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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:38 So 03.07.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Man bestimme die asymptotische Entwicklung einer Lösung der Differentialgleichung [mm] \epsilon [/mm] x'(t)+x(t)=sin(t), ohne die explizite Lösung zu verwenden. Was kann man bezüglich der Lösung des Anfangswertproblems mit der Anfangsbedingung x(0)=1 tun? |
Hallo,
Ich schreibe x(t) als [mm] x_{\epsilon}(t)=x_0(t)+\epsilon x_1(t)+ \epsilon^2 x_2(t)+O(\epsilon^3)
[/mm]
Ich setze die formale Reihe in mein geestörtes Problem ein:
[mm] \epsilon x_0'(t)+ \epsilon^2 x_1'(0) [/mm] + [mm] x_0(t) [/mm] + [mm] \epsilon x_1(t) [/mm] + [mm] \epsilon^2 x_2(t) [/mm] + [mm] O(\epsilon^3) [/mm] = sin(t)
Koeffizientenvergleich:
[mm] \epsilon^0: x_0(t)=sin(t)
[/mm]
[mm] \epsilon^1: x_0'(t)+x_1(t)=0 \Rightarrow x_1(t)=-cos(t)
[/mm]
[mm] \epsilon^2: x_1'(t)+x_2(t)=0 \Rightarrow -sin(t)=x_2(t)
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{\epsilon} [/mm] (t)= sin(t) - [mm] \epsilon [/mm] cos(t) - sin(t) [mm] \epsilon^2 [/mm] + [mm] O(\epsilon^3)
[/mm]
Nun ist mein Problem die Anfangsbedingung: x(0)=1
[mm] x_0(0)+\epsilon x_1(0)+\epsilon^2 x_2(0)+O(\epsilon^3)=1
[/mm]
[mm] \Rightarow x_0(0)=1, x_1(0)=0, x_2(0)=0
[/mm]
was nicht mit den obigen Ergebnissen zusammenpasst.
Das Problem ist ja dass das Epsilon neben den höchsten Term steht.
Habt ihr einen Tipp?
LG,
Sissi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:53 Mo 04.07.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Meine Idee:
Variablentransformation: [mm] \psi= \frac{t}{\epsilon^{\alpha}}, \alpha>0 [/mm] einsetzen:
[mm] \epsilon^{1-\alpha} \chi'(\psi) [/mm] + [mm] \chi(\psi)= sin(\psi \epsilon^{\alpha})
[/mm]
[mm] \chi(0)=1
[/mm]
Ansatz: [mm] \chi(\psi)=\chi_0(\psi)+\chi_1(\psi)* \epsilon [/mm] + [mm] O(\epsilon^2) [/mm] einsetzen:
[mm] \epsilon^{1- \alpha}( \chi_0'(\psi) [/mm] + [mm] \chi_1'(\psi) \epsilon [/mm] + [mm] O(\epsilon^2)) [/mm] + [mm] \chi_0 (\psi) [/mm] + [mm] \chi_1(\psi) \epsilon [/mm] + [mm] O(\epsilon^2) [/mm] = [mm] sin(\psi \epsilon^{\alpha})
[/mm]
[mm] \chi_0(0)+\epsilon*\chi_1(0)+ O(\epsilon^2)=1
[/mm]
Ich setzte [mm] \alpha=1 [/mm] und erhalte:
[mm] \chi_0'(\psi) [/mm] + [mm] \chi_1'(\psi) \epsilon [/mm] + [mm] \chi_0 (\psi) [/mm] + [mm] \chi_1(\psi) \epsilon [/mm] + [mm] O(\epsilon^2) [/mm] = [mm] sin(\psi \epsilon)
[/mm]
Nun ist [mm] sin(\psi \epsilon)=O(\epsilon) [/mm] also Koeffizientenvergleich:
[mm] \epsilon^0: \chi_0' (\psi)+ \chi_0 (\psi)=0, \chi_0(0)=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \chi_0 (\psi)= e^{-\psi}
[/mm]
[mm] \epsilon^1: \chi_1'(\psi)+\chi_1(\psi)= [/mm] ??, [mm] \chi_1(0)=0
[/mm]
Was soll ich hier aber für die rechte Seite einsetzten, ich dachte an [mm] sin(\psi \epsilon) \approx \psi \epsilon [/mm] und daher [mm] \chi_1'(\psi)+\chi_1(\psi)= \psi.
[/mm]
Was zu [mm] \chi_1(\psi)=\psi+ e^{-\psi} [/mm] -1 führt.
Ist das korrekt? Wie mache ich weiter?
LG,
Sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 06.07.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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