gleichmäßige Konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:56 Mo 12.11.2012 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Es sei [mm] f_{n}: [/mm] [a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine Folge differenzierbarer Funktionen, sodass der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(c) [/mm] für ein c [mm] \in [/mm] [a,b] existiert und die Folge der Ableitungen [mm] (f^{'}_{n}) [/mm] gleichmäßig auf [a,b] gegen eine Funktion g:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] konvergiert.
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (f_{n}) [/mm] gleichmäßig auf [a,b] gegen eine differenzierbare Funktion f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] konvergiert mit Ableitung [mm] f^{'} [/mm] = g. |
Hey Leute,
hab ein Problem mit dieser Aufgabe.
Damit ich den in der Vorlesung vorgestellten Vererbungssatz anwenden kann, muss ich zuerst zeigen, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.
Habe aber keine Ahnung wie ich da anfangen soll, da keine konkrete Folge gegeben ist.
Ansonsten könnte man mit dem [mm] \varepsilon [/mm] - Kriterium o.Ä. argumentieren...
Die ganzen Bedingungen, wie z.B. dass alle [mm] f_{n} [/mm] diff'bar auf [a,b] sein müssen und [mm] f^{'}_{n} [/mm] gleichmäßig auf [a,b] gegen g(x) konvergiert, sind ja bereits erfüllt...
Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vorweg: ich gebe Dir einen Link mit dem Beweis der Aufgabe. Vielleicht
machst Du's so, dass Du den Beweis einfach einmal liest, das ganze
weglegst und dann versuchst, dass alles nochmal selbst zusammen
zu bekommen.
Ansonsten - wenn Du keine Komplettlösung haben willst, lies den Link
nicht durch und warte auf weitere Antworten:
![[]](/images/popup.gif) hier: Satz 15.14
Damit andere auch "mit Tipps dienen können", lasse ich die Frage mal auf
teilw. beantwortet!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mo 12.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo s1mn,
sind die [mm] $f_n$ [/mm] wirklich nur als differenzierbar und nicht als stetig differenzierbar vorausgesetzt?
Falls sie stetig differenzierbar sind und du schon etwas von Integralen unter gleichmäßiger Konvergenz weißt, kannst du die Aufgabe darauf zurückführen.
Viele Grüße
Tobias
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:25 Di 13.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Hallo s1mn,
>
>
> sind die [mm]f_n[/mm] wirklich nur als differenzierbar und nicht als
> stetig differenzierbar vorausgesetzt?
>
> Falls sie nur differenzierbar sind, dürfte der Link von
> Marcel nicht weiterhelfen.
wie kommst Du darauf? Im Skript steht:
Satz 15.14 Es sei $[a, b] [mm] \subset [/mm] [mm] \IR$ [/mm] und die Funktionen [mm] $f_n [/mm] : [a, b] [mm] \to \IR$ [/mm]
seien differenzierbar auf $[a, [mm] b]\,.$ [/mm] Ferner existiere ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a, b]$ so,
dass [mm] $(f_n(x_0))_n$ [/mm] konvergiert und die Folge [mm] $(f_n)$ [/mm] sei gleichmäßig
konvergent auf $[a, [mm] b]\,.$ [/mm] Dann gilt ...
Da steht NIRGENDS, dass man die stetige Differenzierbarkeit der [mm] $f_n$
[/mm]
brauche. Hast Du in den falschen Satz geguckt?
(Zumal der Satz schon fast wortwörtlich wie in der Aufgabe formuliert ist,
bis auf ein paar Kleinigkeiten, die aber inhaltlich nichts anderes sind...)
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 08:47 Di 13.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , ich weiß auch nicht, wie mir das passieren konnte. Ich muss wohl "seien differenzierbar" als "stetig differenzierbar" gelesen haben...
Viele Grüße
Tobias
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 17:53 Di 13.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Hallo Marcel,
>
> , ich weiß auch nicht, wie mir das passieren
> konnte. Ich muss wohl "seien differenzierbar" als "stetig
> differenzierbar" gelesen haben...
oder Du wolltest das "nicht" nicht schreiben ^^
Kein Problem!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 14.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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