurzel{13}[/mm]
>
> Ich versuche [mm]\phi[/mm] nun zu berechnen mit
>
> [mm]\pi-arctan\bruch{3}{2}=-53,16°[/mm]
Schon wieder ein schauderhafter Mischmasch von Grad- und Bogenmaß! Das muss ja falsch werden.
Es gilt tan [mm] (56,31°)=\bruch{3}{2}. [/mm] Diese 56,31° fehlen dir an 180°.
Du musst deshalb 180°-56,31° rechnen, um auf deinen Winkel von (siehe Skizze) 123,69° zu kommen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn du natürlich [mm] \pi [/mm] - 56,31 rechnest (also 3,14-56,31), kann nur Unfug rauskommen.
Wenn du von deinem Taschenrechner dir Winkel (arctan-Werte) im Gradmaß angeben lässt, darfst du keine Formel mit [mm] \pi, [/mm] sondern nur mit 180° verwenden.
>
> 1,53*(cos
> [mm]\bruch{-53,16+0*360}{3}+i*sin\bruch{-53,16+0*360}{3})[/mm] =
>
> 1,53*(cos-17,72+i*sin-17,72) [mm]\Rightarrow[/mm] 1,46-0,47i
>
> Das hab ich aber leider nicht im Lösungsheft stehen.
> Demnach wäre man ja im vierten Quadranten und würde [mm]\phi[/mm]
> mit 360-17,72 erhalten folglich hätte man zurückgerechnet
> (1,53|342,28) und das stimmt leider auch nicht.
>
> Daher zwei Fragen:
> Gibt es sozusagen "Standardformeln" in die ich einfach
> einsetze wenn ich habe +a+bi; -a+bi; -a-bi; +a-bi sodass
> ich auf den ersten Blick weiß wie ich [mm]\phi[/mm] ausrechnen
> kann?
>
> Und zweitens: meine Information stimmt schon, dass man im
> Q1 [mm]\phi[/mm] unverändert lässt, im Q2 [mm]180°-\phi,[/mm] im Q3
> [mm]180°+\phi[/mm] und im Q4 [mm]360°-\phi[/mm] rechnet um auf den
> richtigen Winkel zu kommen, wenn ich von Binomial- in
> Polardarstellung umrechnen will?
>
> Beste Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Sa 08.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Okay,
vielen Dank für die Antwort.
wenn ich nun eintippe [mm] tan^{-1}= \bruch{3}{2} [/mm] erhalte ich 56,31, klar.
Daraus ergibt sich:
1,53*(cos18,77+i*sin18,77) [mm] \Rightarrow [/mm] +1,45+0,49i
Da wäre ich doch dann im 1 Quadranten. Wie kommt es, dass in meinem Lösungsheft angegeben ist -1,45+0,49i, was ja der zweite Quadrant wäre und folglich exakt die von Dir genannten 161,23° ergibt? Woher kommt das Minus vor 1,45, das erhalte ich einfach nicht, egal was ich eintippe?
Besten Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Sa 08.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Okay,
>
> vielen Dank für die Antwort.
>
> wenn ich nun eintippe [mm]tan^{-1}= \bruch{3}{2}[/mm] erhalte ich
> 56,31, klar.
> Daraus ergibt sich:
>
> 1,53*(cos18,77+i*sin18,77) [mm]\Rightarrow[/mm] +1,45+0,49i
>
> Da wäre ich doch dann im 1 Quadranten. Wie kommt es, dass
> in meinem Lösungsheft angegeben ist -1,45+0,49i, was ja
> der zweite Quadrant wäre und folglich exakt die von Dir
> genannten 161,23° ergibt? Woher kommt das Minus vor 1,45,
> das erhalte ich einfach nicht, egal was ich eintippe?
Vielleicht solltest du mal aufhören, irgendwas einzutippen.
Veranschauliche dir die Lage von -2+3i im Koordinatensystem. Das ist nun mal der zweite Quadrant!!!
Und jetzt lasse dir mal von deinem Taschenrechner (als Beispiel) folgende Werte ausgeben:
tan 3°
tan 177°
tan 183°
tan 357°
Staune ein wenig über die Ergebnisse und beginne nachzudenken, welche Zusammenhänge bestehen.
Befrage dann noch einmal den Rechner nach tan 8°.
Gib dann, ohne den Taschenrechner nochmals zu benutzen, die Werte
tan 172°, tan 188° und tan 352° an.
Nächste Stufe:
Nimm an, du wüsstest den Wert tan 33°.
Von welchen anderen Winkeln könntest du dann auch den Tangens angeben?
Gruß Abakus
>
> Besten Dank
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Sa 08.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Veranschaulichung.
