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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:56 Do 25.11.2004 | | Autor: | Chlors |
Hallo,
ich komme mit der Aufgabe : x [mm] \in [/mm] [0,1) mit der Dezimalbruchentwicklung
x=0,z(1)z(2)z(3).... ist gegeben. zu zeigen: x ist genau dann rational, wenn die Dezimalbruchentwicklung von einer Stelle N an periodisch ist (es existiert p [mm] \in [/mm] natürliche zahlen, so dass z(n+p)=z(n) für n [mm] \ge [/mm] N)
-> () soll den Index darstellen.
ich habe mir überlegt, dass x als [mm] 0+\summe_{n=1}^{\infty} (z(n)/10^n)geschrieben, [/mm] also als eine Reihe und p/q ist meine rationale Zahl, wobeiu p, q element von ganzen zahlen.
ich muss erstmal zwei richtungen sein. einmal weiß ich, x ist rational
also ist die reihe gleich eine rationale zahl, also muss die reihe *q eine ganze zahl ergeben, aber wie komme ich dahin, dass die reihe ab einer bestimmen stelle periodisch sein muss, damit das funktioniert ?
und die andere seite wäre, dass x ab irgendeiner stelle periodisch ist :
[mm] x=\summe_{n=1}^{N-1}(z(n)/10^n)+\summe_{n=N}^{\infty}(z(n)/10^n)
[/mm]
und das müsste ich ja jetzt so umformen können, dass ich herausbekommen, dass x rational ist, aber wie?
ich hoffe, dass mir jemand von euch helfen kann, danke :)
Liebe Grüße, Conny.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Gorky |
Hi! Ich weiss nicht ob das dir weiter hilft aber ich hab gleiche Aufgabe mit Lösung im Buch Analysis 1 (Königsberger) gesehen.
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