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Hallo, ich hab mehrere Fragen zu auflösbaren Gruppen.
Die Definition: Sei G eine endliche Gruppe. G heißt auflösbar, wenn es eine Folge von Untergruppen gibt mit [mm] G={e}\triangleleft G_1\triangleleft [/mm] ... [mm] \triangleleft G_n=G [/mm] mit [mm] G_{i+1}/G_i [/mm] ist abelsch/zyklisch/ von Primordnung
Dazu habe ich eine Frage: Muss diese Kette von Normalteiler verfeinert wie möglich sein, oder kann sie noch weiter verfeienerbar sein?
Wir hatten ein Beispiel, dass die Diedergruppe [mm] D_{2*4} [/mm] auflösbar ist. Dazu hatten gesagt, dass [mm] \{e\} \triangleleft [/mm] <d> [mm] \triangleleft D_{2*4} [/mm] und [mm] D_{2*4}/ [/mm] von Primordnung. d=Drehung . Das Beispiel habe ich verstanden, hier kann man die Kette noch verfeinern indem man [mm] [/mm] dazwischenpackt oder?
Ich habe gelesen, dass das Argument für alle Diedergruppen [mm] D_{2*n} [/mm] gilt n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann habe ich noch eine Frage: Wieso sind alle endlichen abelschen Gruppen G auflösbar mit [mm] \{e\} \triangleleft [/mm] G? Im Internet bin ich die ganze Zeit auf Kommutatoren gestoßen, das hatten wir nicht in der Vorlesung und kann damit nichts anfangen. Ist das, weil jede Untergruppe abelscher Gruppen ein Normalteiler ist und die Quotienten auch automatisch abelsch? Wieso ist die Kette [mm] \{e\} \triangleleft [/mm] G und nicht größer ?
Und genau dazu habe ich auch eine Aufgabe, wo ich an einer Stelle hänge, was damit zusammen hängt:
Aufgabe: Sei p eine ungerade Primzahl. Beweisen Sie, dass eine Gruppe mit [mm] 2p^2 [/mm] Elementen auflösbar ist.
1. Frage: Wozu die Einschränkung, dass p eine ungerade Primzahl ist? Weil ausgeschlossen wird dann ja nur p=2 und in dem Falle wäre [mm] G=2^3 [/mm] also eine p-Gruppe und damit nach einer Übungsaufgabe auflösbar.
Nun zu dem, was ich mir überlegt habe:
Nach dem p-Sylowsatz aus der Vorlesung existiert eine p-Sylowgruppe H mit entweder #H=2 oder [mm] #H=p^2
[/mm]
Sei #H [mm] =p^2 [/mm] , dann bekommt man, dass [G:H]=2 und damit ist [mm] H\triangleleft [/mm] G und damit [mm] \{e\}\triangleleft [/mm] H [mm] \triangleleft [/mm] G und G/H von Primzahlordnung.
Meine Frage ist, ob ich zwischen [mm] \{e\} [/mm] und H noch einen weiteren Normalteiler dazwischenschieben kann , was ist mit einer Gruppe mit Ordnung=p? Zumindest finde ich nach dem p-Sylowsatz keine echte nichttriviale p-Sylowuntergruppe . Also findet man da noch anders irgendeinen Normalteiler zwischen und wenn nicht, wie kriege ich den letzten Quotienten [mm] H/\{e\} [/mm] hin?
Edit: Bekommt man nicht die Untergruppe <p> mit dem Satz von Cauchy dazwischen? aber dann habe ich immernoch keine Normalteilerkette =(
Fragen über Fragen, sry dass ich hier alles zuspamme:/. Wäre über Hilfe trotzdem sehr dankbar!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 So 27.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, ich hab mehrere Fragen zu auflösbaren Gruppen.
