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| Aufgabe | Betrachten sie für [mm] $\alpha [/mm] >0$ die Funktion [mm] $f_{\alpha}:\IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto \alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1)} 1_{[1,\infty)}(x)$
[/mm]
a) Zeigen sie,dass$ [mm] f_{\alpha}$ [/mm] Dichte eines W'maßes auf $ [mm] \IR [/mm] $ ist, und bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion$ [mm] F_{\alpha}$
[/mm]
b) sein nun [mm] $\alpha [/mm] > 2 $ und sei $X$ eine reelle Zufallsvariable,deren Verteilung die Dichte [mm] $f_{\alpha}$ [/mm] besitzt. Bestimmen sie Erwartungswert und Varainz von $ X$ sowie die W'keit $P(X>E(X))$ |
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx} =\underbrace{\integral_{-\infty}^{1}{f_{\alpha}(x)dx}}_{=0}+\integral_{1}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \integral_{-\infty}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx}=\integral_{1}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{\infty}{\alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1)}dx}=\alpha\cdot{}\integral_{1}^{\infty}{x^{-(\alpha+1)}dx} [/mm] = [mm] [-x^{-\alpha}]_{1}^{\infty} [/mm] = 1$
ist eine Dichte eine W'maßes auf [mm] $\IR$
[/mm]
[mm] $F_{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x<1 \\-x^{-\alpha}, & \mbox{für } 1\leq x < \infty \end{cases}$
[/mm]
ist die Dichte funktion.
b) wollte ich machen wenn a) richtig ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Di 03.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo PeterPaul!
> Betrachten sie für [mm]\alpha >0[/mm] die Funktion [mm]f_{\alpha}:\IR \to \IR , x \mapsto \alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1)} 1_{[1,\infty)}(x)[/mm]
>
> a) Zeigen sie,dass[mm] f_{\alpha}[/mm] Dichte eines W'maßes auf [mm]\IR [/mm]
> ist, und bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion[mm] F_{\alpha}[/mm]
>
> b) sein nun [mm]\alpha > 2[/mm] und sei [mm]X[/mm] eine reelle
> Zufallsvariable,deren Verteilung die Dichte [mm]f_{\alpha}[/mm]
> besitzt. Bestimmen sie Erwartungswert und Varainz von [mm]X[/mm]
> sowie die W'keit [mm]P(X>E(X))[/mm]
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx} =\underbrace{\integral_{-\infty}^{1}{f_{\alpha}(x)dx}}_{=0}+\integral_{1}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{-\infty}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx}=\integral_{1}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx} = \integral_{1}^{\infty}{\alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1)}dx}=\alpha\cdot{}\integral_{1}^{\infty}{x^{-(\alpha+1)}dx} = [-x^{-\alpha}]_{1}^{\infty} = 1[/mm]
>
> ist eine Dichte eine W'maßes auf [mm]\IR[/mm]
Bei dir steht nun, dass [mm] \integral_{\IR}{f_{\alpha}(x)\mathrm{d}x} [/mm] eine Dichte ist. Stimmt das?
> [mm]F_{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x<1 \\-x^{-\alpha}, & \mbox{für } 1\leq x < \infty \end{cases}[/mm]
>
> ist die Dichte funktion.
Die Dichtefunktion?
Konzentration! Wenn [mm] f_{\alpha} [/mm] eine Dichtefunktion ist, dann ist mit
[mm] F_{\alpha}(t)=\int_{-\infty}^{t}f_{\alpha}(x)\mathrm{d}x
[/mm]
eine Verteilungsfunktion gegeben. Demnach hast du es geschafft
in zwei Wörtern zwei Fehler zu machen. Wenn ihr schon die schicke
Indikatorfunktion benutzt, dann benutze sie doch auch zur Angabe
von [mm] F_{\alpha}.
[/mm]
Edit: Die Verteilungsfunktion ist falsch, siehe Gono's Antwort.
> b) wollte ich machen wenn a) richtig ist
Okay.
