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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Do 31.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Guten Morgen zusammen.
Hab zu folgender Aufgabe eine Frage und wollte wissen ob meine Idee bis dahin ok ist :
Es sei a [mm] \in [/mm] M(n;K) mit Rang(a)= n-1. Sei b [mm] \in K^{n} [/mm] und a(i;b) die Martix, die aus a ensteht, wenn man die i.te Spalte von a durch b ersetzt.
Zeige: Das lineare Gleichungssystem Ax=b hat genau dann eine Lösung
x [mm] \in K^{n} [/mm] wenn det (a(i;b)) = 0 für alle i = {1,.......,n}
Bei der Hinrichtung habe ich eine Idee:
aus b= Ax folgt dass b Element eines Teilraumes ist mit dim [mm] \le [/mm] n-1 da der Rang(a)= n-1 ist. Daraus flogt das der Rang (a(i;b) [mm] \le [/mm] n-1 ist (und damit auch kleiner n). Daraus folgt die Matrix ist nicht invertierbar und daraus müßte folgen det (a(i;b) = 0
Bei der Rückrichtung habe ich keine Idee ist meine Hinrichtung denn soweit Ok?
Wie immer schonmal im Voraus Danke für die Hilfe. Mr Coffee
Ach ja bevor ich es vergesse : Ich habe diese Frage in keinem anderm Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Do 31.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
> Hab zu folgender Aufgabe eine Frage und wollte wissen ob
> meine Idee bis dahin ok ist :
>
> Es sei a [mm]\in[/mm] M(n;K) mit Rang(a)= n-1. Sei b [mm]\in K^{n}[/mm] und
> a(i;b) die Martix, die aus a ensteht, wenn man die i.te
> Spalte von a durch b ersetzt.
>
> Zeige: Das lineare Gleichungssystem Ax=b hat genau dann
> eine Lösung
> x [mm]\in K^{n}[/mm] wenn det (a(i;b)) = 0 für alle i =
> {1,.......,n}
>
> Bei der Hinrichtung habe ich eine Idee:
>
> aus b= Ax folgt dass b Element eines Teilraumes ist mit dim
> [mm]\le[/mm] n-1 da der Rang(a)= n-1 ist. Daraus flogt das der Rang
> (a(i;b) [mm]\le[/mm] n-1 ist (und damit auch kleiner n). Daraus
> folgt die Matrix ist nicht invertierbar und daraus müßte
> folgen det (a(i;b) = 0
>
> Bei der Rückrichtung habe ich keine Idee ist meine
> Hinrichtung denn soweit Ok?
Ja, die ist soweit ok.
b ist Element des Spaltenraums von A.
Die Rueckrichtung ist auch ganz einfach, wenn Du Dir
ueberlegst, was es ganz elementar bedeutet, wenn eine
Matrix die Determinante 0 hat.
Gruss,
Monika.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Do 31.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Danke für deine Mühe. Habs aber noch nicht ganz geblickt
was meinst du mit Elementar. meinst du das zwei zeilen/spalten linear abhäging sind und da dies für alle i= 1,.....,n folgt daraus das b Element des Spanns der Spaltenvektoren ist? War so ne Überlegung fühl mich aber bei weitem noch nicht sicher. Auf jeden Fall nochmal Danke. bis dann
Mr Coffee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Do 31.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hi MrCoffee.
> Danke für deine Mühe. Habs aber noch nicht ganz geblickt
Ich war mir nicht ganz sicher, ob Du ueberhaupt nach einer
Idee fuer die andere Richtung gefragt hast, darum bin ich
etwas vage geblieben, wollte Dir den Spass nicht rauben.
> was meinst du mit Elementar.
Einfach nur: Basiswissen.
Was man da eben so zuerst lernt. 
> meinst du das zwei
> zeilen/spalten linear abhäging sind und da dies für alle i=
> 1,.....,n folgt daraus das b Element des Spanns der
> Spaltenvektoren ist?
Wenn irgendwelche Vektoren [mm]v_1,...,v_k[/mm] linear abhaengig sind,
lassen sie sich doch so schreiben:
[mm]a_1v_1 + ... + a_kv_k = 0[/mm]
Damit laesst sich fuer eines der [mm]v_i[/mm]s doch was
basteln...
Hoffe, das bringt Dich weiter.
Gruss,
Monika.
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