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Hallo, ich hätte eine Frage. Ich habe einen Würfel mit den Koordinaten A(1,0,-1) und C(4,3,-1) und der Ebene 2x-2y+z=1
Die z-Koordinaten von B und D müssen demnach auch -1 sein, da der Würfel auf einer Ebene liegt.
Wie komme ich aber auf die anderen Eckpunkte (E,F,G,H) und zum Abstand Ursprung zur Raumdiagonale. Wer kann mir da weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Sa 18.11.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
die Aufgabenstellung ist etwas unpräzise, ich nehme an, dass der Würfel auf der gegebenen Ebene liegen soll.
Dann ist Deine Annahme, die z-Koordinate bliebe gleich, falsch. Das wäre nur dann so, wenn die Ebene parallel zur xy-Ebene wäre.
Zunächst einmal gibt es vier solcher Würfel, zwei habe ich Dir mal hingezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die beiden anderen Würfel liegen dann entsprechend auf der anderen Seite der Ebene.
Du musst so rechnen, wie Du den Würfel konstruieren würdest:
- eine Lotebene zur gegebenen Kante durch den einen Eckpunkt
- der Schnitt der Lotebene mit der Würfelebene ist eine Lotgerade zur Kante in der Ebene
- auf dieser Geraden den gleichen Abstand abtragen wie die Länge der Kante (geht am einfachsten, wenn Du den Richtungsvektor normalisierst)
- das gleiche mit dem anderen Eckpunkt, dann hast Du die vier Punkte auf der Ebene.
- Dann machst Du weiter mit Lotgeraden zur Ebene durch die vier Punkte, hier einfach den Abstand abtragen, dann bekommst Du die vier anderen Punkte (also für den Parameter s der Lotgeradengleichung den Abstand einsetzen, vorher Richtungsvektor normalisieren).
Viele Grüße,
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank vorerst für die Antwort. Ich bin aber nicht ganz schlauer geworden.
Der Würfel liegt ja auf der Ebene.
Wie weit ich gekommen bin:
1: z-Berechnen durch einsetzten in die Hautform der Ebenengleichung
2. Mittelpunkt der Diagonalen ermitteln ( Halbe vom Vektor AC)
3. Betrag von AM ermitteln.
4. ...
was mir fehlt ist der Weg Richtungsvektor in Richtung MB , denn wenn ich M+ Einheitsvektor*Betrag von AM ermittle, dann müsste ich doch auf die Koordinate von B kommen.
Irgendwo habe ich die Formel (n X AC) * Betrag AM + M = B
Da komm ich einfach nicht drüber, Gary
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Sa 18.11.2006 | | Autor: | riwe |
der vektor [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] liegt in E und steht senkrecht auf [mm] \overrightarrow{AB}, [/mm] den bekommst du also über das vektorprodukt.
der vektor [mm] \overrightarrow{AE} [/mm] hat die richtung des normalenvektors von E, den mußt du also nur noch auf die richtige länge trimmen.
und die 4 möglichen würfel bekommst du, indem du die vorzeichen entsprechend variierst.
als beispiel:
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{3\\3\\0}\to \vektor{2\\-2\\1}\times\vektor{3\\3\\0}=\vektor{-3\\3\\12}\sim\vektor{-1\\1\\4} [/mm] und auf die länge von [mm]\overrightarrow{AC} [/mm] trimmen: [mm] 18=18\cdot\lambda^{2}\to\lambda=\pm [/mm] 1 [mm] \to C_1/0/1/3) [/mm] und [mm] C_2/2/-1/-5)
[/mm]
usw. usw.
ich habe B UND C verwechselt! siehe meine antwort unten
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Danke, die Eckpunkte B und D habe ich nun. B(3,1,-3) und D(2,2,1)
Dies entspricht auch der Grundfläche des Würfels. Nun muss ich noch nach "oben" um dann den Abstand vom Ursprung zur Raumdiagonale zu finden. Was verbirgt sich da?
Ist da gemein der Abstand von x(0,0,0) zu einem Eckpunkt der Raumdiagonalen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Sa 18.11.2006 | | Autor: | riwe |
wie oben vermerkt, habe ich mich leider verlesen und B und C verwechselt.
der weg bleibt im prinzip der gleiche.
aber: würfellänge a = 3!
und um von A nach B zu kommen, mußt du so vorgehen, skizze!
mit [mm] \vec{n} [/mm] wie oben
[mm] \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\pm\vec{n}+\overrightarrow{AC}=\vektor{1\\0\\-1}+\vektor{-1\\1\\4}+\vektor{3\\3\\0}=\vektor{2\\4\\4} [/mm] bzw. [mm] \vektor{4\\2\\-4}
[/mm]
[mm] \mid\vec{v}\mid=\mid\lambda\vektor{2\\4\\4}\mid=9\to\vec{v}=\vektor{1\\2\\2} [/mm] bzw. [mm] \vec{v}=\vektor{2\\1\\-2} [/mm] und damit hast du [mm] B_1(2/2/1) [/mm] und [mm] B_2(3/1/-3).
[/mm]
und den punkt E bekommst du mit
[mm] \overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\lambda\cdot\vektor{2\\-2\\1}
[/mm]
mit [mm] \lambda [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1
ich hoffe, jetzt stimmt es.