Gruß
DieAcht
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
jap, das wollte ich sagen ,dass $ \integral_{\IR}{f_{\alpha}(x)\mathrm{d}x} $ eine Dichte ist und das F_{\alpha} die Verteilungsfunktion der Dichte ist.
b)$ E_{\alpha}[X]= \integral_{1}^{\infty}{x*f_{\alpha} dx}= \integral_{1}^{\infty}{x\cdot{}\alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1) } dx= [\frac{\alpha x^{1-\alpha}}{1-\alpha}]_{1}^{\infty}= \frac{\alpha}{\alpha-1}$ klappt da aus der Aufg. entnommen wird \alpha>2
$ E_{\alpha}[X^2]= \integral_{1}^{\infty}{x^2*f_{\alpha} dx}= \integral_{1}^{\infty}{x^2\cdot{}\alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1) } dx}= [\frac{\alpha x^{2-\alpha}}{2-\alpha}]_{1}^{\infty}= \frac{\alpha}{\alpha-2}$ mit \alpha>2$
$Var_{\alpha}(X) = E_{\alpha}[X^2]-(E_{\alpha}[X])^2 = \frac{\alpha}{\alpha-2}-(\frac{\alpha}{\alpha-1})^2$
bei $ P(X>E[X])$ habe ich keine Ahnung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Di 03.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> ,dass [mm]\integral_{\IR}{f_{\alpha}(x)\mathrm{d}x}[/mm] eine Dichte ist
Falsch. Richtig: Wegen [mm] \integral_{\IR}{f_{\alpha}(x)\mathrm{d}x}=1 [/mm] ist [mm] f_{\alpha} [/mm] eine Dichtefunktion.
> b)[mm] E_{\alpha}[X]= \integral_{1}^{\infty}{x*f_{\alpha}\red{(x)} dx}= \integral_{1}^{\infty}{x\cdot{}\alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1) } dx= [\frac{\alpha x^{1-\alpha}}{1-\alpha}]_{1}^{\infty}= \frac{\alpha}{\alpha-1}[/mm]
> klappt da aus der Aufg. entnommen wird [mm]\alpha>2[/mm]
(Beachte: Korrektur mit roter Farbe!)
> $ [mm]E_{\alpha}[X^2]= \integral_{1}^{\infty}{x^2*f_{\alpha}\red{(x)} dx}= \integral_{1}^{\infty}{x^2\cdot{}\alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1) } dx}= [\frac{\alpha x^{2-\alpha}}{2-\alpha}]_{1}^{\infty}= \frac{\alpha}{\alpha-2}$[/mm]
> mit [mm]\alpha>2$[/mm]
(Beachte: Korrektur mit roter Farbe!)
> [mm]Var_{\alpha}(X) = E_{\alpha}[X^2]-(E_{\alpha}[X])^2 = \frac{\alpha}{\alpha-2}-(\frac{\alpha}{\alpha-1})^2[/mm]
> bei [mm]P(X>E[X])[/mm] habe ich keine Ahnung
Das kannst du mit Sicherheit äquivalent umschreiben. 
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wieso vertauscht? $Var(X)= [mm] E[X^2]-(E[X])^2 [/mm] $laut wiki
muss ich wirklich das zusammenfassen? :D
bei letzten wäre es dann doch
$ P(X>E[X])= 1-P(X [mm] \leq [/mm] E[X])= 1-P(X [mm] \leq \frac{\alpha}{\alpha-1}) [/mm] $ und jetzt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Di 03.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> wieso vertauscht? [mm]Var(X)= E[X^2]-(E[X])^2 [/mm]laut wiki
>
> muss ich wirklich das zusammenfassen? :D
Du kannst die rechte Seite zusammenfassen.
> bei letzten wäre es dann doch
>
>
> [mm]P(X>E[X])= 1-P(X \leq E[X])= 1-P(X \leq \frac{\alpha}{\alpha-1})[/mm]
Richtig.
> und jetzt
Jetzt fehlen dir wieder Basics. Wie ist die Verteilungsfunktion
einer reellen Zufallsvariable definiert?
