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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 So 27.05.2007 | | Autor: | Jenny85 |
Hallo!
habe da mal eine Frage!
Ich habe folgende zwei Mengen gegeben [mm] \sum:=\{z \in \IC|| Re(z)-3|+|Im(z)-2|<5\} [/mm] und [mm] U_{k}:=\{z \in \IC ||z-(1+ki)|>3/2\} [/mm] für k= 0,1,2,3 . Ich soll angeben, für welche k jede auf dem Durchschnitt der beiden Mengen definierte holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt.
Ich hatte dazu folgenede äquivalente Aussaagen. 1) M ist einfach zusammenhängend 2) Jede auf M holomorphe Funktion f besitzt eine Stammfunktion.
Ich müsste somit doch nur zeigen, dass der Durchschnitt der beiden Mengen einfach zusammenhängend ist.
Habe leider nicht so die Ahnung, was der Durchschnitt ist und wie ich genau einfach zusammenhängend zeige.
Würde mich über Hilfe sehr freuen
Jenny
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Am besten du malst einmal alle Menge auf. [mm] $\Sigma$ [/mm] ist ein Rhombus, Die [mm] $U_k$ [/mm] sind gelochte Ebenen, also nicht einfach-zusammenhaengend. Kann sein, dass einer dieser Loecher komplett im Rhombus liegt. Das wuerde natuerlich bedeuten, dass der Schnitt nicht eifach-zshgd. ist.
I.A. bedeutet einfach-zshgd., dass geschlossene Kurven homotop zu Ein-Punkt-Wegen sind. Gepunktete Mengen im [mm] $\IR^2$ [/mm] sind nie einfach-zshgd.
LG Kornfeld
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 27.05.2007 | | Autor: | Jenny85 |
Hallo!
Wir hatten folgende Eckpunkte für die erste Menge [mm] \sum [/mm] raus
(0,0), (6,0), (0,4),(6,4) (Die Punkte selbst liegen dann natürlich nicht mehr in der Menge, haben wir nur als Zeichenhilfe genutzt). Hätten also ein rechteck. Die Löcher der Ebenen der zweiten Menge liegen dann nicht mehr vollständig in der ersten Menge. Damit könnten wir dann ja theoretisch sagen, dass der Durchschnitt einfach zusammenhängend ist. Wie kann ich dass denn jetzt noch schön aufschreiben???
Liebe Grüße
Jenny
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> Hallo!
> Wir hatten folgende Eckpunkte für die erste Menge [mm]\sum[/mm]
> raus
> (0,0), (6,0), (0,4),(6,4) (Die Punkte selbst liegen dann
> natürlich nicht mehr in der Menge, haben wir nur als
> Zeichenhilfe genutzt). Hätten also ein rechteck.
[mm] $\Sigma$ [/mm] kann kein Rechteck sein (zumindest kein Achsenparalleles). Die Punkte, die du nennst liegen ganz sicher in der Menge und bilden auch keine Eckpunkte. Ich erklaere es mal so: die Normbaelle zur Norm [mm] $\parallel (x,y)\parallel_1=\vert x\vert [/mm] + [mm] \vert y\vert$ [/mm] sind konvexe symmetrische Mengen, das heisst, wenn $(x,y)$ drin ist, dann sind auch $(-x,y)$, $(x,-y)$ und $(-x,-y)$ drin. Das heisst, es reicht den Normball im 1ten Quadranten zu zeichnen (genauer fuer [mm] $x,y\geq [/mm] 0$) und durch Achsenspiegelungen auf die anderen Quadranten fortzusetzen. Sind $x,y$ positiv, dann lautet die Bedingung, fuer $(x,y)$ im Normball zum Radius $R$ zu liegen [mm] $0\leq x+y\leq [/mm] R$. Diese Menge bildet bekannterweise ein gleichschenkliges Dreieck mit Katheden laengs der Achsen der Laenge $R$.
Ich hoffe, das bringt dich jetzt weiter
Lg Kornfeld
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