beweis für schachbrettmuster < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
dies ist eine schwierige frage/Idee auf die ich durch mein hobby der malerei gestoßen bin. ich habe bereits mit einem meiner mathe profesoren gesprochen und der wusste auch keine antwort bzw. nicht einmal einen ansatz fand es aber interresant....... vielleicht hat einer von euch ja eine idee wie man einen ansatz machen könnte, oder findet es zumindest auch interresant... würde mich auch schon freuen.... also
wenn ich linien (egal wie viele) willkürlich auf ein blatt papier male, mit der einschränkung in einem bestimmten gebiet müssen die linien stetig sein und müssen bis zum rand des gebiets durchgezogen sein, entstehen flächen zwischen den linien. meine idee ist es zu beweisen dass ich diese felder wie bei einem schachbrett entweder weiß oder schwarz ausfüllen kann ohne dass sich zwei gleichfarbige felder direkt berühren also nur durch eine linie getrennt sind. dies ist so ähnlich wie das 4-farben-problem dass schon bewiesen wurde, nur mit dem unterschied, dass bei meinem problem die linien in dem gebiet stetig sein müssen und bis zum rand des gebiets gehen (alle linien befinden sich im selben gebiet und dürfen sich beliebig oft überschneiden und berühren). Nun hab ich schon alle mir denkbaren fälle ausprobiert und aufgemalt und so versucht ein gegenbeispiel zu finden. ich fand kein gegenbeispiel. nur einen sonderfall, falls sich n linien berühren und zu einer linie "verschmälzen". in diesem fall sieht es so aus als ob zwischen den zwei feldern, die durch diese linien getrennt werden, nur eine linie ist. aber es sind ja mehrere zusammenverschmelzte linien. daraus folg dass wenn n [mm] \in \IN [/mm] gerade ist , dass dann die zwei felder die durch diese n linien getrennt werden die selbe farbe erhalten und bei n ungerade sie verschiedene farben erhalten. wenn ich diesen sonderfall beachte müsste es eigentlich klappen.... nur habe ich keinerlei idee wie man einen mathematischen ansatz dazu machen könnte, auch mein Analysis professor hatte da keine idee und konnte bloß vermuten dass es sich vermutlich um ein problem der topologie handelt....
ich wäre sehr erfreut rückmeldung zu bekommen egal welcher art...
vielleicht kennt jemand einen beweiß für schachbrettmuster?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Di 31.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo majorante
ich glaube, du musst deine Frage etwas präzieser formulieren! Was verstehst du uter beliebigen Linien. Was sind stetige Linien?
Für mich als Mathematiker wäre nämlich mit deiner Definition auch dieses möglich:
Die erste Linie läuft von links in Richtung Zentrum des Bildes. Beim Zentrum beginnend, macht sie dann eine Linkskurve, um den rechten Bildrand in der oberen Hälfte zu erreichen.
Die zweite Linie läuft von links in Richtung Zentrum des Bildes, genau auf der ersten Linie. Beim Zentrum beginnend, macht sie dann eine Rechtskurve, um den rechten Bildrand in der unteren Hälfte zu erreichen.
Diese beiden Linien bilden so etwas sie eine Weggabelung.
Bereits hier kannst du aber nicht mehr die beiden Farben so anwenden, wie du es gerne möchtest!
Meinst du mit Linien etwa Geraden? Dann kannst du einfach überlegen, dass sich bei einer "Kreuzung" immer eine gerade Anzahl Gebiete treffen, womit dein Beweis so gut wie abgeschlossen ist, dass zwei Farben tatsächlich genügen!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Mi 01.06.2005 | | Autor: | majorante |
hallo paul,
Vielen dank für deine Antwort. Deine Überlegung ist natürlich richtig wenn man es so betrachtet, dass diese beiden linien die von links in die mitte des feldes wandern übereinander liegen und es somit für den betrachter so aussieht als wäre es eine linie. Aber wie ich schon in meiner ersten frage formuliert habe muss man diesen fall als sonderfall betrachten, da diese zwei übereinanderliegenden linien zwar auf den ersten blick aussehen als wäre es eine linie aber bei genauerem hinsehen und mit der bedingung dass eine linie nicht einfach mitten im gebiet aufhören darf, bemerkt man dass es zwei linien sein müssen die übereinander liegen, somit erhalten die gebiete die von diesen linien getrennt werden dieselbe farbe. und dass ist auch richtig so, weil sie ja nicht von einer linie getrennt werden sondern von zwei linien die nur zufällig übereinander liegen. Wären es ungerade viele linien die übereinanderliegen bekämen die zwei von ihnen getrennten gebiete wieder verschiedene farben.....
