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| Aufgabe | Die n-te harmonische Summe [mm] H_{n} [/mm] ist für eine Natürliche Zahl [mm] n\ge1 [/mm] definiert durch
[mm] H_{n}:= \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}
[/mm]
a) Zeigen Sie: Für alle nat. Zahlen [mm] m\ge1 [/mm] gilt:
[mm] H_{2^{m}} \ge 1+\bruch{m}{2}
[/mm]
b) Zeigen Sie, daß für alle nat. Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}H_{k}= (n+1)H_{n} [/mm] -n |
Hallo, ich sitze mal wieder an eine Hausaufgabe, komme aber nicht zum Ergebnis. Ich wollte die Beweise durch Induktion machen, vielleicht wisst ihr noch was geschickteres.
Hier erst mal mein Lösungsansatz:
a) Der IA (Induktionsanfang) ist klar. Für m=1 sind beide Seiten gleich.
(IB) [mm] H_{2^{m+1}} \ge 1+\bruch{m+1}{2}
[/mm]
[mm] H_{2^{m+1}} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2^{m+1}}+\summe_{k=1}^{2^{m}}\bruch{1}{k} [/mm]
[mm] \ge \bruch{1}{2^{m+1}}+1+\bruch{m+1}{2}
[/mm]
Lasse ich jetzt [mm] \bruch{1}{2^{m+1}} [/mm] weg, muss ich ja ein > statt [mm] \ge [/mm] schreiben.
Das ist aber doch nicht richtig.
Kann mir jemand sagen, wo meine Rechnung falsch ist oder was ich übersehen habe?
Nun zu b) denn da geht es auch nicht weiter:
Der IA ist wieder richtig, denn 1=1
(IB) [mm] \summe_{k=1}^{n+1}H_{k} [/mm] = [mm] (n+2)H_{n+1}-(n+1)
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}H_{k} [/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n}H_{k} [/mm] + [mm] H_{n+1} [/mm]
= [mm] (n+1)H_{n}-n+H_{n+1}
[/mm]
= [mm] (n+1)\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k} [/mm] -n + [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
= [mm] (n+2)\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] - n
Jetzt müsste ich [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] zu [mm] H_{n+1} [/mm] addieren, aber die (n+2) stören ja. Also muss ich das irgendwie ausklammern.. oder so. Und aus -n müsste noch -(n+1) werden.
Hier komme ich nicht weiter.
Hoffe ihr könnte mir helfen.
Vielen Dank schonmal,
Sara
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> Die n-te harmonische Summe [mm]H_{n}[/mm] ist für eine Natürliche
> Zahl [mm]n\ge1[/mm] definiert durch
>
> [mm]H_{n}:= \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: Für alle nat. Zahlen [mm]m\ge1[/mm] gilt:
>
> [mm]H_{2^{m}} \ge 1+\bruch{m}{2}[/mm]
>
> b) Zeigen Sie, daß für alle nat. Zahlen [mm]n\ge1[/mm] gilt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}H_{k}= (n+1)H_{n}[/mm] -n
> a) Der IA (Induktionsanfang) ist klar. Für m=1 sind beide
> Seiten gleich.
>
> (IB) [mm]H_{2^{m+1}} \ge 1+\bruch{m+1}{2}[/mm]
>
> [mm]H_{2^{m+1}}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}[/mm]
Hallo,
[mm]H_{2^{m+1}}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{2^m}\bruch{1}{k}+\summe_{k=2^m+1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}
[/mm]
Ich hoffe, daß es nützt, ich habe nicht weitergerechnet.
>
>
> Nun zu b) denn da geht es auch nicht weiter:
>
> Der IA ist wieder richtig, denn 1=1
>
> (IB) [mm]\summe_{k=1}^{n+1}H_{k}[/mm] = [mm](n+2)H_{n+1}-(n+1)[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}H_{k}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=1}^{n}H_{k}[/mm] + [mm]H_{n+1}[/mm]
> = [mm](n+1)H_{n}-n+H_{n+1}[/mm]
hier steuern wir nun unbarmherzig aufs Ziel zu:
[mm] =(n+2)H_{n+1}-(n+1)H_{n+1}+(n+1)H_n-n
[/mm]
[mm] =(n+2)H_{n+1}-(n+1)(H_{n+1}-H_n)-n
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
erst mal vielen Dank für deine Antwort. Vielleicht kannst du mir noch weiter helfen.
Bei a) komme ich auch mit deiner Hilfe nicht weiter, denn
[mm] \summe_{k=2^m+1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}=\bruch{1}{2^{m+1}}
[/mm]
oder?
zu b)
deine Umformungen verstehe ich, und die machen auch Sinn, aber ich komme noch nicht weiter.
denn in der letzten Zeile:
[mm] (n+2)H_{n+1}-(n+1)(H_{n+1})H_n-n
[/mm]
müsste gelten [mm] (n+1)(H_{n+1})H_n=1 [/mm] damit die Induktionsbehauptung stimmt. Und da weiß ich nicht wie ich das zeigen soll.
>
> Hallo,
>
> [mm]H_{2^{m+1}}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=1}^{2^m}\bruch{1}{k}+\summe_{k=2^m+1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}[/mm]
>
> Ich hoffe, daß es nützt, ich habe nicht weitergerechnet.
