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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f: [mm] R^n [/mm] -> R
x-> [mm] a^T [/mm] x
wobei a [mm] \in R^n [/mm] gegeben ist
a) wann heißt allgemein eine Funktion f: [mm] R^n [/mm] -> R stetig?
b) Zeigen sie die Stetigkeit von f anhand der Definition! Hintweis(||v^tw|| [mm] \le [/mm] ||v|| ||w||)
c)Zeigen Sie, dass für beliebiges [mm] x_0 [/mm] alle Richtungsableitungen existieren! Verwenden Sie die Definition der Richtungsableitung!
d) Wie lautet die Hesse-Matrix |
a) Eine Funktion im mehrdimensionalen ist stetig, wenn [mm] \limes_{{x,y}\rightarrow\ {x_0, y_0}} [/mm] f(x,y) = [mm] f(x_0, y_0) [/mm] für alle x,y gilt
b) hier hab ich keine ahnung wie ich vorgehen soll
c) Richtungsableitung:
[mm] \bruch{df}{d \vec{v}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{|\vec{v}|} [/mm] * grad f * [mm] \vec{v}
[/mm]
also ich hab folgendes versucht:
x -> [mm] a^T [/mm] x
ist ja dasselbe wie
x -> [mm] \vektor{a_1 \\ a_2 \\ ... \\ a_n} [/mm] * x
so wie ich das verstehe ist das eine funktion im mehrdimensionalem, die aber nur von x abhängig ist.
also hab ich mir gedacht die funktion sieht dann so aus:
f(x) = [mm] \wurzel{a_1^2*x^2 + ... + a_n^2*x^2} [/mm]
der grad f ist somit:
[mm] \vektor{ 0,5 * (a_1^2*x^2 + ... + a_n^2*x^2) * (a_1^2*2x + ... + a_n^2*2x) \\ 0 \\ ... \\ 0}
[/mm]
Die Richtungsableitung lautet dann:
[mm] \bruch{1}{|\vec{v}|} [/mm] * 0,5 * [mm] (a_1^2*x^2 [/mm] + ... + [mm] a_n^2*x^2) [/mm] * [mm] (a_1^2*2x [/mm] + ... + [mm] a_n^2*2x [/mm] ) * [mm] v_1
[/mm]
somit gibt es für belieibe [mm] x_0 [/mm] eine Richtungsableitung da alle x [mm] \in [/mm] R zugelassen sind
d) ich frag mich ob hier die Hesse-Matrix für diese funktion verlangt wird oder nur die allgemeine, weil wenn für die funktion, dann erscheint mir dies ziemlich umständlich, als klausuraufgabe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Do 02.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei die Funktion
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> f: [mm]R^n[/mm] -> R
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> x-> [mm]a^T[/mm] x
>
> wobei a [mm]\in R^n[/mm] gegeben ist
>
> a) wann heißt allgemein eine Funktion f: [mm]R^n[/mm] -> R stetig?
> b) Zeigen sie die Stetigkeit von f anhand der Definition!
> Hintweis(||v^tw|| [mm]\le[/mm] ||v|| ||w||)
> c)Zeigen Sie, dass für beliebiges [mm]x_0[/mm] alle
> Richtungsableitungen existieren! Verwenden Sie die
> Definition der Richtungsableitung!
> d) Wie lautet die Hesse-Matrix
> a) Eine Funktion im mehrdimensionalen ist stetig, wenn
> [mm]\limes_{{x,y}\rightarrow\ {x_0, y_0}}[/mm] f(x,y) = [mm]f(x_0, y_0)[/mm]
> für alle x,y gilt
>
> b) hier hab ich keine ahnung wie ich vorgehen soll
naja, was Du bei (a) schreibst, wäre ja so erstmal nur für Funktionen [mm] $\IR^2 \to \IR$ [/mm] sinnvoll. Ähnliches kann man natürlich auf für Funktionen [mm] $\IR^n \to \IR$ [/mm] hinschreiben.