grüße majorante
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Hallo Andreas,
wie kann man mit einem derart verwirrenden Schreibstil nur das Abi bekommen?  Ich verstehe bei deinen Sätzen nur Bahnhof, was nicht nur an der Länge, sondern auch an deiner Grammatik/Interpunktion liegt. Zum Mathe-Studium gehört auch, sich präzise und kurz ausdrücken zu können. Wahrscheinlich konnten dir deine Professoren nicht weiterhelfen, weil sie die Frage nicht verstanden haben, genauso wie wir. Paulus hat recht, wir brauchen wirklich ein paar mehr Voraussetzungen. Meinst du mit Gebiet wirklich die mathematische Definion, also eine nichtleere, offene und zusammenhängende Teilmenge des [mm] K^n [/mm] ?
> da diese zwei
> übereinanderliegenden linien zwar auf den ersten blick
> aussehen als wäre es eine linie aber bei genauerem hinsehen
> und mit der bedingung dass eine linie nicht einfach mitten
> im gebiet aufhören darf, bemerkt man dass es zwei linien
> sein müssen die übereinander liegen
Was meinst du mit "übereinander liegen"? Zwei Linien, die aufeinander liegen? Häää? Sind Linien bei dir Geraden? Falls ja, zwei aufeinander liegende Geraden, Strecken oder Wege sind identisch einer Gerade/Strecke/Weg.
Du merkst schon, dass die von dir verwendete "Alltagssprache" bei komplizierten Zusammenhängen Probleme machen kann, da wir nicht wissen, was dir gerade vorschwebt. Deshalb kann ich dir nur raten, dir durch Übung im Grundstudium das Handwerkszeug für präzise Aussagen anzueignen.
Liebe Grüße,
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Do 09.06.2005 | | Autor: | majorante |
Hallo andreas,
hm... vielleicht hast du recht und ich sollte mich genauer ausdrücken....
mit "Gebiet" meinte ich eigentlich schon die mathematische Definition aber das ist für das problem nicht das entscheidende. Nehmen wir statt dem Gebiet eine kompakte (nicht leere) Menge (beschränkt und abgeschlossen zB. ein Blatt Papier). Innerhalb dieses Blatt Papiers zeichne ich Linien (Ich meine natürlich keine geraden linien, sondern willkürliche linien, kurven, funktionen,....).
> Was meinst du mit "übereinander liegen"? Zwei Linien, die
> aufeinander liegen? Häää?
Wenn du zB eine Tangente an einem Punkt an eine Kurve zeichnest, dann liegen die Tangente und die Kurve an diesem Punkt übereinander bzw. aufeinander. Ein anderes Beispiel hat Paulus geschrieben:
"Die erste Linie läuft von links in Richtung Zentrum des Bildes. Beim Zentrum beginnend, macht sie dann eine Linkskurve, um den rechten Bildrand in der oberen Hälfte zu erreichen.
Die zweite Linie läuft von links in Richtung Zentrum des Bildes, genau auf der ersten Linie. Beim Zentrum beginnend, macht sie dann eine Rechtskurve, um den rechten Bildrand in der unteren Hälfte zu erreichen."
Dann liegen die beiden linien (bis sie das Zentrum des Bildes erreicht haben) "aufeinander" (sie sind also bis dahin gleich). Wegen meiner Definition des "Sonderfalls" müssen die zwei Flächen, die durch diese zwei "aufeinanderliegenden" Linien getrennt werden, die selbe Farbe bekommen! Eben weil sie durch ZWEI linien getrennt werden!
