extremwertaufgaben < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:22 Mi 14.07.2004 | | Autor: | magister |
Eine zylinderförmige Arena (Durchmesser =200m , Höhe = 20m ) soll mit einem bis zum Boden reichenden Rotationsparaboloid zeltförmig überdacht werden, wobei der umbaute Raum des Zeltes minimal werden soll. Berechnen Sie Höhe und Bodenradius dieses Zeltes und das Volumen des umbauten Raumes.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:01 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo magister,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
(Entschuldige bitte die späte Freischaltung des Artikels, da hat die Automatik versagt.)
Welche Probleme hast du denn mit dieser Aufgabe bzw. wie können wir dir helfen (Erinnerung)?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:08 Mi 14.07.2004 | | Autor: | magister |
hallo marc
erstmals danke für die herzliche begrüssung.
mein problem bei der extremwertaufgabe ist, wie zb. die haupt und nebenbedingungen ausschauen , was ein rotationsparaboloid ist bzw. wie ich mit dem rechnen soll und einfach komplett das ganze beispiel ein wenig.
bitte hilfe *G*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Marc |
Salve magister!
> erstmals danke für die herzliche begrüssung.
> mein problem bei der extremwertaufgabe ist, wie zb. die
> haupt und nebenbedingungen ausschauen , was ein
> rotationsparaboloid ist bzw. wie ich mit dem rechnen soll
> und einfach komplett das ganze beispiel ein wenig.
Sich die Situation vorstellen zu können, ist natürlich erstmal das Wichtigste.
Was ein Zylinder ist, ist klar (z.B. Konserven-Dose).
Nun stelle dir eine nach unten geöffnete Parabel vor, deren Scheitelpunkt auf der Symmetrie-Achse des Zylinders liegt (also direkt darüber).
Läßt du diese Parabel um die Zylinderachse rotieren, erhältst du das Rotationsparaboloid.
Nun ist ein Rotationsparaboloid kleinsten Volumens gesucht, in das dieser Zylinder hereinpasst. Mit anderen Worten: Die beiden haben Berührpunkte gemeinsam, wo diese liegen, dürfte klar sein: Ganz oben, am Rand des Deckels sozusagen.
Da alles rotationssymmetrisch ist, reicht es, eine Querschnittsfläche (die die Rotationsachse enthält) zu betrachten. Dann ist alles schön zweidimensional und die Situation sieht folgendermaßen aus:
Um ein Rechteck soll eine nach unten geöffnete Parabel gelegt werden, so dass die Fläche unterhalb der Parabel minimal wird.
So, ich hoffe, diese Ausführungen bringen dich jetzt auf den rechten Weg; falls nicht, frage einfach nochmal nach.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mi 14.07.2004 | | Autor: | magister |
hallo marc
also wenn ich dich recht verstehe, dann ist das im zweidimensionalen ein rechteck und im rechteck drinnen ist eine parabel, wo der scheiterl in der mitte am boden sitzt und die beiden berührungspunkte der parabel und des zylinders an der oberseite des zylinders(ecke) sind. falls das stimmt gut, falls nicht bitte erklärs mir noch einmal.
unabhängig davon, kann ich mir leider überhaupt nicht vorstellen, was ich bzw. wie ich ausrechnen soll und wie das geht....es wäre sehr wichtig für mich, etwas greifbares zu haben, bzw. einen ansatz, damit das aha erlebnis zu tragen kommt.
in hoffnung, dass ich dich nicht zu sehr quäle, danke im voraus
mfg
magister
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Hallo,
> also wenn ich dich recht verstehe, dann ist das im
> zweidimensionalen ein rechteck
ja.
> und im rechteck drinnen ist eine parabel
Genau andersrum. Innerhalb der Parabel befindet sich das Rechteck, da dieses ja davon "ueberdacht" wird.
Mich hatte die Loesung der Aufgabe vorhin auch interessiert und im Internet gab's zusaetzliche Infos bzw. eigentlich der nahezu komplette Loesungsweg (mit anderen Zahlenwerten). Schau mal hier: http://groups.google.com/groups?hl=en&lr=&ie=UTF-8&threadm=pTBE7.332250%24PV1.7205130%40news.chello.at&rnum=1&prev=/groups%3Fq%3D%2522zylinderfoermige%2Barena%2522%26hl%3Den%26lr%3D%26ie%3DUTF-8%26selm%3DpTBE7.332250%2524PV1.7205130%2540news.chello.at%26rnum%3D1
Ansonsten erklaert Dir das hier bestimmt noch einer, aber vielleicht kommst Du mit obigem Link schon ein Stueckchen weiter.