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Danke für die Hilfe. den Würfel konnte ich nun anhand der ermittelten Eckkoordinaten zeichnen. (siehe Bild im Anhang)
Was mir noch fehlt ist der Abstand Ursprung zur Raumdiagonale.
Welche Diagonale (die mit dem kürzesten Abstand) und zu welchem Ursprung. zu 0,0,0 ? Gary
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Sa 18.11.2006 | | Autor: | riwe |
na klar, gibt nur 1 ursprung O(0/0/0), zumindest im koordinatensystem!
das übliche verfahren, an der diagonalen durch A und G(6/1/0):
g: [mm] \vex{x}=\vektor{1\\0\\-1}+t\vektor{5\\1\\1}.
[/mm]
nun legst du eine zu g senkrechte ebene durch O(0/0/0):
E: 5x + y + z = 0
den gemeinsamen (schnitt)punkt S bestimmen durch einsetzen von g in E.
anschließend den abstand d(O;S) berechnen.
um den kleinsten abstand zu bestimmen, wird dir wohl nichts anderes übrig bleiben als alle diagonalen zu betrachten, sind eh nur 4.
bitte schau dir noch einmal meine letzte nachricht an, da habe ich noch ein paar kleinere ungenauigkeiten korrigiert.
übrigens vermute ich, dass es nur 2 solche würfel gibt und nicht 4, da [mm] B_1=D_2 [/mm] und umgekehrt.
schneit es schon bei euch?
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Danke, ich glaube ich hab jetzt die Lösung. Dank deiner Hilfe.
Der Betrag müsste 1,19 sein. (..hast du das auch herausbekommen?)
Die Diagonale AG ist sicher die dem Ursprung am nächsten, da auch der Punkt A nahe am O (0,0,0) liegt. So vermute ich jedenfalls.
Habe dies mit DreiDGeo auch getestet. (siehe Anhang)
Vielen Dank nochmals und es schneit noch nicht. Gestern hatten wir noch 20 Grad, heut sind es nur noch 10. Vielen Dank, Gary aus Bregenz
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Sa 18.11.2006 | | Autor: | riwe |
na klar, gibt nur 1 ursprung O(0/0/0), zumindest im koordinatensystem!
das übliche verfahren, an der diagonalen durch A und G(6/1/0):
g: [mm] \vex{x}=\vektor{1\\0\\-1}+t\vektor{5\\1\\1}.
[/mm]
nun legst du eine zu g senkrechte ebene durch O(0/0/0):
E: 5x + y + z = 0
den gemeinsamen (schnitt)punkt S bestimmen durch einsetzen von g in E.
anschließend den abstand d(O;S) berechnen.
um den kleinsten abstand zu bestimmen, wird dir wohl nichts anderes übrig bleiben als alle diagonalen zu betrachten, sind eh nur 4.
bitte schau dir noch einmal meine letzte nachricht an, da habe ich noch ein paar kleinere ungenauigkeiten korrigiert.
übrigens vermute ich, dass es nur 2 solche würfel gibt und nicht 4, da [mm] B_1=D_2 [/mm] und umgekehrt.
schneit es schon bei euch?
irgendwie spinnt da wieder einmal was!
zu deiner frage, ich habe:
d(AG)=1.1863
d((BH)=2.9837
d(CE)=3.7417
d(D;F)=3.5901
ich habe mir die mühe nur mit einem würfel gemacht, aber wie du siehst, wäre [mm] d(AG_1) [/mm] die gesuchte!
aber meine lieblingsbeschäftigung ist verrechnen.
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Nur noch eine Frage, dann bin ich sicher, dass ich es verstanden habe.
Der Abstand der Raumdiagonalen BH vom Ursrpung beträgt somit 3,57.
Wenn das stimmt, dann habe ich die Sache verstanden.
Anbei noch einmal die Koordinaten:
A(1,0,-1) C(4,3,-1) Ebene: 2x-2y+z=1 Der Würfel liegt auf der Ebene.
gesucht Abstand Ursprung von der Raumdiagonalen BH. Ergebnis: 3,57
Bild im Anhang
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Sa 18.11.2006 | | Autor: | riwe |
ich habe andere werte, s.o., schick mir mal die koordinaten von B und H
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 So 19.11.2006 | | Autor: | goeba |
Hallo,
wie schon gesagt, habe ich das am Anfang falsch gemacht mit den Würfeln (habe Punkte A und B statt A und C genommen).
Hier nochmal eine korrekte Zeichnung, ich habe den gleichen Wert für den Abstand raus wie Gary:
[Dateianhang nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 So 19.11.2006 | | Autor: | goeba |
Hallo,
es gibt tatsächlich nur zwei Würfel. Ich habe leider ungenau gelesen: Die gegebenen Ecken waren ja A und C, also gegenüberliegende Punkte im Basisquadrat.
Viele Grüße,
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 So 19.11.2006 | | Autor: | riwe |
hallo andreas,
da hatten wir am anfang wohl den selben "lesefehler" , B statt C.
werner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 So 19.11.2006 | | Autor: | GaryFisher |
Vielen Dank an euch beide. Ihr habt mir sehr geholfen. Danke.
Grüße aus dem Ländle, Gary
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