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| Aufgabe | Seien G und H endliche zyklische Gruppen der Ordnung n beziehungsweise m.
Zeige: Falls n und m teilerfremd sind, ist das direkte Produkt G x H zyklisch.
Gilt auch die Umkehrung? |
Hallo zusammen!
Hänge leider an obiger Aufgabe fest, da mir ein passender Ansatz fehlt. Hat vielleicht jemand eine Idee oder einen Tipp wie man da am besten ansetzt?
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Grüße!
Die Formulierung dieser Aufgabe... so vertraut... 
Spaß beiseite, ich gebe Dir natürlich gern einen Hinweis.
Zunächst sollte man sich daran erinnern, wie die Gruppenstruktur auf der Menge $G [mm] \times [/mm] H$ definiert ist. Die Multiplikation erfolgt da elementweise, also
$(g,h) [mm] \cdot [/mm] (g',h') = (gg', hh')$.
Falls manm jetzt weiß, dass $G$ und $H$ zyklisch sind, gibt es also spezielle Elemente, die $G$ und $H$ erzeugen. Sei also $g [mm] \in [/mm] G$ ein Erzeuger von $G$ und $h [mm] \in [/mm] H$ ein Erzeuger von $H$.
Was ist dann mit $(g,h)$? Ist das automatisch ein Erzeuger von $G [mm] \times [/mm] H$? Oder nur unter bestimmten Bedingungen? Schreib Dir Beispiele verschiedener Produkte zyklischer Gruppen auf (z.B. [mm] $\IZ_2 \times \IZ_3$ [/mm] oder [mm] $\IZ_2 \times \IZ_4$) [/mm] und dann siehst Du bestimmt, warum die Gruppenordnungen teilerfremd sein müssen.
Viel Glück!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 So 02.11.2008 | | Autor: | new_franky |
Hallo Lars,
das sind ja mal Informationen aus sicherer Quelle...Danke!
Ich mag die Aufgabe trotzdem nicht sonderlich, kann da irgendwie schlecht argumentieren, obwohl es ja eigentlich klar ist (wahrschienlich schon zu klar).
Naja mal abwarten wie zufrieden der Übungsleiter damit ist ;)
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