Viele Gruesse,
Michael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mi 14.07.2004 | | Autor: | magister |
wie gehts auf den link, den du angegeben hast, weiter beim rechnen...bis hier hin is es nachvollziehbar, aber dann ?
weiters wäre interessant wie das mit der oberfläche aussieht zu berechnen...kann mir das jemand erklären bitte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Do 15.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Die Hauptbedingung ist immer die Größe, die es zu minimieren oder maximieren gilt. In diesem Falle also das Volumen des Rotationsparaboloides.
Die Funktion lautet [mm] $y=f(x)=b-ax^2$. [/mm] Da die Rotation um die y-Achse geht müssen wir zur Berechnung des Volumens
[mm] $A=\pi\integral_{0}^{b}{x^2(y)\,dy}$
[/mm]
ansetzen. Diese Formel kennst Du vielleicht. Ist genauso, wie die Rotation um die x-Achse, nur dass die Abhängigkeiten vertauscht sind. Mach Dir auch klar, warum die Grenzen so sind, wie sie sind.
Also nach x aufgelöst und eingesetzt:
[mm] $A=\pi\integral_{0}^{b}{\frac{b-y}{a}\,dy}$
[/mm]
Damit erhälst Du die Hauptbedingung $A(a,b)$. Als Nebenbedingung brauchst Du nur noch den Punkt zu betrachten, wo die Kante des Stadions die Parabel berührt. Das passiert bei $x=200$ und $y=20$. Wenn Du diese Werte in die Funktion einsetzt erhälst Du die Nebenbedingung:
[mm] $20=b-a\cdot 200^2$
[/mm]
Und jetzt einsetzen, ableiten, nullsetzen....
Alles klar?
Gruß
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Do 15.07.2004 | | Autor: | magister |
Ich verstehe deine Integraldarstellung A = ... nicht bzw. die Grenzen
bin verwirrt.
hoffe, den rest versteh ich ....
dann bei der nebenbedingung zb. a freistellen, in das A=...Integral einsetzen, ableiten und nullsetzen. dann erhalte ich b.
ergebnis für b in die NB einsetzen und dann hab ich a...
dann ins A=Integral einsetzen und i hab die fläche
falls das stimmt, dann juhu...falls nicht bitte erneute hilfe, danke
wie siehts das dann bei der oberfläche aus ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Do 15.07.2004 | | Autor: | taenzer |
> Ich verstehe deine Integraldarstellung A = ... nicht bzw.
> die Grenzen
> bin verwirrt.
>
Einfach ausrechnen:
[mm]A=\pi\integral_{0}^{b}{\frac{b-y}{a}\,dy}
=\pi\integral_{0}^{b}{\frac{b}{a} -\frac{y}{a}\,dy}
=\pi\left[\frac{b}{a}y-\frac{1}{2a}y^2\right]_0^b
=\pi\left[\frac{b}{a}b-\frac{1}{2a}b^2\right]=\frac{\pi b^2}{2a}[/mm]
>
> wie siehts das dann bei der oberfläche aus ???
>
Welche Oberfläche?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Do 15.07.2004 | | Autor: | magister |
Danke an der stelle einmal allen fleissigen antwortern.
ich denke, das volumen des rotationsparaboloiden haben wir....
stimmt es, dass das volumen das gesamte volumen ist unterhalb der parabel. ich glaube schon, aber weiß ned genau
was ich noch nicht ganz weiß ist, wie bestimmt man den durchmesser des rotationsparaboloiden am boden und seine Höhe unter der bedingung, dass der umbaute raum des rotationsparaboloiden ein minimum ist....
Und, wie bestimmt man die oberfläche des rotationsparaboloides
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Do 15.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo magister,
wie sieht es hiermit aus?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Do 15.07.2004 | | Autor: | magister |
das ist mir zwar etwas unangenehm, aber ich muß gestehen, dass das eine kleine notlüge war. das ist zwar nicht meine art, aber ich stehe zur zeit enorm unter zeitdruck und da musste ich halt diese notlüge anbringen um eine optimale antwortmöglichkeit zu erlangen. das kann man nur bewerkstellen, vorallem im internet, wenn man viele alternativen hat. wenn ich von haus aus gesagt hätte, ja, schon gepostet, dann spielt einem immer die angst mit, dass man nicht mehr so aktiv antworten bekommt....
aus diesem grund versuchte ich diesen weg zu gehen. okay, er war falsch, denn dieses forum ist fachlich wesentlich besser. nun gut, das weiß man halt vorher nicht.
entschuldigung
lg magister
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Do 15.07.2004 | | Autor: | magister |
Dankeschön...ja, aber jetzt den regeln entsprechend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Do 15.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo magister,
> ich denke, das volumen des rotationsparaboloiden haben
> wir....
