Zw 2 EP liegt ein WP < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, zunaechst sei gesagt, ich versuche keinen Beweis, sondern eine anstaendige Begruedung (die ruhig einen Beweis beinhaltet)
Also so Sachen wie 1=1 erwaehne ich nicht :P
Folgende Aussage ist zu begruenden(oder widerlegen) :
Zwischen 2 Extrempunkten einer ganzrationalen Funktion liegt stets ein Wendepunkt.
Erste ueberlegung:
Eine Funktion mit 2 EP(oder mehr) muss mindestens 3.Grad oder hoeher sein. [mm] (x^2 [/mm] hat nur 1 EP, x hat keinen)
Die kleinste Funktionenschar, die dies erfuellt ist:
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
[mm] f'(x)=3ax^2+2bx+c
[/mm]
f''(x)=6ax+2b
Nun grenzen wir die Funktionen aus, die keine 2 EP haben (alle die keine 2 Loesungen fuer f'(x)=0 liefern)
f'(x)=0 ergibt:
aufgeloest kommt raus:
[mm] x=-b/(3a)+(b^2/(9a^2)-c/(3a))^{0,5}
[/mm]
da wir 2 Loesungen haben wollen muss das unter der wurzel ungleich 0 sein.
Daher
(kann jeder nachrechnen) :
[mm] c=/=b^2/(3a)
[/mm]
[mm] a=/=b^2/(3c)
[/mm]
b=/=(3ac)^(0,5)
a=/=0 weil f(x) sonst nicht 3. Grades waere
[b]+[a]=/=0 (sonst waere b=die wurzel)
[b]+[c]=/=0 (selbiges)
So und jetzt wollte ich fragen:
Ist das was ich gemacht habe ueberhaupt Zielfuehrend? Wie solls weitergehen?
Muss ich mit [mm] f(x)=a_nx^n [/mm] +..... anfangen? oder reicht das, wenn ich das fuer EINE funktionenSCHAR belege? (also reicht eine f 3. grades oder muss ich das fuer den n.ten grad belegen?)
Bitte in ein andere Forum verschieben wenn das hier nicht passt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Mi 20.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
versuche mal den Mittelwertsatz der Differenialgleichgung auf f'(x) anzuwenden und verwende dabei, das f'(x) an zwei verschiedenen Stellen 0 ist.
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Hallo ullim,
also muss ich [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] benutzen anstatt a und b wie in diesem wikiartikel:
http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ullim,
>
> also muss ich [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] benutzen anstatt a und b wie in
> diesem wikiartikel:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung
>
> ?
Ja
FRED
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Hi, bevor ich das jetzt alles einsetze (ist ja ne heidenarbeit [mm] o_O
[/mm]
gibts ein paar tips dabei?
Und nochmal die Frage, reicht es die Aussage mit dem Beispiel 3. Grades zu belegen, bzw. koennte ich (soweit bin ich aber noch nich mitm Stift^^) mit der n->n+1 das dann 'beweisen' fuer alle scharen egal welchen n?
sozusagen a_(n+1)x^(n+1)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mi 20.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.du sollst das für alle rationalen fkt zeigen!
2. du weisst dass diese eine stetige Ableitung f' haben und f''
3. du weisst dass f' 2 benachbarte Nullstellen hat und dazwischen nicht konstant ist,
jetzt kommt der MWS allgemein
und da kommen keine langen Ausdrücke vor
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mi 20.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
der MWS lautet für die erste Ableitung, es gibt ein x zwischen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] mit
[mm] f''(x)=\bruch{f'(x_1)-f'(x_2)}{x_1-x_2}
[/mm]
Jetzt die Eigenschaft der EP verwenden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Mi 20.11.2013 | | Autor: | sinnlos123 |
achsoo:
f'(x) ist in beiden faellen 0, daher 0-0=0, fuer jedes Extrempunktpaar
dann ist f''(x)=0.
Allerdings versteh ich noch nicht, wie man jetzt noch eine allgemeingueltige Aussage macht, was bedeutet denn f''(x)=0 ? (unser lehrer hat uns beigebracht, dass man dann nichts aussagen kann, aber vll erinner ich mich nicht mehr)
bzw wenn f''(x)=0 ist, ist f'''(x)=0 (ist ja dasselbe 0-0), wie komm ich da auf eine Aussage?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mi 20.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
also erstmal hast Du mit der Existens eines [mm] x\in [x_1, x_2] [/mm] für das f''(x)=0 gilt, die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepunkts gezeigt.
f'''(x) ist im Allgemeinen nicht =0. Z.B. für [mm] f(x)=x^3+4x^2+x+1 [/mm] s. Bild
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Aso, f'''(x) ist ja im fall n=3 eine Konstante, bzw hat bei n>=3 immer ein Konstantes Glied, was heisst, dass es eine Loesung =/=0 geben MUSS.
Und falls es keine konstante hat, weil der entscheidende vorfaktor 0 ist in f(x) so hat diese Gleichung auch keine 2 Extrema.(hoechstens Sattelpunkte)
Oder?
z.b. [mm] f(x)=x^4 [/mm] ist zwar genuegend differenzierbar, laesst aber keine 2deutige Loesung f'(x)=0 zu, weil ...(wie kann man dass korrekt formulieren?)
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> Aso, f'''(x) ist ja im fall n=3 eine Konstante, bzw hat bei
> n>=3 immer ein Konstantes Glied, was heisst, dass es eine
> Loesung =/=0 geben MUSS.
