größte Fläche < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Hallo,
habe folgendes Problem:
Ich suche den Punkt auf dem Graphen einer e-Funktion,der den größten Flächeninhalt eines Rechecks zulässt.
Ich weiss hierbei nicht welchen Ansatz ich da brauche.
Hat da jemand vielleich einen Tip
Danke Beliar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich nehme mal an, dass der eine Eckpunkt des Rechtecks im Ursprung liegt, und der andere Eckpunkt auf dem Punkt des Graphen. Mach dir mal eine Skizze. Was weist du dann, wenn der Punkt P(x,f(x)) lautet, wie groß dann der Flächeninhalt des Rechtecks ist? Wie groß ist dann die eine Seite (die parallel zur x-Achse ist), und wie groß ist dann die andere Seite, die parallel zur y-Achse ist?
Was weist du dann über die Funkiton des Flächeninhaltes? Wenn du diese Funktion A(x) dann aufgestellt hast, kannst du dann ja die Differentialrechnung drauf loslassen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Also,ich kann ja den Punkt auf dem Graphen verschieben,und mit den Werten arbeiten. Ich würde eine Stammfunktion bilden(haben wir noch nie gemacht)und dann mit den Werten durch einsetzen Raten. Gibts da nicht ein Schema für?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Bist du dir ganz sicher, dass das Rechteck zwischen (0|0) und [mm] (x|e^x) [/mm] mit [mm] x\in\IR^{+} [/mm] aufgespannt werden soll? Das wäre ja durch kurzes Nachdenken nicht ganz so schwer zu lösen bei ner Funktion ohne Extrema/Wendestellen/Asymptoten...
Ich hielte es als Aufgabe für sinnvoller, den Eckpunkt im negativen Bereich suchen zu lassen.
Grüße
Oli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Beliar |
So, jetzt von vorn. Der Punkt liegt auf dem Graphen
von f = xe^(-x+1). Durch den Punkt werden Parallen zu den Koordinatenachsen gebildet, die zusammen mit den Koordinatenachsen ein Rechteck bilden. Und jetzt suche ich das größtmögliche Rechteck.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mo 18.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zeichne irgendeines der Rechtecke. dann kannst du die Länge und Breite ablesen.
jetzt nimmst du nicht gerade bei x= 1 sondern an ner allgemeinen Stelle x1 die Parallele zur y-Achse. wie lang, wie breit ist jetzt dein Rechteck? Multipl. Länge mal Breite, Dann hast du die Fläche. darin steckt noch x1, wie findet man jetzt den größt möglichen Wert der Flächeninhaltsafunktion?
(das ganze hat sicher nix mit Stammfkt. zu tun!)
Gruss leduart.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Dann schreib doch gleich, dass es keine einfache [mm] e^x-Funktion [/mm] ist ;) Dennoch kannste meine Antwort von gerade als Tipp sehen... Der eine Punkt ist (0|0), der andere (x|?)? Und aus zwei Punkten kannst du bestimmt eine Funktion A(x) bestimmen.
Aber ich muss jetzt nicht alles von leduart wiederholen...
Grüße
Oli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Wenn ich das richtig verstehe dann sind [mm] P_{1}(0;0) [/mm] und [mm] P_{2}(x;e^{-x+1} [/mm] sozusagen meine Bedingungen. Aus diesen Bedingungen erstelle ich jetzt eine Funktion 2.Grades. Und musste dann verschiedene x-Wert ausprobieren um meine gr.Fläche zu bekommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Hi! Die zweite y-Koordinate müsstest du noch etwas ändern... Was kommt denn wohl als y raus, wenn ich in f(x) x einsetze? ;)
Und habt ihr schon Ableitungen durchgenommen?
Grüße
Oli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Ja haben wir.Bin jetzt in der Abi Vorbereitung,wir wiederholen jetzt alles kann mich aber leider nicht erinnern das schonmal gerechnet zu haben.Bin zur Zeit überfragt was y ist. Werde gleichmal mit dem rechnen anfangen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Hi!
Du kannst mir nicht sagen, was für y rauskommt, wenn ich x in f(x) einsetze? Ich bitte dich ;)
Du musst doch um den Maximalwert von A herauszubekommen einfach A'(x) bilden und gleich Null setzen.