Nein, es sei denn, du hast es bereits privat ausgerechnet.
taenzer hat erst die Hauptbedinung A(a,b) zur Berechnung des Volumens vereinfacht.
Wir wollen aber doch die Parameter a und b so bestimmen, dass dieses Volumen minimal wird.
Das würde ziemlich einfach sein, wenn die hauptbedingung eine Funktion einer Variable wäre -- wir haben aber noch zwei (a und b). Also mußt du jetzt die Nebenbedinung ins Spiel bringen und eine Variable eliminieren (die Nebenbedinung würde ja auch schon im Strang ausgerechnet).
Mittels Differentialrechnung (Notwendige Bedinung für Extrempunkte etc.) kannst du so konkrete Werte für a und b ermitteln.
> stimmt es, dass das volumen das gesamte volumen ist
> unterhalb der parabel. ich glaube schon, aber weiß ned
> genau
Ja, klar.
> was ich noch nicht ganz weiß ist, wie bestimmt man den
> durchmesser des rotationsparaboloiden am boden und seine
> Höhe unter der bedingung, dass der umbaute raum des
> rotationsparaboloiden ein minimum ist....
Das ist ganz einfach. Mit a und b haben wir ja auch die konkrete Funktion [mm] $f(x)=b-ax^2$ [/mm] berechnet, deren rotierender Graph den Rotationsparaboloiden ergibt.
Der Durchmesser dieses Rotationsparaboloiden ist der Abstand der Nullstellen der Parabel, denn diese sind ja sozusagen die Berührpunkte der Parabel mit dem Boden.
> Und, wie bestimmt man die oberfläche des
> rotationsparaboloides
Bist du sicher, dass diese auch verlangt ist? Darau wüsste ich spontan keine Antrwort...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Fr 16.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Ich habe in einer meiner früheren Antworten aus Versehen
[mm] $A=\pi\integral_0^b{f^2(x)\,dx}$
[/mm]
geschrieben. Das ist aber nicht $A$ sondern $V$, das Volumen. Das kannst Du bestimmen, sobald Du a und b aus der Extremwertaufgabe bestimmt hast.
Falls Du wirklich die Oberfläche des Mantels haben willst, muss Du folgende Formel benutzen:
[mm] $M=2\pi\integral_{x_1}^{x_2}{f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}}\,dx$
[/mm]
Die habe ich aus dem Bronstein. In Deinem Falle musst Du wieder die Variablen vertauschen und die Umkehrfunktion nehmen, weil Du ja um die y-Achse rotierst.
Gruß
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Fr 16.07.2004 | | Autor: | magister |
danke für eure tollen hilfen.
also ich denke, ich habe jetzt b und a ausgerechnet.
kann es sein, dass b = 40 ist und a = 0,0005 ist ??
b ist doch die höhe der parabel oder ? was ist a ?
was ich noch nicht ganz weiß ist, wie bestimmt man den
> durchmesser des rotationsparaboloiden am boden und seine
> Höhe unter der bedingung, dass der umbaute raum des
> rotationsparaboloiden ein minimum ist....
also ich habe jetzt die werte in die funktion b - ax² eingesetzt und für
x = 282,8 rausbekommen.
denke ich richtig, ist das jetzt der durchmesser des rot.par. und die zugehörige höhe ist 40 und somit das beispiel gelöst ?????
danke im voraus an euch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo magister,
> also ich denke, ich habe jetzt b und a ausgerechnet.
>
> kann es sein, dass b = 40 ist und a = 0,0005 ist ??
Also, ich habe do a=0,00005 und b=22 raus. Poste doch mal ein paar Zwischenschritte, dann können wir vergleichen.
> b ist doch die höhe der parabel oder ?
Ja, genau. b ist der Achsenabschnitt der Parabel und gleichzeitig ist (0|b) der Scheitelpunkt der Parabel, also der höchste Punkt des Graphen (da dieser nach unten geöffnet ist)
> was ist a ?
