Äquivalenz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR \to \IR [/mm] eine Funktion und [mm] x_{0} \in \IR [/mm] . Zeigen Sie, dass die
folgenden Aussagen equivalent sind:
a) f ist in [mm] x_{0} [/mm] di fferenzierbar und f´ [mm] (x_{0}) [/mm] = c.
b) Es existiert eine in [mm] x_{0} [/mm] stetige Funktion h : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit h [mm] (x_{0}) [/mm] = c und f(x) = f( [mm] x_{0})+ h(x)(x-x_{0}).
[/mm]
c) Es existiert eine Funktion r : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x)= f( [mm] x_{0}) [/mm] + c [mm] (x-x_{0}) [/mm] + r(x) und [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{r(x)}{x- x_{0} } [/mm] = 0 |
Ich habe echt keine Idee wie ich diese Aufgabe bearbeiten soll, muss ich die Äquivalenz von a nach b dann b nach c und so weiter zeigen oder wie ist das gemeint und wie kann ich so etwas genau zeigen?
Freue mich auf Ideen..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 So 30.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du brauchst überall die Aquivalenz zu a) kannst aber auch, wenn du die Aqu von a und b hast auch die von bund c zeigen usw, da die Äquivalenz ja trabsitiv ist.
Gruss leduart
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| Aufgabe | vielen Dank für deine Antwort.
Jetzt weiß ich nicht so genau, wie ich das zeigen soll, könnte mir jemand dabei behilflich sein? |
es könnte auch ein anderes Beispiel sein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 So 30.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich zeig Dir mal die Implikation "a) [mm] \Rightarrow [/mm] b)"
Wir haben:
(*) [mm] \bruch{f(x)-f(x_0}{x-x_0} \to [/mm] c für x [mm] \to x_0
[/mm]
Ziel ist:
(**) f(x) = f( $ [mm] x_{0})+ h(x)(x-x_{0}) [/mm] $
mit einer in [mm] x_0 [/mm] stetigen Funktion h. Wenn Du (**) nach h(x) auflöst, so wird sofort klar, wie Du h definieren mußt, wenn Du noch (*) beachtest, nämlich:
[mm] h(x):=\bruch{f(x)-f(x_0}{x-x_0}, [/mm] falls x [mm] \ne x_0 [/mm] und [mm] h(x_0):=c
[/mm]
h leistet das Verlangte.
FRED
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vielen Dank für dieses Beispiel. Ich habe versucht die Implikation
von a [mm] \Rightarrow [/mm] c zu machen:
Wir haben:
[mm] (\*) [/mm] r(x) = f(x)-f( [mm] x_{0})-c(x-x_{0})
[/mm]
Ziel ist:
[mm] (\* \*) [/mm] fx)= f( [mm] x_{0})+c(x-x_{0})+r(x) [/mm]
[mm] (\* \*) [/mm] nach r(x) auflösen:
r(x) = [mm] f(x)-f(x_{0})-c(x-x_{0})
[/mm]
soweit habe ich es versucht anzuwenden, aber ich bin mir überhaupt nicht sicher, ob es so stimmt und ich weiß auch nicht, wie ich weiter machen kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> vielen Dank für dieses Beispiel. Ich habe versucht die
> Implikation
> von a [mm]\Rightarrow[/mm] c zu machen:
>
> Wir haben:
> [mm](\*)[/mm] r(x) = f(x)-f( [mm]x_{0})-c(x-x_{0})[/mm]
Prima, genau so mußt Du r definieren
>
> Ziel ist:
>
> [mm](\* \*)[/mm] fx)= f( [mm]x_{0})+c(x-x_{0})+r(x)[/mm]
Nein. Das ist nicht das Ziel.
Ziel ist, zu zeigen, dass [mm] \bruch{r(x)}{x-x_0} [/mm] gegen 0 geht für x [mm] \to x_0.
[/mm]
Das ist aber sehr einfach mit Deiner obigen Def. von r.
Mach mal.
>
> [mm](\* \*)[/mm] nach r(x) auflösen:
> r(x) = [mm]f(x)-f(x_{0})-c(x-x_{0})[/mm]
Wozu , in aller Welt, nun das ?
FRED
>
>
> soweit habe ich es versucht anzuwenden, aber ich bin mir
> überhaupt nicht sicher, ob es so stimmt und ich weiß auch
> nicht, wie ich weiter machen kann...