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$Var(X)= [mm] \frac{\alpha}{\alpha-1}- (\frac{\alpha}{\alpha-2})^2=\frac{\alpha^3-5\alpha^2+4\alpha}{(\alpha-1)\cdot{}(\alpha-2)^2} [/mm] $
$ P(X>E[X])= 1-P(X [mm] \leq [/mm] E[X])= 1-P(X [mm] \leq \frac{\alpha}{\alpha-1})= 1-F_{\alpha}(\frac{\alpha}{\alpha-1}) [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Di 03.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> [mm]Var(X)= \frac{\alpha}{\alpha-1}- (\frac{\alpha}{\alpha-2})^2=\frac{\alpha^3-5\alpha^2+4\alpha}{(\alpha-1)\cdot{}(\alpha-2)^2} [/mm]
Ich erhalte
[mm] \frac{\alpha}{\alpha-1}- (\frac{\alpha}{\alpha-2})^2=\frac{\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}.
[/mm]
> [mm]P(X>E[X])= 1-P(X \leq E[X])= 1-P(X \leq \frac{\alpha}{\alpha-1})= 1-F_{\alpha}(\frac{\alpha}{\alpha-1})[/mm]
Jetzt kannst du noch einsetzen und zusammenfassen, wobei du das
Einsetzen noch begründen könntest.
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meinst du so?
$ P(X>E[X])= 1-P(X [mm] \leq [/mm] E[X])= 1-P(X [mm] \leq \frac{\alpha}{\alpha-1})= 1-F_{\alpha}(\frac{\alpha}{\alpha-1}) [/mm] = [mm] 1-(\frac{\alpha}{\alpha-1})^{-\alpha}= [/mm] 1- [mm] \frac{\alpha\cdot{}(\alpha-1)}{\alpha}= 1-(\alpha-1)= \alpha [/mm] +2 $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Di 03.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> meinst du so?
>
>
> [mm]P(X>E[X])= 1-P(X \leq E[X])= 1-P(X \leq \frac{\alpha}{\alpha-1})= 1-F_{\alpha}(\frac{\alpha}{\alpha-1}) = 1-(\frac{\alpha}{\alpha-1})^{-\alpha}= 1- \frac{\alpha\cdot{}(\alpha-1)}{\alpha}= 1-(\alpha-1)= \alpha +2[/mm]
Nein. Es ist
[mm] 1-F_{\alpha}(\frac{\alpha}{\alpha-1})=1-\left(-\left(\frac{\alpha}{\alpha-1}\right)^{-\alpha}\right)=1+\left(\frac{\alpha-1}{\alpha}\right)^{\alpha}.
[/mm]
Das war natürlich Quark und das hätte ich merken sollen, denn es
wäre hier [mm] $P(X>E(X))>1\$ [/mm] und somit ein Widerspruch zum W'Maß. Gono
hat den Fehler erkannt.
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Wenn das einsetzten denn richtig gewesen waere,waere ich jetzt fertig oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 04.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Wenn das einsetzten denn richtig gewesen waere,waere ich
> jetzt fertig oder?
Ja.
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Ich hab keine ahnung wie ich dasmachen mussdass der positive limes gegen1 geht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mi 04.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Zunächst: Es tut mir leid, dass ich darauf nicht geachtet habe!
> Ich hab keine ahnung wie ich dasmachen mussdass der positive limes gegen1 geht
Du musst eigentlich nichts machen, weil jede Verteilungsfunktion
diese Eigenschaft besitzt. Gono wollte damit verdeutlichen, dass
es damit keine Verteilungsfunktion sein kann! Eigentlich hast du
nur falsch gerechnet und ich habe es einfach übersehen, sorry!
Vielleicht noch einmal strukturiert, damit es auch klar wird:
Jede Abbildung [mm] f\colon\IR\to[0,\infty) [/mm] mit [mm] \int_{\IR}f(x)\mathrm{d}x=1 [/mm] heißt Dichte.
(Das kann man natürlich noch anders definieren.)
Eine Abbildung [mm] f\colon\IR\to[0,1] [/mm] heißt Verteilungsfunktion, falls gelten:
1) [mm] $F\$ [/mm] ist monoton steigend,
2) [mm] \lim_{t\to\infty}F(t)=1 [/mm] und [mm] \lim_{t\to -\infty}F(t)=0,
[/mm]
3) [mm] $F\$ [/mm] ist rechtsseitig stetig.