>
> Und falls es keine konstante hat, weil der entscheidende
> vorfaktor 0 ist in f(x) so hat diese Gleichung auch keine 2
> Extrema.(hoechstens Sattelpunkte)
> Oder?
>
> z.b. [mm]f(x)=x^4[/mm] ist zwar genuegend differenzierbar, laesst
> aber keine 2deutige Loesung f'(x)=0 zu, weil ...(wie kann
> man dass korrekt formulieren?)
Zum einen solltest du dich für deine Begründung/deinen Beweis von n=3 lösen, für dein Verständnis kannst du dir den Fall aber immer heranziehen.
Nutze die Voraussetzung, die du in dieser Situation hast: Deine ganzrationale Funktion hat zwei (benachbarte) Extremstellen. Dann kannst du zeigen, dass das zwei verschiedene sein müssen, also ein Hoch- und ein Tiefpunkt (z.B. muss eine grF nach einem HP fallen, ist stetig und dann kann der nächste Extrempunkt kein HP sein).
Damit fällt die grF also monoton von einem HP zum TP. Wenn dort noch ein Sattelpunkt liegen sollte, stört der nicht, ist aber auch nicht "der" Wendepunkt, um den es hier geht.
Jetzt nutzt du das dir bereits gezeigte aus und bekommst also eine Stelle [mm] $x_w$ [/mm] mit [mm] $f''(x_w) [/mm] = 0$ und damit einen möglichen WP.
Zusätzlich kannst du jetzt noch mit der zweiten Ableitung "in der Nähe" der Extrempunkte argumentieren, denn statt $f'''$, was ggf. nichts einbringt, kannst du über den Vorzeichenwechsel argumentieren (bei EP: [mm] $f'(x_e) [/mm] =0$ UND $f'$ muss dort sein Vorzeichen ändern).
Wendepunkte sind Extrempunkte der ersten Ableitung, d.h. damit bei dem gerade gefundenen [mm] $x_w$ [/mm] wirklich ein Wendepunkt ist, muss $f''$ an der Stelle [mm] $x_w$ [/mm] das Vorzeichen ändern. Und das muss sie tatsächlich, weil wir bei einem Hochpunkt immer $f''<0$ (vorher steigend, nachher fallend, d.h. $f'$ wechselt aus dem positiven ins negative, fällt also) und bei einem Tiefpunkt immer $f''>0$ (ebenso argumentiert) haben. Wegen der Stetigkeit bei grF und ihren Ableitungen muss es also dazwischen eine Nullstelle geben und bei der muss es notwendigerweise auch diesen Vorzeichenwechsel geben.
Damit hast du deinen gesuchten Wendepunkt - der Grad der grF spielt keine Rolle bei den Argumenten, aber natürlich gilt das auch für den einfachsten Fall mit zwei Extrempunkten, wo du dir das dann vielleicht besser dran vorstellen kannst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:27 Do 21.11.2013 | | Autor: | sinnlos123 |
vielen Dank weightgainer,
mit Koordinatensystem sieht das alles so einfach aus, aber zum anstaendigen Begruenden braucht man wohl doch mehr als 2 Zeilen hehe.
Nur nochmal zur Klarheit, wenn in Schulaufgaben, oder auch Klausuren steht:
"Zwischen 2 Extrempunkten einer ganzrationalen Funktion liegt stets ein Wendepunkt. "
Ist das "ein" als "mindestens ein" zu lesen?
Gibt es da genaue Vorgaben irgendwo?
Und:
Darf ich "Axiome" bzw. schon zuvor Bewiesenes in meiner "neuen" Begruendung benutzen oder muss ich immer das Rad neu erfinden?
Bzw. anstatt Axiome, die Definition einer (gr)F herbeiziehen.
Ansonsten waere alles geklaert, danke an euch!
Gruss
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> Nur nochmal zur Klarheit, wenn in Schulaufgaben, oder auch
> Klausuren steht:
> "Zwischen 2 Extrempunkten einer ganzrationalen Funktion
> liegt stets ein Wendepunkt. "
>
> Ist das "ein" als "mindestens ein" zu lesen?
Hallo,
das ist als "mindestens ein" zu lesen.
Wenn es exakt ein Punkt sein soll, steht da "genau ein".
> Gibt es da genaue Vorgaben irgendwo?
So wie oben gesagt ist die Vorgabe.
>
> Und:
> Darf ich "Axiome" bzw. schon zuvor Bewiesenes in meiner
> "neuen" Begruendung benutzen oder muss ich immer das Rad
> neu erfinden?
Bewiesenes darf man benutzen. Du kannst, wenn Du Dich darauf berufst, schreiben:
"Wie soeben gezeigt", "nach Satz xyz der Vorlesung", "wie im Unterricht bewiesen" o.ä.
> Bzw. anstatt Axiome, die Definition einer (gr)F
> herbeiziehen.
Wenn ich nur wüßte, was "(gr)F" bedeuten soll...
Ganzrationale Funktion? Klar, wenn die definiert wurde, darfst Du sie benutzen, vor allem aber auch alles, was im Unterricht über ganzrationale Funktionen besprochen bzw. hergeleitet wurde, z.B. daß die Ableitung auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig ist.
LG Angela
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> Ansonsten waere alles geklaert, danke an euch!
>
> Gruss
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