>
>
> >
> >
> > (IB) [mm]\summe_{k=1}^{n+1}H_{k}[/mm] = [mm](n+2)H_{n+1}-(n+1)[/mm]
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{n+1}H_{k}[/mm]
> > = [mm]\summe_{k=1}^{n}H_{k}[/mm] + [mm]H_{n+1}[/mm]
> > = [mm](n+1)H_{n}-n+H_{n+1}[/mm]
>
> hier steuern wir nun unbarmherzig aufs Ziel zu:
>
> [mm]=(n+2)H_{n+1}-(n+1)H_{n+1}+(n+1)H_n-n[/mm]
> [mm]=(n+2)H_{n+1}-(n+1)(H_{n+1})H_n-n[/mm]
>
> Gruß v. Angela
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> zu b)
> deine Umformungen verstehe ich, und die machen auch Sinn,
> aber ich komme noch nicht weiter.
> denn in der letzten Zeile:
Die muß richtig heißen (ist inzwischen in meiner Antwort korrigiert):
[mm] (n+2)H_{n+1}-(n+1)(H_{n+1}-H_n)-n
[/mm]
Nun überleg, was [mm] H_{n+1}-H_n [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Sa 04.11.2006 | | Autor: | kampfsocke |
[mm] H_{n+1}-H_{n}=\bruch{1}{n+1} [/mm] und damit ist die Behauptung gezeigt.
Supi, Vielen Dank
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$ [mm] H_{2^{m+1}} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k} [/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{2^m}\bruch{1}{k}+\summe_{k=2^m+1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{2^m}\bruch{1}{k}+(\bruch{1}{2^m+1}+\bruch{1}{2^m+2}+\bruch{1}{2^m+3}+...+\bruch{1}{2^m+2^m})
[/mm]
(beachte nun, daß [mm] 2^m+2^m=2*2^m=2^{m+1}ist [/mm] - ich habe es mehr als einmal im Leben vergessen...)
Du hast in der Klammer [mm] 2^m [/mm] Summanden, und jeder ist [mm] \ge \bruch{1}{2^m+2^m}=\bruch{1}{2^{m+1}}.
[/mm]
Dies und die Induktionsvoraussetzung beachtend kannst Du abschätzen und bist nahezu am Ziel.
Gruß v. Angela
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> $ [mm]H_{2^{m+1}}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}[/mm]
> [mm]=\summe_{k=1}^{2^m}\bruch{1}{k}+\summe_{k=2^m+1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}[/mm]
> =
> [mm] \underbrace{\summe_{k=1}^{2^m}\bruch{1}{k}}_{\ge1+\bruch{m}{2}}+\underbrace{(\bruch{1}{2^m+1}+\bruch{1}{2^m+2}+\bruch{1}{2^m+3}+...+\bruch{1}{2^m+2^m})}_{\le\bruch{2^{m}}{2*2^{m}}}
[/mm]
jetzt nur noch kürzen, und es würde eigentlich dastehen, wenn die Ungleichheitszeichen nicht stören würden.
Was kann ich denn damit machen?
Ganz vielen Dank für deine Hilfe!
//Sara
>
(beachte nun, daß
> [mm]2^m+2^m=2*2^m=2^{m+1}ist[/mm] - ich habe es mehr als einmal im
> Leben vergessen...)
>
> Du hast in der Klammer [mm]2^m[/mm] Summanden, und jeder ist [mm]\le \bruch{1}{2^m+2^m}=\bruch{1}{2^{m+1}}.[/mm]
>
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> > $ [mm]H_{2^{m+1}}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}[/mm]
> >
> [mm]=\summe_{k=1}^{2^m}\bruch{1}{k}+\summe_{k=2^m+1}^{2^{m+1}}\bruch{1}{k}[/mm]
> > =
> >
> [mm]\underbrace{\summe_{k=1}^{2^m}\bruch{1}{k}}_{\ge1+\bruch{m}{2}}+\underbrace{(\bruch{1}{2^m+1}+\bruch{1}{2^m+2}+\bruch{1}{2^m+3}+...+\bruch{1}{2^m+2^m})}_{\le\bruch{2^{m}}{2*2^{m}}}[/mm]
>
> jetzt nur noch kürzen, und es würde eigentlich dastehen,
> wenn die Ungleichheitszeichen nicht stören würden.
>
> Was kann ich denn damit machen?
Hier das Vorzeichen umdrehen.
[mm] \underbrace{(\bruch{1}{2^m+1}+\bruch{1}{2^m+2}+\bruch{1}{2^m+3}+...+\bruch{1}{2^m+2^m})}_{\le\bruch{2^{m}}{2*2^{m}}}
[/mm]
Es war falsch ... Es ist doch [mm] \bruch{1}{2*2^{m}}\le [/mm] die anderen Bruche in der Klammer. Also ist die Klammer größer als [mm] \bruch{2^{m}}{2*2^{m}}.
[/mm]
Dann stimmt alles.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Sa 04.11.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Jetzt ist alles klar.
Vielen Dank, und einen schönen Abend noch.
Viele Grüße,
Sara
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