> Die Definition: Sei G eine endliche Gruppe. G heißt
> auflösbar, wenn es eine Folge von Untergruppen gibt mit
> [mm]G={e}\triangleleft G_1\triangleleft[/mm] ... [mm]\triangleleft G_n=G[/mm]
> mit [mm]G_{i+1}/G_i[/mm] ist abelsch/zyklisch/ von Primordnung
>
> Dazu habe ich eine Frage: Muss diese Kette von Normalteiler
> verfeinert wie möglich sein, oder kann sie noch weiter
> verfeienerbar sein?
Es reicht aus, wenn die Quotienten abelsch sind. Dann kann man es immer zu Primordnung verfeinern (muss man aber nicht um zu wissen dass es aufloesbar ist).
> Wir hatten ein Beispiel, dass die Diedergruppe [mm]D_{2*4}[/mm]
> auflösbar ist. Dazu hatten gesagt, dass [mm]\{e\} \triangleleft[/mm]
> <d> [mm]\triangleleft D_{2*4}[/mm] und [mm]D_{2*4}/[/mm] von Primordnung.
> d=Drehung . Das Beispiel habe ich verstanden, hier kann man
> die Kette noch verfeinern indem man [mm][/mm] dazwischenpackt
> oder?
Kann man, braucht man aber nicht. Der Quotient der Ordnung 4 ist abelsch (da jede Gruppe der Ordnung 4 abelsch ist), womit man noch etwas dazwischen packen kann. Musst du aber nicht konkret, um zu wissen, dass es aufloesbar ist.
> Ich habe gelesen, dass das Argument für alle
> Diedergruppen [mm]D_{2*n}[/mm] gilt n [mm]\in \IN.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann habe ich noch eine Frage: Wieso sind alle endlichen
> abelschen Gruppen G auflösbar mit [mm]\{e\} \triangleleft[/mm] G?
Nimm irgendein nicht-triviales Element $g [mm] \in [/mm] G$. Dann ist [mm] $\langle [/mm] g [mm] \rangle$ [/mm] zyklisch, und [mm] $G/\langle [/mm] g [mm] \rangle$ [/mm] kleiner als $G$ und wieder abelsch. Per (starker) Induktion nach $|G|$ kannst du es also auf den zyklischen Fall zurueckfuehren.
Ist $G$ zyklisch, sagen wir $G = [mm] \langle [/mm] g [mm] \rangle$ [/mm] von Ordnung $n$. Ist $n$ prim, so sind wir fertig. Andernfalls kann man $n = a b$ schreiben mit $a, b > 1$. Nimm $U = [mm] \langle g^a \rangle$; [/mm] dann ist $U$ zyklisch von Ordnung $b$ und $G/U$ zyklisch von Ordnung $b$. Wenn du jetzt auch wieder (starke) Induktion nach $|G|$ machen.
(Starke Induktion heisst: du nimmst die Induktionsvoraussetzung fuer alle passenden Gruppen $G$ mit $|G| < n$ an, und zeigst den Schritt dann fuer eine Gruppe der Ordnung $n$.)
> Im Internet bin ich die ganze Zeit auf Kommutatoren
> gestoßen, das hatten wir nicht in der Vorlesung und kann
> damit nichts anfangen. Ist das, weil jede Untergruppe
> abelscher Gruppen ein Normalteiler ist und die Quotienten
> auch automatisch abelsch? Wieso ist die Kette [mm]\{e\} \triangleleft[/mm]
> G und nicht größer ?
Mann kann die Kette vergroessern. Der Punkt ist dass man Aufloesbarkeit auch ueber Kommutatoruntergruppen definieren kann. Ihr habt das aber nicht so gemacht, also musst du es elementarer machen - wie das geht, siehe oben :) (Die Aequivalenz zur Kommutatorenmethode zu zeigen ist aber nicht so schwer, aber dazu musst du halt wissen was Kommutatoren sind etc.)
> Und genau dazu habe ich auch eine Aufgabe, wo ich an einer
> Stelle hänge, was damit zusammen hängt:
> Aufgabe: Sei p eine ungerade Primzahl. Beweisen Sie, dass
> eine Gruppe mit [mm]2p^2[/mm] Elementen auflösbar ist.