Ich gehe also immer vom Quadranten der komplexen Zahl in Binomialform aus, die in der Aufgabe gegeben ist? -2+3i liegt im Zweiten klar.
Was ich leider aber immer noch nicht begreife ist, wie ich die anderen Quadranten bekomme? z.B. [mm] \zeta_1 [/mm] = 1,53*(cos138,77+i*sin138,77)
Wenn ich das umrechnen soll in Binomialschreibweise, habe ich gelernt, man muss lediglich "r" in diesem Fall also 1,53 jeweils mit dem cos und sin von [mm] \phi [/mm] (138,77) multiplizieren. Das wäre die Umrechnungsformel.
Die Winkel sind ja in diesem Fall nicht komplementär wie in Deinem Bsp. 3°;183° und 177°;257° folglich stochere ich da leider vorzeichenmäßig bei der Binomialschreibweise immer noch im Dunkeln. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Beste Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Was ich leider aber immer noch nicht begreife ist, wie ich die anderen > > > > Quadranten bekomme?
Wenn du die Polarform vorgegeben hast kommst du immer in den richtigen Quadranten.
> Wenn ich das umrechnen soll in Binomialschreibweise, mit r multiplizieren
ja
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 So 09.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Okay, nur wenn ich rechne:
[mm] \zeta_o [/mm] = 1,53*(cos18,77+i*sin18,77)=1,45+0,49i laut Taschenrechner.
Abakus hat mich ja schon aufgeklärt und meinte, bedingt durch -2+3i liegt das im zweiten Quadranten. Also ändere ich die Vorzeichen "manuell" auf -1,45+0,49i um, damt ich dem zweiten Quadranten gerecht werde.
Für [mm] \zeta_1 [/mm] = 1,53*(cos138,77+i*sin138,77)= -1,15+1,01i dass muss laut Lösung aber +1,15+1,01i sein, also der erste Quadrant, was ich ja dann falsch ausgerechnet hätte, nämlich den zweiten Quadranten. Warum? Ich verstehe nicht wieso bei einer derart einfachen Rechnung meine Ergebnisse, die ich mittels der Multiplikation von "r" mit cos/sin [mm] \phi [/mm] ausrechne, immer von der richtigen Lösung im Buch abweichen?
Schöne Grüße…
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 So 09.10.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo drahmas,
wie schon gesagt, die Darstellung in Polarkoordinaten ist immer okay, denn durch den angegebenen Winkel weisst Du sofort, in welchem Quadranten Du bist. Dein erstes Beispiel ist eideutig eine Zahl im ersten Quadranten mit einem Winkel von 18 Grad oder hast Du da Bogen- und Gradmaß durcheinander geschmissen.
Bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinasten musst Du auzfpassen wegen der Mehrdeutigkeit des Arcustangens, wie ich weiter oben bereits geschrieben hatte.
Ich befürchte, Du mixt immer noch wild Bogen- und Gradmaß durcheinander und das ergibt natürlich falsche Ergebnisse.
Bringe doch einfach noch mal ein Beispiel und dann schauen wir gemeinsam, wo der Hase im Pfeffer liegt.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 So 09.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke, dann auf ein Neues ;) …
Den Taschenrechner hab ich jetzt bereits zwei Mal überprüft, der arbeitet sicher mit Altgrad.
Wenn wir weiterhin vom Bsp. mit [mm] z^3=-2+3i [/mm] ausgehen, sehe ich das -2+3i im zweiten Quadranten liegen muss, da in der Gauß'schen Zahlenebene -2 auf der x-Achse und +3 auf der y-Achse.
Da [mm] z^3 [/mm] muss es ja 3 Lösungen geben die ich gemäß der Formel [mm] \zeta_k=\wurzel[3]{r}*(cos\bruch{\phi+k*360}{n}+i*sin\bruch{\phi+k*360}{n}) [/mm] ausrechnen kann.
"r" rechne ich aus [mm] \wurzel{|(-2)^2+3^2|}=\wurzel{13}
[/mm]
Beim Winkel [mm] \phi [/mm] würde ich eigentlich rechnen [mm] -\bruch{3}{2}, [/mm] da ja [mm] z^3=-2+3i, [/mm] richtig ist aber offenbar [mm] tan^{-1}=\bruch{3}{2} [/mm] woraus sich 56,31 ergibt.
Wieso kann ich hier nicht [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] einsetzen?
