ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen sie die Ableitung der folgenden Funktionen und bringen Sie die Ergebnisse auf möglichst einfache Form.
a) [mm]g : \IR \ \[[-7, -2]\to \IR , x \to g(x) := ln \wurzel[6]{\bruch{2 + x}{7 + x}} [/mm]
b) h : [-3,3] \ {1} [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] h(x) := [mm] \bruch{\wurzel{18 - 2x^{2}}}{x - 1} [/mm] |
Hallo,
zu b) ich habe folgendes mittels der Ketten- bzw. Quotientenregel berechnet. Es wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob das Erbebnis richtig oder falsch ist bzw. ob man es noch weiter vereinfachen kann?!
Also, meine Rechnung ist folgende:
f(x) = [mm]\wurzel{18 - 2x^2} [/mm]
f´(x) = [mm]\bruch{-4x}{2\wurzel{18 - 2x^2}} = \bruch{-2x}{\wurzel{18 - 2x^2}}[/mm]
g(x) = x - 1
g´(x) = 1
Jetzt habe ich die Quotientenregel angewandt und folgendes berechnet:
h´(x) = [mm]\bruch{\bruch{-2x}{\wurzel{18 - 2x^2}}(x -1) - \wurzel{18 - 2x^2}}{(x -1) (x - 1)}[/mm]
= [mm]\bruch{2x - 18}{(x -1)^2 \wurzel{18 - 2x^2}}[/mm]
zu a) Vielleicht könnte mir jemand sagen, wie man beim Ableiten mit dem Logarithmus umgeht. Habe schon in Büchern nachgelesen, mir wird es aber trotzdem nicht ganz klar.
|
|
| |
|
Hallo Schlumpfinchen!
Bei der Ableitung von [mm] $\ln(...)$ [/mm] sollte man in den allermeisten Fällen erst einmal innehalten und überlegen. Denn so wie hier kann man gemäß  Logarithmusgesetzen umformen und damit sich die Arbeit beim Ableiten erheblich vereinfachen:
[mm] $$\ln\wurzel[6]{\bruch{2 + x}{7 + x}} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(\bruch{2 + x}{7 + x}\right)^{\bruch{1}{6}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{6}*\ln\left(\bruch{2 + x}{7 + x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{6}*\left[\ln(2 + x)-\ln(7 + x)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{6}*\ln(2 [/mm] + [mm] x)-\bruch{1}{6}*\ln(7 [/mm] + x)$$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Fr 16.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen sie die Ableitung der folgenden Funktionen und
> bringen Sie die Ergebnisse auf möglichst einfache Form.
>
> a) [mm]g : \IR \ \[[-7, -2]\to \IR , x \to g(x) := ln \wurzel[6]{\bruch{2 + x}{7 + x}}[/mm]
>
> b) h : [-3,3] \ {1} [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\to[/mm] h(x) :=
> [mm]\bruch{\wurzel{18 - 2x^{2}}}{x - 1}[/mm]
> Hallo,
>
> zu b) ich habe folgendes mittels der Ketten- bzw.
> Quotientenregel berechnet. Es wäre nett, wenn mir jemand
> sagen könnte, ob das Erbebnis richtig oder falsch ist bzw.
> ob man es noch weiter vereinfachen kann?!
> Also, meine Rechnung ist folgende:
>
> f(x) = [mm]\wurzel{18 - 2x^2}[/mm]
>
> f´(x) = [mm]\bruch{-4x}{2\wurzel{18 - 2x^2}} = \bruch{-2x}{\wurzel{18 - 2x^2}}[/mm]
>
> g(x) = x - 1
>
> g´(x) = 1
>
> Jetzt habe ich die Quotientenregel angewandt und folgendes
> berechnet:
>
> h´(x) = [mm]\bruch{\bruch{-2x}{\wurzel{18 - 2x^2}}(x -1) - \wurzel{18 - 2x^2}}{(x -1) (x - 1)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2x - 18}{(x -1)^2 \wurzel{18 - 2x^2}}[/mm]
>
Das sieht sehr gut aus, aber die letzte Umformung passt leider nicht. Man kann höchstens folgendermassen umformen:
[mm] \bruch{\bruch{-2x}{\wurzel{18-2x^2}}(x-1)-\wurzel{18-2x^2}}{(x-1)(x-1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{-2x}{\wurzel{18-2x^2}}(x-1)}{(x-1)(x-1)}-\bruch{\wurzel{18-2x^2}}{(x-1)(x-1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{-2x}{\wurzel{18-2x^2}}}{(x-1)}-\bruch{\wurzel{18-2x^2}}{(x-1)(x-1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2x}{(x-1)\wurzel{18-2x^2}}-\bruch{\wurzel{18-2x^2}}{(x-1)²}
[/mm]
>
> zu a) Vielleicht könnte mir jemand sagen, wie man beim
> Ableiten mit dem Logarithmus umgeht. Habe schon in Büchern
> nachgelesen, mir wird es aber trotzdem nicht ganz klar.
>
Hier hat dir Roadrunner ja schon eine deutliche Vereinfachung gegeben, dabei musst du dann nur noch die Kettenregel anwenden. Ausserdem gilt: [mm] f(x)=\ln(x) \Rightarrow f'(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
Marius
|
|
|
|