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ok dann versuche ich nochmal:
Ziel ist:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{r(x)}{x- x_{0} } [/mm] = 0
r(x) einsetzen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})-c(x-x_{0})}{x-x_{0}}= \bruch{f(x_{0})-f(x_{0})-c(x_{0}-x_{0})}{x_{0}-x_{0}} [/mm] = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok dann versuche ich nochmal:
>
> Ziel ist:
>
> [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{r(x)}{x- x_{0} }[/mm] = 0
> r(x) einsetzen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})-c(x-x_{0})}{x-x_{0}}= \bruch{f(x_{0})-f(x_{0})-c(x_{0}-x_{0})}{x_{0}-x_{0}}[/mm]
> = 0
Was soll denn das ? Du dividierst durch 0 was das Zeug hält ! Darf man das ?
Wo hast Du benutzt, dass f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar ist ?
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Do 03.11.2011 | | Autor: | void. |
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{r(x)}{x- x_{0} } [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})-c(x-x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] - c = 0
wenn man einfach c aus der a) einsetzt.?!
jetzt wurde aber doch nur a) => b) und a) => c) also die Implikationen gezeigt, aber man müsste ja jeweils <=> für die äquivalenzrel. zeigen oder? wie geht man da vor?
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{r(x)}{x- x_{0} }[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})-c(x-x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
> - c = 0
>
> wenn man einfach c aus der a) einsetzt.?!
>
> jetzt wurde aber doch nur a) => b) und a) => c) also die
> Implikationen gezeigt, aber man müsste ja jeweils <=> für
> die äquivalenzrel. zeigen oder? wie geht man da vor?
Wenn r(x) die Bedingung c) erfüllt, folgt daraus
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{r(x)}{x- x_{0} }+c [/mm] = c,
was die Implikation c) => a) zeigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Mousegg |
Hallo wäre das folgende eine möglichkeit b) --> c) zu zeigen ? Bin mir hier an einer Stelle nicht ganz sicher
Sei h(x) stetig in [mm] x_0 [/mm] mit [mm] h(x_0)=c
[/mm]
Setze r(x) = [mm] (x-x_0)*(h(x)-c) [/mm] mi [mm] h(x)=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
betrachte
c =h(x)- [mm] \bruch{r(x)}{x-x_0} \forall x\not=x_0
[/mm]
dann ist
c= [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0}h(x)- \bruch{r(x)}{x-x_0}= c-\limes_{x\rightarrow\x_0}\bruch{r(x)}{x-x_0}
[/mm]
Bei dem letzten Schritt bin ich aber nicht ganz sicher ob ich wirklich annehmen kann dass der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0}h(x)- \bruch{r(x)}{x-x_0} [/mm] existiert und wenn ja wieso?
Eine kurze Einschätzung der Situation wäre echt super :)
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> Hallo wäre das folgende eine möglichkeit b) --> c) zu
> zeigen ? Bin mir hier an einer Stelle nicht ganz sicher
>
> Sei h(x) stetig in [mm]x_0[/mm] mit [mm]h(x_0)=c[/mm]
>
> Setze r(x) = [mm](x-x_0)*(h(x)-c)[/mm] mi
> [mm]h(x)=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
>
> betrachte
> c =h(x)- [mm]\bruch{r(x)}{x-x_0} \forall x\not=x_0[/mm]
>
> dann ist
>
> c= [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}h(x)- \bruch{r(x)}{x-x_0}= c-\limes_{x\rightarrow\x_0}\bruch{r(x)}{x-x_0}[/mm]
>
> Bei dem letzten Schritt bin ich aber nicht ganz sicher ob
> ich wirklich annehmen kann dass der Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}h(x)- \bruch{r(x)}{x-x_0}[/mm]
> existiert und wenn ja wieso?
> Eine kurze Einschätzung der Situation wäre echt super
> :)
>
Im Prinzip geht das so, aber die Argumentation scheint mir zu kompliziert.
Wenn du ein h hast, das b) erfüllt, dann gilt mit [mm] r(x)=(x-x_0)*(h(x)-c)
[/mm]
[mm] \frac{r(x)}{x-x_0}=h(x)-c, [/mm] was aufgrund der Stetigkeit von h für [mm] x\to x_0 [/mm] gegen [mm] h(x_0)-c=0 [/mm] konvergiert.
Mehr braucht es nicht, um b) => c) zu zeigen.
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