Bei einer ungeraden anzahl von "aufeinanderliegen" Linien bekommen die zwei von diesen linien getrennten Flächen verschiedene Farben!
jetzt klar wie ich das meine? Zur Verdeutlichung habe ich noch drei Beilpiele mit paint gemalt... im Anhang....
gruß Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 Di 14.06.2005 | | Autor: | qwert |
Hallo
ich versuche das mal zu formalisieren
> zB. ein
> Blatt Papier).
Wir betrachten also das Einheitsquadrat X=[0,1]x[0,1] im [mm] R^2
[/mm]
Innerhalb dieses Blatt Papiers zeichne ich
> Linien (Ich meine natürlich keine geraden linien, sondern
> willkürliche linien, kurven, funktionen,....).
Wir betrachten also differenzierbare Wege [mm] \gamma_1,...,\gamma_n [/mm] in X mit [mm] \gamma_i(0), \gamma_i(1) \in [/mm] Rand X
und [mm] \gamma_i|_{]0,1[} [/mm] ist injektiv und nimmt nur Werte im Inneren von X an.
Gesucht wird eine Vorschrift, wie die die Zusammenhangskomponenten des Komplements Y von [mm] \bigcup [/mm] Bild [mm] \gamma_i \cup [/mm] Rd X in X mit zwei Farben einzufärben sind, d.h. eine Abbildung:
F: {Zusammenhangskomponenten von Y} --> Z/2Z
wobei
F(U) = 0 <-> mache U rot
F(U) = 1 <-> mache U blau
F soll eine Zusatzbedingung erfüllen :
> Bei einer ungeraden anzahl von "aufeinanderliegen" Linien
> bekommen die zwei von diesen linien getrennten Flächen
> verschiedene Farben!
Sind [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] benachbarte Zusammenhangskomponenten von Y, d.h. [mm] \bar{U_1}\cap \bar{U_2} \neq \emptyset,
[/mm]
so soll für beliebiges x [mm] \in \bar{U_1}\cap \bar{U_2}
[/mm]
[mm] F(U_1)= F(U_2) [/mm] + #{i ; x [mm] \in [/mm] Bild [mm] \gamma_i [/mm] }
gelten.
Ich vermute, daß wenn man die [mm] \gamma_i [/mm] zusammen mit Wegen im Rand von X zu einem geschlossenen Weg [mm] \gamma [/mm] zusammen setzt, F aus den Umlaufzahlen von [mm] \gamma [/mm] konstruiert werden kann.
Muß da aber noch mal drüber nachdenken.
qwert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Mo 13.06.2005 | | Autor: | qwert |
> Was meinst du mit "übereinander liegen"? Zwei Linien, die
> aufeinander liegen? Häää? Sind Linien bei dir Geraden?
> Falls ja, zwei aufeinander liegende Geraden, Strecken oder
> Wege sind identisch einer Gerade/Strecke/Weg.
Ich weiß ja nicht was du unter einem Weg verstehst. Ich verstehe darunter immer noch eine Abbildung [mm] \gamma: [/mm] [0,1] -> X. Und zwei Wege [mm] \gamma_1 \gamma_2 [/mm] sind nicht gleich wenn sie "übereinanderliegen" (Bild [mm] \gamma_1 [/mm] = Bild [mm] \gamma_2). [/mm]
Ihr seid schon merkwürdige Mathematiker. Da kommt jemand mit einem "Alltagsproblem" in "Alltagssprache" und ihr mäckert darüber, daß ihr es nicht verstehen könntet, weil es nicht richtig formalisiert ist, anstatt darüber nachzudenken, wie man es formalisieren könnte.
qwert
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Betrachte alle Kreuzungen als Knoten eines eingebetteten planaren Graphen G (nicht sicher ob das dt. so gesagt wird)
Deine Linien sind Zyklen
An jedem Knoten stossen eine gerade Anzahl von Kanten zusammen (einfach zu sehen, wenn du die Zyklen orientierst)
Bilde den Graphen H, der für jede Fläche von G einen Knoten besitzt, und eine Kante falls die zwei Flächen aneinanderstossen.
Da H nur aus geraden Zyklen besteht, ist er bipartit, daraus folgt sofort die 2-färbbarkeit der Flächen von G
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