-a gibt hier die Öffnungsrichtung und -weite an, und zwar im Vergleich zur Normalparabel [mm] x^2
[/mm]
> was ich noch nicht ganz weiß ist, wie bestimmt man den
> > durchmesser des rotationsparaboloiden am boden und seine
>
> > Höhe unter der bedingung, dass der umbaute raum des
> > rotationsparaboloiden ein minimum ist....
>
>
> also ich habe jetzt die werte in die funktion b - ax²
> eingesetzt und für
> x = 282,8 rausbekommen.
Welche Werte hast du eingesetzt? Du meinst a und b und y? Das könnte man dann so sagen.
Besser ist aber zu sagen, die Schnittstellen der Parabel [mm] $y=b-ax^2$ [/mm] mit der x-Achse sind [mm] x_1=-282,8 [/mm] und [mm] x_2=282,8 [/mm] (habe ich nicht nachgerechnet, da ich ja schon für a und b andere Werte habe).
> denke ich richtig, ist das jetzt der durchmesser des
Nein, das ist der Radius. Der Durchmesser ist der Abstand der beiden Nullstellen, und da beide Nullstellen symmetrisch zueinander liegen, ist der Wert der positiven Nullstelle auch gleichzeitig der Radius und der Durchmesser das Doppelte davon.
> rot.par. und die zugehörige höhe ist 40 und somit das
> beispiel gelöst ?????
Ja, sie ist bis auf unsere Diskrepanz der Werte gelöst.
Hier mal ein Funktionsplot, damit wir uns die Situation besser vorstellen können (ich habe dafür meine Werte für a und b benutzt, die müssen ja nicht richtig sein):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Sa 17.07.2004 | | Autor: | magister |
per eMail von magister erhalten (marc):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo magister,
einen Fehler sehe ich, wo du die NB in die HB einsetzt.
Dort kürzt du folgendermaßen: [mm] $2*\bruch{\cdots}{200^2}=\bruch{\cdots}{100^2}$. [/mm] Das ist nicht richtig, wie diese Rechnung zeigt:
[mm] $2*\bruch{\cdots}{200^2}=2*\bruch{\cdots}{200*200}=\bruch{\cdots}{100*200}\not=\bruch{\cdots}{100^2}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 So 18.07.2004 | | Autor: | magister |
per eMail von magister erhalten:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 So 18.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo magister,
ich muß mich entschuldigen: Dein erstes Ergebnis war richtig, trotz des auf dem Weg dorthin gemachten Kürzungsfehlers.
Ich habe jetzt auch a=0,0005 und b=40 herausbekommen, deine zweite Rechnung ist jetzt vollkommen korrekt.
Sorry für meine Duseligkeit!
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 18.07.2004 | | Autor: | magister |
von magister per eMail erhalten:
hallo marc
kein problem...
eigentlich bin ich jetzt zufrieden, aber ein punkt geht mir nicht ein .
und zwar hat das zylindrische gebäude innerhalb den durchmesser 200 und die höhe 20.
Das passt ja laut der graphik nur rein, wenn der durchmesser 400 ist das es mit der höhe übereinstimmt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 So 18.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo magister,
> von magister per eMail erhalten:
Okay, jetzt sage ich dir auch mal, wie du Bilder in deinen Beitrag einfügen kannst:
Du fügst in deinen Artikel einfach folgendes ein: [img] 1 [/img]
Für ein zweites Bild entsprechend: [img] 2 [/img].
Nach dem Absenden deines Artikels wirst du dann automatisch aufgefordert, die Dateien in den MatheRaum hochzuladen.
Bitte stelle keine Word-Dokumente in den MatheRaum.
> hallo marc
>
> kein problem...
> eigentlich bin ich jetzt zufrieden, aber ein punkt geht
> mir nicht ein .
>
> und zwar hat das zylindrische gebäude innerhalb den
> durchmesser 200 und die höhe 20.
> Das passt ja laut der graphik nur rein, wenn der
> durchmesser 400 ist das es mit der höhe übereinstimmt.
Auch das ist richtig beobachtet, sehr gut!
Hier habe ich leider taenzers Nebenbedingung ungeprüft verwendet, er hat dort aber den Durchmesser mit dem Radius verwechselt, so dass wir jetzt eine Arena mit dem Durchmesser 400m und der Höhe 20m unterbringen können...
So hast du immerhin die Gelegenheit, die richtige Nebenbedingung selbst zu finden und die bisherige Rechnerei als Übung anzusehen 
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 So 18.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Uuups!
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http://www.fet.at/fet/phorum/read.php?f=3&i=282&t=282