>
> 1. Frage: Wozu die Einschränkung, dass p eine ungerade
> Primzahl ist? Weil ausgeschlossen wird dann ja nur p=2 und
> in dem Falle wäre [mm]G=2^3[/mm] also eine p-Gruppe und damit nach
> einer Übungsaufgabe auflösbar.
Ich denke auch. Es ist einfach "langweilig", und der interessante Fall ist $p > 2$. Und damit ihr keine Fallunterscheidung machen muesst, steht halt "ungerade Primzahl" da.
> Nun zu dem, was ich mir überlegt habe:
> Nach dem p-Sylowsatz aus der Vorlesung existiert eine
> p-Sylowgruppe H mit entweder #H=2 oder [mm]#H=p^2[/mm]
> Sei #H [mm]=p^2[/mm] ,
Es existiert sowohl eine $2$-Sylowgruppe mit 2 Elementen oder eine $p$-Sylowgruppe mit [mm] $p^2$ [/mm] Elementen.
> dann bekommt man, dass [G:H]=2 und damit ist
> [mm]H\triangleleft[/mm] G und damit [mm]\{e\}\triangleleft[/mm] H
> [mm]\triangleleft[/mm] G und G/H von Primzahlordnung.
Genau.
> Meine Frage ist, ob ich zwischen [mm]\{e\}[/mm] und H noch einen
> weiteren Normalteiler dazwischenschieben kann , was ist mit
Jo, das geht. $G/H$ ist der Ordnung [mm] $p^2$. [/mm] Somit gibt es einen Normalteiler in $G/H$ der Ordnung $p$ (dies folgt aus den Saetzen, die ihr hattet, z.B. das mit Gruppen der Ordnung [mm] $p^2$); [/mm] sei dieser $U$. Ist [mm] $\pi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G/H$ die Projektion, dann ist [mm] $\pi^{-1}(U)$ [/mm] ein Normalteiler in $G$ mit [mm] $\{ e \} \subsetneqq [/mm] H [mm] \subsetneqq \pi^{-1}(U) \subsetneqq [/mm] G$. Jeder Quotient hat Ordnung $p$.
> Edit: Bekommt man nicht die Untergruppe <p> mit dem Satz
> von Cauchy dazwischen? aber dann habe ich immernoch keine
> Normalteilerkette =(
Nun, du muesstest noch zeigen, dass es dann ein Normalteiler ist. Das geht schon (man kann die Aussage $[G : H] = 2 [mm] \Rightarrow [/mm] H$ Normalteiler erweitern auf kleinsten Primteiler von $G$ anstelle 2), ist aber nicht so einfach. Mach's lieber mit der Projektion [mm] $\pi$ [/mm] und den anderen Aussagen fuer $G/H$, einer Gruppe der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] 
LG Felix
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Hallo, ich danke dir für deine Hilfe!
Hab alles verstanden, bis auf den Teil, wo ich mit der Aufgabe nicht weiterkomme.
Du hast dann jetzt doch den Fall genommen, dass H die 2-Sylowgruppe ist, oder?
Wieso gibt es dann einen Normalteiler mit der Ordnung p in G/H ? Also das es eine zyklische Untergruppe der Ordnung p gibt, sehe ich ein, aber wie bekommt man, dass diese ein Normalteiler ist? (Sonst weiss ich nur über Gruppen mit der Ordnung [mm] p^2, [/mm] dass diese auflösbar sind, welchen Satz meinst du?) Wieso ist [mm] \pi^{-1}(U) [/mm] ein Normalteiler in G? Und wieso ist H [mm] \subsetneqq \pi^{-1}(U) [/mm] ?