Das setze ich dann ein in
[mm] \zeta_0=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{56,31+0*360}{3}+i*sin\bruch{56,31+0*360}{3})
[/mm]
und erhalte vereinfacht de Polarform
[mm] \zeta_0=1,53*(cos18,77+i*sin18,77)
[/mm]
Wenn ich jetzt 1,53 jeweils mit cos18,77 und i*sin18,77 multipliziere, erhalte ich eigentlich +1,45+0,49i in Binomialform, also sowohl eine positiven Realteil wie einen positiven Imaginärteil, was ja dem ersten Quadranten entsprechen würde.
Abakus hat in seinem Beispiel aber richtgerweise den zweiten Quadranten errechnet mit -1,45+0,49i, so wies auch in meinem Lösungsheft stehen würde.
Bei mir kommen aber bei sämtlichen Umrechnungsversuchen von Polardarstellung in Binomialdarstellung zwar die richtigen Werte heraus, jedoch mit falschen Vorzeichen.
[mm] \zeta_1=1,53*(cos138,77+i*sin138,77) [/mm] = -1,15+1,01i richtig wäre jedoch +1,15+1,01i
[mm] \zeta_2=1,53*(cos258,77+i*sin258,77) [/mm] = -0,3-1,5i richtig wäre +0,3-1,5i.
Irgendwo muss da also beim Umrechnen von Polardarstellung nach Binomialdarstellung ein Fehler liegen.
Danke und schöne Grüße…
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> danke, dann auf ein Neues ;) …
>
> Den Taschenrechner hab ich jetzt bereits zwei Mal
> überprüft, der arbeitet sicher mit Altgrad.
Wenn du möchtest, könntest du ihn wohl auch auf
Bogenmaß ("RAD"ian) einstellen. Aber bleiben wir mal
bei Altgrad ("DEG"rees).
> Wenn wir weiterhin vom Bsp. mit [mm]z^3=-2+3i[/mm] ausgehen, sehe
> ich das -2+3i im zweiten Quadranten liegen muss, da in der
> Gauß'schen Zahlenebene -2 auf der x-Achse und +3 auf der
> y-Achse.
>
> Da [mm]z^3[/mm] muss es ja 3 Lösungen geben die ich gemäß der
> Formel
> [mm]\zeta_k=\wurzel[3]{r}*(cos\bruch{\phi+k*360}{n}+i*sin\bruch{\phi+k*360}{n})[/mm]
> ausrechnen kann.
Statt diese Formel zu benützen, kannst du auch zuerst eine
der Lösungen berechnen und dann zu ihrem Polarwinkel
k*360°/3=k*120° addieren (für k=1 und k=2).
> "r" rechne ich aus [mm]\wurzel{|(-2)^2+3^2|}=\wurzel{13}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Beim Winkel [mm]\phi[/mm] würde ich eigentlich rechnen
> [mm]-\bruch{3}{2},[/mm] da ja [mm]z^3=-2+3i,[/mm] richtig ist aber offenbar
> [mm]tan^{-1}=\bruch{3}{2}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
was soll denn nun das heißen ???
> woraus sich 56,31 ergibt.
wenn du Grad meinst, so schreib bitte auch das ° - Zeichen dazu !
(das sollte auf der Tastatur zu finden sein)
> Wieso kann ich hier nicht [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] einsetzen?
Kommt nur drauf an, wovon genau du sprichst. Natürlich ist
[mm] tan(\phi)=-3/2 [/mm] , wenn [mm] \phi [/mm] der Polarwinkel von -2+3i sein soll.
Es ist dann arctan(-3/2) = -56.31 ° und [mm] \phi [/mm] = -56.31°+180° = 123.69°
(die 180° muss man addieren, um vom 4. in den 2. Quad-
rant zu kommen).
Dies ist der Polarwinkel, den du durch 3 dividierst, um zum
Polarwinkel [mm] \alpha_0 [/mm] einer ersten Lösung [mm] z_0 [/mm] zu kommen. Ergebnis:
[mm] \alpha_0 [/mm] = 41.23°
[mm] z_0=r_z*(cos(\alpha_0)+i*sin(\alpha_0)
[/mm]
Dabei sei [mm] r_z [/mm] der Betrag von z, also hier [mm] r_z=\wurzel[3]{\wurzel{13}}=13^{1/6}\approx1.5334 [/mm] .
Für die anderen beiden Lösungen [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] nimmst du dann
anstelle von [mm] \alpha_0 [/mm] = 41.23° die Polarwinkel
[mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \alpha_0 [/mm] + 120° = 161.23° und [mm] \alpha_2 [/mm] = [mm] \alpha_0 [/mm] + 240° = 281.23°
Die drei Lösungen [mm] z_0 [/mm] , [mm] z_1 [/mm] , [mm] z_2 [/mm] sitzen quasi an den drei Spitzen
der Strahlen eines verdrehten Mercedessterns mit Zentrum in
O(0/0) .