Nun kann man zeigen: Ist [mm] $f\$ [/mm] eine Dichte, so ist
[mm] F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\mathrm{d}t
[/mm]
eine Verteilungsfunktion (sogar stetig).
Nun hast du bereits gezeigt, dass
[mm] f_{\alpha}(x)=\alpha*x^{-(\alpha+1)}1_{[1,\infty)}(x)
[/mm]
eine Dichte ist. Demnach ist mit
[mm] F_{\alpha}(x)=\int_{-\infty}^{x}f_{\alpha}(t)\mathrm{d}t [/mm] für alle(!) [mm] x\in\IR
[/mm]
eine Verteilungsfunktion gegeben.
1. Fall: Sei [mm] $x<1\$, [/mm] dann gilt:
[mm] F_{\alpha}(x)=\int_{-\infty}^{x}f_{\alpha}(t)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{x}0{d}t=0.
[/mm]
2. Fall: Sei [mm] $x\ge [/mm] 1$, dann gilt:
[mm] F_{\alpha}(x)=\int_{-\infty}^{1}f_{\alpha}(t)\mathrm{d}t+\int_{1}^{x}f_{\alpha}(t)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{1}0\mathrm{d}t+\int_{1}^{x}\alpha*t^{-(\alpha+1)}\mathrm{d}t=[-t^{-\alpha}]_1^x=-x^{-\alpha}-(-1^{-\alpha})=1-x^{-\alpha}.
[/mm]
Demnach ist
$ [mm] F_{\alpha}(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x<1 \\1-x^{-\alpha}, & \mbox{für } x\ge 1 \end{cases} [/mm] $.
(Oder kurz: [mm] F_{\alpha}(x)=(1-x^{-\alpha})1_{[1,\infty)}(x).)
[/mm]
(Nun gilt (auch): [mm] $F_{\alpha}(x)\to [/mm] 1$ für [mm] x\to\infty. [/mm] )
Durch den Patzer musst du natürlich noch einmal $P(X>E[X])$ be-
rechnen, aber das sollte kein Problem sein.
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Ich hab da [mm] $(\frac {\alpha -1}{\alpha})^{\alpha}$ [/mm] raus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Do 05.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Ich hab da [mm](\frac {\alpha -1}{\alpha})^{\alpha}[/mm] raus
Passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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Hallo :)
Ich habe allgemein auch schwierig keiten beim aufstellen einer Verteilungsfunktion . Koenntest du vielleicht ein Beispiel geben wie man da so allgemein vorgeht,biiiiteee :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Di 03.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hier stand nicht viel richtiges!
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dann hab ich ja doch alles richtig gemacht nur schlecht hingeschrieben,oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Di 03.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> dann hab ich ja doch alles richtig gemacht nur schlecht hingeschrieben,oder?
Man kann nicht etwas falsch aufschreiben und alles richtig machen.
Du hast geschrieben, dass [mm] F_{\alpha} [/mm] die Dichtefunktion ist.
[mm] F_{\alpha} [/mm] ist aber eine(!) Verteilungsfunktion (von [mm] f_{\alpha}).
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Di 03.02.2015 | | Autor: | PeterPaul |
ahhh oke :) danke das du da ein wenig Begriffsklärung durchgeführt hast!:)
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Hallo Acht,
wenn du Fragen beantwortest, korrigiere doch bitte auch Fehler.
Insbesondere da die Verteilungsfunktion falsch ist, haben sich hier Folgefehler eingeschlichen....
Gruß,
Gono
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Hiho,
deine Verteilungsfunktion ist falsch.
Bedenke: Für eine Verteilungsfunktion muss gelten: [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] F(x) = 1$, was bei dir offensichtlich nicht gilt.
Du hast was essenzielles vergessen.
Gruß,
Gono
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Wie muss sie verteilungsfunktion denn sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mi 04.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Wie muss sie verteilungsfunktion denn sein?
Antwort steht hier.
Noch einmal: Vielen Dank für's Aufpassen Gono!
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