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ich habe eine funktion [mm] f:\IR^{n}->\IR [/mm] die diff'bar ist und eine zahl k [mm] \geq [/mm] 1, wobei k eine ganze zahl ist
ich möchte jetzt zeigen, dass folgende aussagen äquivalent sind, verwzeifle aber total daran
weil ich nicht mal einen ansatz finde:
a) [mm] f(tx)=t^{k} [/mm] f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] und t [mm] \in \IR_{>0}
[/mm]
b)<x,grad f(x)> = kf(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{n} [/mm] wobei hier <x,grad f(x)> als
[mm] \summe^{n}_{i=1} x_{i} \frac{d}{dx_{i}} [/mm] f definiert ist (die d sind die partiellen ableitungen, habe nur keinen
latex-befehl dafür gefunden, wenn mir jemand dafür einen befehl sagen könnte, das wäre super)
soweit zu aufgabenstellung, wie gesagt, ich brüte darüber und finde keinen ansatzpunkt
wenn mir jemand damit helfen könnte, wäre super
danke im voraus
greetz
dschingis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Mi 01.06.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo!
Der Befehl, um partielle Ableitungen darzustellen, ist \partial: [mm] $\partial$
[/mm]
Gruß, banachella
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Hallo!
Für die Rückrichtung fehlt mir im Moment noch der Ansatz, aber die Hinrichtung geht wie folgt:
Definiere die Funktion [mm] $g_x:\ \IR^+\to \IR^n,\ t\mapsto [/mm] tx$, wobei [mm] $x\in\IR^n$.
[/mm]
Insbesondere ist $f(g(t))=f(tx)$.
Es gilt: [mm] $\bruch{d}{dt}f(tx)=\bruch {d}{dt}t^k f(x)=kt^{k-1}f(x)$.
[/mm]
Und nach der Kettenregel: [mm] $\bruch{d}{dt}f(g(t))=\mathrm{grad}\,(f)(g(t))*\bruch{d}{dt}g(t)=\mathrm{grad}\,(f)(g(t))*x=\langle x;\mathrm{grad}\,(f)(g(t))\rangle$.
[/mm]
Jetzt setze beidesmal $t=1$...
An der Rückrichtung knacke ich noch. Mal kucken...
Gruß, banachella
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Definiere
$g(t):=f(tx)$.
Dann gilt:
$g(t)-g(1) = [mm] \int\limits_1^t \langle [/mm] grad(f(sx)),x [mm] \rangle \, [/mm] ds = k [mm] \int\limits_1^t \frac{1}{s}g(s)\, [/mm] ds$.
Daraus folgt: $g$ genügt dem AWP
$g'(t) = [mm] \frac{k}{t}g(t)$,
[/mm]
$g(1)=f(x)$.
Die Lösung dieses AWP ist aber eindeutig gegeben durch
$g(t) = [mm] t^k \cdot [/mm] f(x)$.
Viele Grüße
Julius
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