f stetig, bijektiv zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 So 04.01.2015 | | Autor: | duduknow |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass durch $f(x) = x - [mm] \frac{x}{|x|}$ [/mm] eine stetige bijektive Abbildung von $[-1, 0) [mm] \cup [/mm] (0, 1)$ gegeben ist, deren Umkehrfunktion aber nicht stetig auf $(-1, 1)$ ist. |
Hi,
ich glaube, dass ich bei dieser Aufgabe nicht verstehe, was wirklich verlangt ist. Meine "Lösung" sieht so aus:
$f$ ist stetig: Es ist [mm] $f\big|_{[-1, 0)}(x) [/mm] = x + 1$ stetig und [mm] $f\big|_{(0, 1)}(x) [/mm] = x - 1$ stetig. Also ist $f$ stetig.
$f$ ist bijektiv: Es ist
[mm] $$f^{-1}:(-1, [/mm] 1) [mm] \rightarrow [/mm] [-1, 0) [mm] \cup [/mm] (0, 1), x [mm] \mapsto \begin{cases}
x - 1 & \text {falls } x \in [0, 1) \\
x + 1 & \text{falls } x \in (-1, 0) \\
\end{cases} [/mm] $$
Denn es gilt [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [-1, 0) [mm] \cup [/mm] (0, 1): [mm] (f^{-1} \circ [/mm] f)(x) = x$ und [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] (-1, 1): (f [mm] \circ f^{-1})(y) [/mm] = y$. Da [mm] $f^{-1}$ [/mm] existiert ist $f$ bijektiv.
[mm] $f^{-1}$ [/mm] ist unstetig in $0$ und damit unstetig in $(-1, 1)$:
[mm] $$\lim_{x \nearrow 0} f^{-1}(x) [/mm] = 1 [mm] \neq [/mm] -1 = [mm] \lim_{x \searrow 0} f^{-1}(x)$$
[/mm]
Ist das zu wenig für die Aufgabe? Ich weiß nicht, was ich hier für Stetigkeit oder Bijektivität mehr zeigen könnte, als das.
Mit freundlichen Grüßen.
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Mir würde das als Argumentation reichen. Möglicherweise wird aber verlangt, [mm]\left( f^{-1} \circ f \right)(x) = x[/mm] und [mm]\left( f \circ f^{-1} \right)(y) = y[/mm] noch näher zu begründen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 So 04.01.2015 | | Autor: | duduknow |
Okay, danke.
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