integrale bestimmen II < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:47 Fr 20.11.2009 | | Autor: | meep |
| Aufgabe 1 | | [mm] \integral_{0}^{ \bruch{ \pi }{2} }{ \bruch{1}{5sinx+3cosx+5}dx} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \integral {\bruch{x}{(x+1) \wurzel(x^2+1) } dx} [/mm] |
hi zusammen,
schon wieder häng ich an 2 integralen die ich bestimmen soll, ich weiß einfach nicht was ich da substituieren, bzw machen soll.
wäre auch hier wieder für hilfe dankbar
mfg
meep
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
> [mm]\integral_{0}^{ \bruch{ \pi }{2} }{ \bruch{1}{5sinx+3cosx+5}dx}[/mm]
>
> [mm]\integral {\bruch{x}{(x+1) \wurzel(x^2+1) } dx}[/mm]
> hi
> zusammen,
>
> schon wieder häng ich an 2 integralen die ich bestimmen
> soll, ich weiß einfach nicht was ich da substituieren, bzw
> machen soll.
>
> wäre auch hier wieder für hilfe dankbar
>
> mfg
>
> meep
>
Hallo
na da hast Du ja zwei haessliche Integrale! Wie dem auch sei. Ich bearbeite mal Teil a).
zu a) Zunaechst ist es schoen zu wissen, dass die Stammfunktion durch
[mm] $\int\frac{1}{5\sin(x)+3\cos(x)+5}dx=\frac{1}{3}\ln(\tan(\frac{1}{2}x)+1)-\frac{1}{3}\ln(\tan(\frac{1}{2}x)+4)$
[/mm]
gegeben ist. (Die habe ich vom Computer ausrechnen lassen)! Daran ist schoen zu erkennen, dass der Tangens und der natuerliche Logarithmus auftaucht. Verwende daher die "Rationale Parametrisierung" des Tangens, d.h.
[mm] $\cos(x)=\frac{1-\tan^2(\frac{x}{2})}{1+\tan^2(\frac{x}{2})}$
[/mm]
[mm] $\sin(x)=\frac{2\tan(\frac{x}{2})}{1+\tan^2(\frac{x}{2})}$
[/mm]
Verwendest Du dies, so bekommst Du
[mm] $\frac{1}{5\sin(x)+3\cos(x)+5}=\frac{1+tan^2(\frac{x}{2})}{2\cdot(tan(\frac{x}{2})+4)\cdot(\tan(\frac{x}{2})+1)}$
[/mm]
Jetzt musst Du eine Partialbruchzerlegung machen, d.h. bestimme $A$ und $B$ mit
[mm] $\frac{1}{2\cdot(tan(\frac{x}{2})+4)\cdot(\tan(\frac{x}{2})+1)}=\frac{A}{2\cdot(tan(\frac{x}{2})+4)}+\frac{B}{(\tan(\frac{x}{2})+1)}$
[/mm]
Verwendest Du dies in der Zeile zuvor, so bekommst Du
[mm] $\frac{1+tan^2(\frac{x}{2})}{2\cdot(tan(\frac{x}{2})+4)\cdot(\tan(\frac{x}{2})+1)}=\frac{A\cdot(1+tan^2(\frac{x}{2}))}{2\cdot(tan(\frac{x}{2})+4)}+\frac{B\cdot(1+tan^2(\frac{x}{2}))}{(\tan(\frac{x}{2})+1)}$
[/mm]
Wegen [mm] $\tan'(x)=1+tan^2(x)$ [/mm] erhaelst Du weiter
[mm] $\frac{A\cdot(1+tan^2(\frac{x}{2}))}{2\cdot(tan(\frac{x}{2})+4)}+\frac{B\cdot(1+tan^2(\frac{x}{2}))}{(\tan(\frac{x}{2})+1)}=\frac{A\cdot tan'(\frac{x}{2})}{2\cdot(tan(\frac{x}{2})+4)}+\frac{B\cdot\tan'(\frac{x}{2})}{(\tan(\frac{x}{2})+1)}$
[/mm]
Und nun musst Du vermutlich die folgende Regel anwenden
[mm] $\int_{a}^{b}\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}dt=\log\left|\varphi(t)\right||_{a}^{b}$
[/mm]
Bis dann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Fr 20.11.2009 | | Autor: | meep |
vielen dank denny ich werd mich mal an die arbeit machen und das was du gepostet hast zu verstehen und zu ende rechnen
lg
meep
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> > [mm]\integral_{0}^{ \bruch{ \pi }{2} }{ \bruch{1}{5\,sinx+3\,cosx+5}dx}[/mm]
> zu a) Zunaechst ist es schoen zu wissen, dass die
> Stammfunktion durch
>
> [mm] $\int\frac{1}{5\sin(x)+3\cos(x)+5}dx=\frac{1}{3}\ln(\tan(\frac{1}{2}x)+1)-\frac{1}{3}\ln(\tan(\frac{1}{2}x)+4)$
[/mm]
> gegeben ist.
> (Die habe ich vom Computer ausrechnen lassen)
> Daran ist schoen zu erkennen, dass der Tangens und
> der natuerliche Logarithmus auftaucht.
Tröstlich zu vernehmen, dass auch andere hier (ev. nach
ein paar misslungenen Ansätzen) zu einem starken CAS
greifen und erst einmal die Lösung begucken, um daran
Tipps zur Vorgehensweise abzulesen.
Vielleicht hat der Prof das Beispiel ja auch mit elek-
tronischer Unterstützung gebastelt ...
