beschränkte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Eine Folge f = [mm] (a_{n})_{n\in\IN} \in\omega [/mm] heißt beschränkt, wenn die Menge der Folgenglieder beschränkt ist, d. h., wenn es ein K > 0 gibt mit [mm] |a_{n}|\le [/mm] K für alle [mm] n\in\IN [/mm] |
Hallo,
es wäre sehr nett wenn mir vielleicht jemand einfach sagen könnte, wofür das große K steht. Ich verstehe zwar generell, was es bedeutet wenn eine Reihe beschränkt ist, kann mir aber unter diesem K nichts vorstellen.
Es wäre nett, wenn mir das jemand kurz erklären könnte, da ich nicht mehr weiß wo ich nachschauen soll.
Vielen Dank schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo schlumpfinchen!
Dieses $K_$ steht für die Schranke der Menge aller Folgenglieder. Das heißt: wenn es ein solches festes $K_$ gibt, welches größer ist als der Betrag aller Folgenglieder, ist die Folge [mm] $\left$ [/mm] beschränkt.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo nochmal,
ich habe nochmal ein kurze Rückfrage, da ich grad doch ein wenig durcheinander bin.
Beschränktheit einer Folge bedeutet doch nicht, dass die Anzahl der Folgenglieder beschränkt ist, oder?! Sondern nur, dass der Betrag der Folgenglieder eine bestimmte Schranke (also K) nicht übersteigen darf?
Ist das richtig so?
Gruß aus Bremen!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Mi 24.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo nochmal,
>
> ich habe nochmal ein kurze Rückfrage, da ich grad doch ein
> wenig durcheinander bin.
> Beschränktheit einer Folge bedeutet doch nicht, dass die
> Anzahl der Folgenglieder beschränkt ist, oder?! Sondern
> nur, dass der Betrag der Folgenglieder eine bestimmte
> Schranke (also K) nicht übersteigen darf?
> Ist das richtig so?
völlig richtig, von ner Folge spricht man i.A. nur, wenn es unendlich viele Glieder sind, alle anderen sind belanglos.
Stell dir die Zahlen auf der Zahlengerade vor, K ist der Punkt wos jenseits garantiert keinen mehr gibt. Also wenn 100 etwa ne Schranke ist, dann sicher auch 200 oder 101,
wenn 101 ne Schranke ist weiss man nicht, ob auch noch 100 ne Schranke ist.
Gruss leduart
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Ok, danke. Jetzt hab ichs soweit verstanden. Aber vielleicht könnte mir jemand noch nen Tipp geben, wie man das jetzt berechnen bzw. beweisen kann?!
z.B. bei der folgenden Folge, die ich hier als Aufgabe habe:
[mm] a_{n} [/mm] := [mm] \wurzel{n^{2} + n} [/mm] - n
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mi 24.10.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
Siehe Verbesserung
[mm] \red{Fehlerhalft:}
[/mm]
[mm] a_n=\wurzel{n^{2} + n}-n=\bruch{(\wurzel{n^{2} + n}-n)*(\wurzel{n^{2} + n}+n)}{\wurzel{n^{2} + n}+n} [/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{n^{2} + n}*\wurzel{n^{2} + n}+\wurzel{n^{2} + n}*n-n*\wurzel{n^{2} + n}-n^2}{\wurzel{n^{2} + n}+n}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^2+n-n^2}{\wurzel{n^{2} + n}+n}
[/mm]
[mm] =\bruch{n}{\wurzel{n^{2} + n}+n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{n}{\wurzel{n^{2} + n}+n}}\to{0}
[/mm]
MfG barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo barsch!
Um hier die entsprechende Grenzwertbetrachtung durchführen zu können, sollte man aber zunächst im Nenner $n_$ ausklammern und kürzen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
ist die Rechnung von barsch deiner Meinung denn komplett falsch, weil er n nicht ausgeklammert und gekürzt hat.
Wieso ist es denn wichtig, dass man das macht??
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Sashman |
MOin schlumpfinchen!
Denke einen Teil hat meine Mitteilung schon beantwortet.
Schau dir doch einfach mal deine Regeln für das 'Rechnen' mit Grenzwerten an. Da müsste sowas stehen wie:
Sind f,g konvergente Folgen [mm] \alpha\in\IR, [/mm] dann gilt:
(i) $lim(f+g)=lim f+lim g$
(ii) [mm] $lim(\alpha f)=\alpha [/mm] lim f$
(iii) $lim (fg)=lim f * lim g$
(iv) für [mm] $g=b_n\neq [/mm] 0$ [mm] $\forall n\in\IN$
[/mm]
[mm] $lim(\frac{f}{g})=\frac{lim f}{lim g}$
[/mm]
Und gilt dies für den Zeitpunkt der Grenzwertbetrachtung von barsch??
Desweiteren kann du über Grenzwerte der Form [mm] \frac{\infty}{\infty}, \infty-\infty, \frac{\infty}{0} [/mm] ohne weitere Rechenschritte keine Aussagen machen - da kann alles draus werden.
mFg S.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Sashman |
Moin Schlumpfinchen!
Was der barsch dir hier zeigt ist ein genereller Weg wie du Grenzwerte mit 'Quadratwurzelausdrücken' behandeln kannst (iss das die dritte binomische?? hab in der Schule nur zwei gehabt, da man uns ein [mm] \pm [/mm] zutraute  ). Seine Grenzwertbetrachtungen sind jedoch verfrüht und auch nicht richtig. Du solltest unbedingt den Hinweis von Roadrunner beachten im Nenner n ausklammern und kürzen. Deine Folge geht nämlich gegen [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
mFg Sashman
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