Grüße
Oli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Di 19.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Kann ich das ganze nicht auch so lösen:
[mm] A_{max}=x*(x*e^{-x+1} [/mm] als Zielfunktion
[mm] A_{max}=x^2*e^{-x+1}
[/mm]
dann das ganze ableiten, die erste Ableitung null setzen
und dann denn Punkt bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Di 19.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Beliar!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So geht es ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 19.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Die Ableitung:
[mm] f(x)=x^2*e^{-x+1}
[/mm]
f'(x)= 2*e^(-x+1) + [mm] x^2*(-1)*e^{-x+1}
[/mm]
f'(x)= [mm] e^{-x+1}*(-x^2+2)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Di 19.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Beliar!
Du hast hier die Teilableitung von [mm] $x^2$ [/mm] falsch ermittelt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Di 19.02.2008 | | Autor: | Beliar |
aber wenn ich [mm] x^2 [/mm] ableite bleit doch nur die 2 stehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Di 19.02.2008 | | Autor: | Beliar |
o.k.dann hätte ich f'(x)= [mm] e^{-x+1}*(-x^2+2x) [/mm] im Angebot.
das müsste jetzt aber richtig sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Di 19.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Beliar!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun stimmt's ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Di 19.02.2008 | | Autor: | Beliar |
jetzt noch schnell die zweite:
f'(x)= [mm] e^{-x+1}*(-x^2+2x)
[/mm]
f''(x)=(-2x+2)*e^(-x+1) + [mm] (-x^2+2x)*(-1)*e^{-x+1}
[/mm]
f''(x)= [mm] e^{-x+1}*(x^2-4x+2)
[/mm]
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Hallo, korrekt so, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Hallo, hoffe das ich heute mit der Aufgabe fertig bin. Also gesucht ist ja der Punkt auf dem Graphen von f.
[mm] f(x)=x*e^{-x+1}der [/mm] das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt zulässt.
Dazu habe ich diese Fkt. [mm] A_{max}=x*f(x)also
[/mm]
[mm] A_{max}=x^2*e^{-x+1}
[/mm]
A'(x) [mm] =e^{-x+1}*(-x^2+2x)
[/mm]
[mm] A''(x)=e^{-x+1}*(x^2-4x+2) [/mm] jetzt suche ich die Extrema.
Setze erste Ableitung = null (notwendige Bedingung)
[mm] e^{-x+1}*(-x^2+2x)=0 [/mm] nehme ich mal (-1)
[mm] x^2-2x=0 [/mm] da [mm] e^x [/mm] nicht null
und bekomme [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=2
[/mm]
zweite Ableitung [mm] \not=0
[/mm]
[mm] A''(x)=e^{-0+1}*(0^2-4*0+2)und [/mm] bekomme 5,436(alsoTp)
[mm] A''(x)=e^{-2+1}*(2^2-4*2+2)und [/mm] bekomme -4,528(alsoHp)
da ich ja das größte Rechteck brauche mache ich mit (2) weiter.
Ich setzt 2 in meine Ausgangsfunktion ein,
[mm] A_{max}=x^2*e^{-2+1} [/mm] ist dan 1,471
dann wäre das der Punkt P(2;1,471)für mein Großes Rechteck. Wenn ich aber auf den Graphen schaue liegt der Punkt nicht darauf. Was habe ich da falsch gemacht?Oder kommt die 2 in die Fkt. f dann würds passen, aber warum in die?
Danke für jeden Hinwiss
Beliar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mi 20.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du bist einfach immer eins zu schnell! d.h. auch zu wenig überlegen.
Wenn du x in A(x) einsetzt kriegst du natürlich den Flächeninhalt des Rechtecks raus. Wo musst du x wohl einsetzen um den Punkt auf der Kurve zu finden??
Und hättest du da wirklich nicht ohne uns drauf kommen können?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Doch ja, aber da war es schon zu spät. Also war das alles richtig? und kann ich A(max) Zielfunktion nennen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mi 20.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
A(x) ist die Zielfunktion. [mm] A_{max} [/mm] ist ihr Wert am maximum. keine Funktion!
Gruss leduart
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm] $x^2$ [/mm] ergibt abgeleitet gemäß der 
Potenzregel