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Mo 10.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Ich bin nun etwas weiter gekommen, eine Frage bleibt jedoch noch.
[mm] z^3=-2+3i
[/mm]
[mm] r=\wurzel{|(-2)^2+3^2|}=\wurzel{13}
[/mm]
[mm] \alpha= arctan-\bruch{3}{2}=-56,31° [/mm]
[mm] \phi=180°-\alpha=123,69°
[/mm]
[mm] \zeta_0=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{123,69+0*360}{3}+i*sin\bruch{123,69+0*360}{3}) [/mm] =
[mm] =\zeta_0=1,53*(cos41,23+i*sin41,23) \Rightarrow [/mm] 1,15+1,01i [mm] \Rightarrow [/mm] (1,53|41,23°)
So weit ok, aber:
[mm] \zeta_1=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{123,69+1*360}{3}+i*sin\bruch{123,69+1*360}{3}) [/mm] =
[mm] =\zeta_1=1,53*(cos161,23+i*sin161,23) \Rightarrow [/mm] -1,45+0,49i [mm] \Rightarrow [/mm] (1,53|18,77) 161,23 sollte es sein.
[mm] \zeta_2=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{281,23+2*360}{3}+i*sin\bruch{281,23+2*360}{3}) [/mm] =
[mm] =\zeta_2=1,53*(cos281,23+i*sin281,23) \Rightarrow [/mm] 0,3-1,5i [mm] \Rightarrow [/mm] (1,53|78,77) 281,23 sollte es sein.
Warum muss ich da nicht mehr gemäß der Quadranten umrechnen, sprich 2.Q [mm] 180-\bruch{\phi+1*360}{3} [/mm] und für 4.Q [mm] 360-\bruch{\phi+2*360}{3}, [/mm] sondern kann plötzlich die Winkel so übernehmen wie sie in der Formel stehen?
Danke und beste Grüße
|
|
|
| |
|
> [mm]z^3=-2+3i[/mm]
>
> [mm]r=\wurzel{|(-2)^2+3^2|}=\wurzel{13}[/mm]
>
> [mm]\alpha= arctan-\bruch{3}{2}=-56,31°[/mm]
Setz doch hier Klammern:
[mm]\alpha= arctan\left(-\bruch{3}{2}\right)\ =\ -56,31^{\circ}[/mm]
(Klick bitte auf diese Formel, um z.B. auch zu sehen, wie
man große Klammern kriegt und das °-Symbol in Latex
schreibt)
> [mm]\phi=180°-\alpha=123,69°[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das sollte heißen: [mm]\phi=180^{\circ}+\alpha=123,69^{\circ}[/mm]
> [mm]\zeta_0=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{123,69+0*360}{3}+i*sin\bruch{123,69+0*360}{3})[/mm]
> =
> [mm]=\zeta_0=1,53*(cos41,23+i*sin41,23) \Rightarrow[/mm] 1,15+1,01i
> [mm]\Rightarrow[/mm] (1,53|41,23°)
>
> So weit ok, aber:
>
> [mm]\zeta_1=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{123,69+1*360}{3}+i*sin\bruch{123,69+1*360}{3})[/mm]
> =
> [mm]=\zeta_1=1,53*(cos161,23+i*sin161,23) \Rightarrow[/mm]
> -1,45+0,49i [mm]\Rightarrow[/mm] (1,53|18,77)
> 161,23 sollte es sein.
Woher zum Kuckuck nimmst du jetzt den Winkel 18.77°, wo wir
doch den richtigen, nämlich 161.23° , schon hatten ???
> [mm]\zeta_2=\wurzel[3]{\wurzel{13}}*(cos\bruch{281,23+2*360}{3}+i*sin\bruch{281,23+2*360}{3})[/mm]
> =
> [mm]=\zeta_2=1,53*(cos281,23+i*sin281,23) \Rightarrow[/mm] 0,3-1,5i
> [mm]\Rightarrow[/mm] (1,53|78,77) 281,23 sollte es sein.
>
> Warum muss ich da nicht mehr gemäß der Quadranten
> umrechnen, sprich 2.Q [mm]180-\bruch{\phi+1*360}{3}[/mm] und für
> 4.Q [mm]360-\bruch{\phi+2*360}{3},[/mm] sondern kann plötzlich die
> Winkel so übernehmen wie sie in der Formel stehen?
Es hat doch keinen Zweck, wenn du auf Teufel komm raus
Umrechnungsformeln hin und zurück anwendest anstatt
mittels einer einfachen Skizze in der x-y-Ebene dir klar
zu machen, um welche Winkel es wirklich geht !
LG
|
|
|
|
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
komplexe Zahl