Sry, wenn ich mich so anstelle :S
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Do 31.01.2013 | | Autor: | hippias |
Wenn ich es richtig verstanden habe, dann habt ihr bereits gezeigt, dass $p$-Gruppen stets aufloesbar sind. Mit diesem Resultat "weisst" Du also, dass es nach Definition einen Normalteiler der Ordnung $p$ in $H$ geben muss.
Falls Du schon weisst, dass das Zentrum einer nichttrivialen $p$-Gruppe $>1$ ist, dann koenntest Du damit auf die Existenz eines gewuenschten Normalteilers kommen.
Als Drittes: Die Normalteiler muessen ja nicht zyklsch sein, abelsch reicht ja. Alle Gruppen der Ordnung [mm] $p^{2}$, [/mm] $p$ Primzahl, sind abelsch...
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Hallo, ok danke euch, im Falle von [mm] #H=p^2 [/mm] ist die Aufgabe gelöst:
[mm] \{e\}\triangleleft [/mm] H [mm] \triangleleft [/mm] G und #G/H=2 von Primordnung und [mm] #H/\{e\}=H=p^2. [/mm] Dh. H ist eine p-Gruppe und damit auflösbar. Es exisistiert also
[mm] \{e\}\triangleleft [/mm] U [mm] \triangleleft [/mm] H mit #U=p, insg. [mm] \{e\}\triangleleft [/mm] U [mm] \triangleleft [/mm] H [mm] \triangleleft [/mm] G und die Quotienten sind jeweils von Primzahlordnung. G ist auflösbar.
Das mit G Gruppe und p Primzahl, [mm] #G=p^2 [/mm] => G abelsch,
wofür man wenn man das Resultat kennt, den Zwischenschritt mit dem Normalteiler U nicht mehr braucht, hatten wir nicht in der Vorlesung (Weiss jetzt aber, wie man das beweist). Dafür braucht man G/Z(G) zyklisch => G abelsch und das müsste ich dann auch noch zusätzlich beweisen (weiss auch wie das geht). Ist nur eine alte Klausuraufgabe und weil Klausuren meist bei uns mit vielen Aufgaben und wenig Zeit angelegt sind, bleibt mir das dann als optionalen Weg zur Übung vor der Klausur.
Auch wenn das Obige richtig sein solltewollte ich nochmal auf den Fall #H=2 eingehen: Es ist ja [mm] #G=2p^2
[/mm]
Was ich nicht verstehe ist, wieso dann H überhaupt ein Normalteiler ist, also wieso man G/H betrachten darf, was Felix gemacht hat. Der Rest ist mir dann mittlerweile klar.
Danke nochmal an euch beiden.
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Hallo Schachtel!
> Hallo, ok danke euch, im Falle von [mm]#H=p^2[/mm] ist die Aufgabe
> gelöst:
Damit ist die Aufgabe gelöst. Du musst keinen anderen Fall betrachten.
> Auch wenn das Obige richtig sein solltewollte ich nochmal
> auf den Fall #H=2 eingehen: Es ist ja [mm]#G=2p^2[/mm]
> Was ich nicht verstehe ist, wieso dann H überhaupt ein
> Normalteiler ist, also wieso man G/H betrachten darf, was
> Felix gemacht hat. Der Rest ist mir dann mittlerweile klar.
Die $2$-Sylowgruppe $H$ muss kein Normalteiler von $G$ sein.
So wie ich das verstehe, wollte Felix nur zeigen, wie man ganz allgemein einen Normalteiler $N$ von $G$ mit $|G/N| = p$ und $|N/H| = p$ im Fall von $|G/H| = [mm] p^2$ [/mm] konstruiert, [mm] \textbf{wenn} [/mm] $H$ in $G$ normal ist. Dabei haben die Bezeichnungen jetzt nicht mehr die gleiche Bedeutung wie vorher. In deinem Fall ist jetzt $H = [mm] \{e\}$.
[/mm]
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 03.02.2013 | | Autor: | Schachtel5 |
Ah okay, vielen Dank. Dann habe ich jetzt zum Glück lückenlos alles verstanden!! Danke!
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