diffbare abbildung nach SO(3) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo!
sitze schon ne weile an nem problem, bei dem ich nicht weiß ob ich oder mein maple(5) daran gescheitert ist. folgendes:
man habe eine beliebige diffbare abbildung [mm] c:\IR->SO(3) [/mm] der gestalt
[mm] t->\pmat{cos(\psi(t))&-sin(\psi(t))&0\\sin(\psi(t))&cos(\psi(t))&0\\0&0&1}\pmat{1&0&0\\0&cos(\theta(t))&-sin(\theta(t))\\0&sin(\theta(t))&cos(\theta(t))}\pmat{cos(\phi(t))&-sin(\phi(t))&0\\sin(\phi(t))&cos(\phi(t))&0\\0&0&1}
[/mm]
dabei sind natürlich [mm] \psi \phi [/mm] und [mm] \theta [/mm] beliebige diffbare funktionen [mm] \IR->[0,\pi)
[/mm]
ich wollte jetzt für jedes t einen Vektor w bestimmen - also eine stetige abbildung [mm] w:\IR->\IR^3 [/mm] - sodass für alle [mm] x\in\IR^3 [/mm] und alle [mm] t\in\IR [/mm] gilt:
[mm] \bruch{d}{dt}c(t)x=w(t)\times [/mm] (c(t)x) (+)
neben anderen sachen habe ich folgendes probiert (mit maple, aber ohne erfolg, vielleicht maple falsch bedient?, maple schlecht?):
ich habe die matrix [mm] Dc(t):=\bruch{d}{dt}c(t) [/mm] (komponentenweise) berechnet, ker(Dc(t)) berechnet, einen eindimensionalen unterraum erhalten der das gesuchte w(t) enthält, mit (+) noch w(t) eindeutig bestimmt.
aber (+) geht nicht auf. zu bemerken ist noch, dass zum ende hin die terme unüberschaubar groß wurden. konnte also maple damit nicht mehr umgehen? oder habe ich vielleicht tippfehler gemacht. oder funktioniert obiges verfahren gar nicht?
bin langsam am ende meines lateins...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:51 Fr 21.04.2006 | | Autor: | topotyp |
Hi!
1. Die Gleichung $ a = x [mm] \times [/mm] b$ ist nach x nicht eindeutig lösbar.
2. Es kann aber sein, weil du spezielle a und b hast, nämlich c(t)x und die
Ableitung, dass das doch lösbar ist.
3. Leider stellt sich (2) für den folgenden Spezialfall schon als Problem raus:
Seien alle Funktionen null. Dann ist c(t)=I, Dc(t)=0 und die resultierende
glg. $ 0 = w(t) [mm] \times [/mm] x$ hat keine eindeutige Lösung. Daran scheitert
Maple auf jeden Fall. Selbst wenn man w auf 1 normieren würde, hätte
man bei diesem Spezialfall immer noch das Vorzeichen festzulegen.
Ich meine die gewählten Funktionen sind irgendwie zu allgemein.
4. Was du vielleicht probieren könntest: Die Gleichung $Dc x = [mm] w\times [/mm] cx$
ist linear in $x$, daher genügt es sie auf den Basisvektoren zu lösen,
zB. 100 010 001. Wenn du aber bereits mit der ganzen Matrix gerechnet hast, na ja, ich weiss nicht. Aber schliesslich: Nimm dir einen Basisvektor!
Wenn du dort keine Lösung bekommst, ist das Problem sowieso aussichtslos.
5. Vielleicht physikalische Lösung, gibts da nicht irgenwelche Eulerwinkel...
Gruss topotyp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Fr 21.04.2006 | | Autor: | calabi-yau |
hi topotyp,
erstmal danke für deine antwort. über existenz und eindeutigkeit der lösung und das mit der basis hab ich mir alles schon mal überlegt, aber seis drum, denn: zu 5.: hehe, ja genau das will ich damit bezwecken, ich will die winkelgeschwindigkeit in der physik mathematisch formalisieren und verallgemeinern (eulerwinkel). das hatte ich schon in meiner vorigen frage vor. aber jetzt bin ich wieder n stück weitergekommen: die abbildung c habe ich falsch definiert, [mm] \phi, \psi [/mm] und [mm] \theta [/mm] sind nicht die eulerwinkel. ich bin gerade dabei eine solche abbildung, die die eulerwinkel enthält zu konstrieren. dann ist mir eine noch bessere lösungsmöglichkeit der obengenannten gleichung eingefallen: sofern die matrizen (in der abbildung nach SO(3)) kommutieren, ist das gesuchte w(t) die summe der [mm] w_i(t) [/mm] der einzelnen matrizen, stichwort: winkelgeschwindigkeiten kann man addieren (aber eben nur im kommutativen fall). die [mm] w_i(t) [/mm] sind aber meist einfach zu finden, aber da bin ich grad dran.
ps an die mods: diese und meine alte frage kann auf beantwortet gesetzt werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 26.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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