gebrochen-rationale Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Di 21.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
[mm] f(x)=\br{|x^2+2x-8|-5}{x-1} [/mm] für [mm] x\in ]-5,3[\setminus\{1\}
[/mm]
"In diesem Bereich ist $f$ ein Quotient aus stetigen Funktionen, wobei der
Nenner keine Nullstelle hat, also ist $f$ nach 7.3. stetig."
Ich verstehe das nicht, da ist doch eine Polstelle im Nenner, an dieser ist die Funktion doch dann unstetig.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Di 21.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo gotoxy!
Eine Stelle, welche für eine Funktion gar nicht definiert ist (wie hier [mm] $x_0 [/mm] \ = \ +1$ ), kann keinerlei Eigenschaften haben. Damit kann sie dort weder stetig noch unstetig sein.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 21.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Weil der Punkt vorher "weggenommen" wurde, wo die Funktion unstetig sein könnte, ist die Funktion jetzt stetig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Di 21.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo gotoxy86!
> Weil der Punkt vorher "weggenommen" wurde, wo die Funktion
> unstetig sein könnte, ist die Funktion jetzt stetig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hiho,
ein schönes Beispiel ist da immer:
[mm] $\text{sgn}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} -1, & \mbox{für } x < 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \\ 1, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}$
[/mm]
Die Vorzeichenfunktion aka Signum-Funktion ist bekanntermaßen unstetig. Lässt man nun aber die Null da weg und betrachtet nur:
[mm] $\overline{\text{sgn}}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} -1, & \mbox{für } x < 0 \\ 1, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}$
[/mm]
so ist die Funktion stetig.
Kannst es ja gerne mal beweisen 
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich hatte damit auch mal Probleme.
Dann habe ich mir die Definition genau angeguckt!
Eine Abbildung [mm] f:D\to\IR, [/mm] wobei [mm] D\subseteq\IR, [/mm] heißt stetig in [mm] $x_0\in [/mm] D$ falls folgendes gilt:
Für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] \delta>0, [/mm] sodass [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] D$ mit [mm] |x-x_0|<\delta.
[/mm]
Die Abbildung $f$ heißt stetig, oder stetig auf $D$, falls sie für alle [mm] $x\in [/mm] D$ stetig ist.
Jetzt das Beispiel, welches mir alles klar gemacht hat.
Sei folgende Abbildung gegeben:
[mm] g:\IR\setminus\{0\}\longrightarrow\IR\setminus\{0\}, x\longrightarrow\frac{1}{x}
[/mm]
Die Zahl $0$ ist kein Element des Definitionsbereichs von $g$ - kurz: [mm] 0\notin\IR\setminus\{0\}.
[/mm]
Dann kann man für alle [mm] x\in\IR\setminus\{0\} [/mm] mit dem [mm] \epsilon-\delta-Kriterium [/mm] die Stetigkeit zeigen.
Damit existiert keine unstetige Stelle [mm] x_0\in\IR\setminus\{0\} [/mm] und damit ist $g$ stetig.
$g$ kann man übrigens auch nicht ohne Absätzen des Stiftes zeichnen.
Ich hoffe, dass ich dir damit helfen konnte.
Gruß
DieAcht
|
|
|
|