Aber hier wird der [mm] $\IR^n$ [/mm] offensichtlich als normierter Raum betrachtet, das ist deswegen interessant, weil man dann mit ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.10.2 von hier arbeiten kann; zudem sind alle Normen auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] äquivalent, vgl. etwa hier.
Damit läßt sich bei (a) auch die Stetigkeit dann (wenn man Deine Version für Funktionen [mm] $\IR^n \to \IR$ [/mm] - wobei der [mm] $\IR^n$ [/mm] mit einer Norm [mm] $\|.\|$ [/mm] versehen sei - verallgemeinert; also nicht nur für [mm] $n=2\,$) [/mm] äquivalent definieren als:
$$f: [mm] \IR^n \to \IR$$
[/mm]
ist genau dann stetig in [mm] $x^{(0)}=(x^{(0)}_1,x^{(0)}_2,...,x^{(0)}_n) \in \IR^n$, [/mm] wenn für alle Folgen [mm] $(x^{(m)})_m$ [/mm] (mit [mm] $x^{(m)}=(x^{(m)}_1,x^{(m)}_2,...,x^{(m)}_n) \in \IR^n$ [/mm] für $m [mm] \in \IN$) [/mm] mit [mm] $\|x^{(m)}-x^{(0)}\|\underset{m \to \infty}{\longrightarrow}0$ [/mm] auch
[mm] $$|f(x^{(m)}-f(x^{(0)})| \underset{m \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] 0$$
folgt.
Anders gesagt:
Wenn [mm] $|f(x)-f(x^{(0)})| \to [/mm] 0$ bei [mm] $\|x-x^{(0)}\| \to [/mm] 0$ gilt.
Und damit sollte Dir auch Teil (b) nun gelingen:
Gelte [mm] $\|x [/mm] - [mm] x^{(0)}\| \to [/mm] 0$ (dabei: $x [mm] \in \IR^n$), [/mm] wobei [mm] $x^{(0)} \in \IR^n$ [/mm] beliebig, aber fest sei. Zu zeigen ist nun, dass dann:
[mm] $$|f(x)-f(x^{(0)})| \to [/mm] 0$$
folgt.
Jetzt gilt aber (und der Hinweis ist schlecht geschrieben, dort würde besser stehen: [mm] $|v^t [/mm] w| [mm] \le \|v\|\;\|w\|$)
[/mm]
[mm] $$|f(x)-f(x^{(0)})|=|a^t(x-x^{(0)})|\,.$$
[/mm]
Verwende nun den Hinweis und Du gelangst (wegen [mm] $\|x-x^{(0)}\| \to [/mm] 0$) zu dem, was zu zeigen ist. (Bemerkung: Hier gilt übrigens [mm] $\|x-x^{(0)}\| \to [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \to x^{(0)}\,,$ [/mm] wobei das letzte im 'metrischen Sinne', also im Sinne der von der Norm induzierten Metrik, zu verstehen ist)).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu c und d)
Das
$ [mm] \bruch{df}{d \vec{v}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{|\vec{v}|} [/mm] $ * grad f * $ [mm] \vec{v} [/mm] $
ist nicht die Def. der Richtungsableitung !!
Das ist eine Folgerung im Falle der Differenzierbarkeit von f. Schau noch mal nach !
f und den Gradienten von f hast Du völlig vermurkst !
Mit $x = [mm] (x_1, [/mm] ... , [mm] x_n)^T$ [/mm] und $a [mm] =(a_1, [/mm] ..., [mm] a_n)^T$ [/mm] ist doch
$f(x) = [mm] a_1x_1+ ...+a_nx_n$
[/mm]
Also ist
[mm] f_{x_j} [/mm] = [mm] a_j [/mm] für j = 1,2, ..., n
Damit ist die Hesse-Matrix die Nullmatrix
FRED
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