LG Al-Chw.
Ich habe das Integral jetzt auch noch dem TI-voyage 200
gefüttert, der daraus folgende Stammfunktion macht:
[mm] $-\frac{1}{3}*ln\left(\frac{4*cos(x)+sin(x)+4}{cos(x)+sin(x)+1}\right)$
[/mm]
Leitet man dies wieder ab, ergibt sich
[mm] $\frac{cos(x)+1}{(cos(x)+sin(x)+1)*(4*cos(x)+sin(x)+4)}$
[/mm]
Um davon ausgehend wieder den ursprünglichen Term
zu erhalten, geht der Weg z.B. über die Zwischenstation:
[mm] $\frac{2*(cos(x)+1)}{\sqrt{34}*sin(2*x-tan^{-1}(1/4)+\pi/4)+2*\sqrt{17}*cos(x-tan^{-1}(1/4))+8*\sqrt{2}*sin(x+\pi/4)+13}$
[/mm]
bis man schliesslich wieder bei $\ [mm] \bruch{1}{5\,sinx+3\,cosx+5}$ [/mm] landet ...
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> Tröstlich zu vernehmen, dass auch andere hier (ev. nach
> ein paar misslungenen Ansätzen) zu einem starken CAS
> greifen und erst einmal die Lösung begucken, um daran
> Tipps zur Vorgehensweise abzulesen.
Hallo,
ich oute mich: ich gehöre auch dazu.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Fr 20.11.2009 | | Autor: | reverend |
> > Tröstlich zu vernehmen, dass auch andere hier (ev. nach
> > ein paar misslungenen Ansätzen) zu einem starken CAS
> > greifen und erst einmal die Lösung begucken, um daran
> > Tipps zur Vorgehensweise abzulesen.
>
> Hallo,
>
> ich oute mich: ich gehöre auch dazu.
>
> Gruß v. Angela
Na schön: ich auch. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Die Stammfunktion des zweiten Integrals ist
[mm] $arcsinh(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}arctanh(\frac{1}{2}\frac{(x+1)\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+1}})$
[/mm]
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Hallo,
> [mm]\integral_{0}^{ \bruch{ \pi }{2} }{ \bruch{1}{5sinx+3cosx+5}dx}[/mm]
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> [mm]\integral {\bruch{x}{(x+1) \wurzel(x^2+1) } dx}[/mm]
> hi
> zusammen,
>
> schon wieder häng ich an 2 integralen die ich bestimmen
> soll, ich weiß einfach nicht was ich da substituieren, bzw
> machen soll.
>
habe (vielleicht) einen kleinen schritt in die richtige richtung fuer aufgabe b). Wenn du im nenner die $1$ addierst und wieder subtrahierst, erhaeltst du
[mm]\int \frac{x}{(x+1)\sqrt{x^2+1}} = \int \frac{x+1-1}{(x+1)\sqrt{x^2+1}} [/mm]
[mm]=\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}-\int\frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2+1}} [/mm]
den ersten summanden kann man leicht elementar integrieren und hat dann den ersten summanden der von Denny geposteten loesung. Allerdings sieht das zweite integral auch nicht gerade handzahm aus...
gruss
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Sa 21.11.2009 | | Autor: | meep |
ja matthias den selben einfall hatte ich auch bei b, nur war ich nicht fähig das 2te integral zu lösen und habs daher verworfen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 So 22.11.2009 | | Autor: | meep |
hi nochmals,
nach langem überlegen kam mir folgende idee wie ich das integral
[mm] \integral \bruch{1}{(x+1) \wurzel(x^2+1)} [/mm] dx lösen könnte
ich substituiere nun arcsinhx = u und somit is dx = [mm] \wurzel(x^2+1) [/mm] du mit x = sinhu
alles eingesetzt erhalte ich nun
[mm] \integral \bruch{1}{(sinhu+1) * coshu}*coshu [/mm] du
gekürzt also
[mm] \integral \bruch{1}{(sinhu+1)} [/mm] du
vorrausgesetzt habe ich hier, dass [mm] cosh^2 [/mm] u - [mm] sinh^2 [/mm] u = 1
bevor ich weitermache erstmal die frage ist das überhaupt richtig ? und falls ja wie löse ich nun das erhaltene integral ?
mfg
meep
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich denke, dass die Vorgehensweise mit dem $arcsin$ nicht passt. Siehe Dir mal die Ableitung vom $arcsin(x)$ an, die ist doch
[mm] $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
[/mm]
und nicht (mit plus !!)
[mm] $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
[/mm]
Ich denke Du solltest irgendwie mit dem $arctan$ etwas machen. Nur was genau Du machen musst, kann ich Dir zur Zeit nicht sagen. Die Loesung des Integrals, das Du dort versuchst zu berechnen ist ueberings
[mm] $\int\frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2+1}}dx=-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctan}\left(\frac{2(1-x)\sqrt{2}}{4\sqrt{(x+1)^2-2x}}\right)$
[/mm]
Vielleicht hilft Dir das weiter.
Gruss
Denny
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> Hallo,
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> ich denke, dass die Vorgehensweise mit dem [mm]arcsin[/mm] nicht
> passt. Siehe Dir mal die Ableitung vom [mm]arcsin(x)[/mm] an, die
> ist doch
> [mm]\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]
> und nicht (mit plus !!)
> [mm]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}[/mm]
Hallo Denny,
vom arcsin hat meep auch gar nicht geschrieben,
sondern vom arcsinh oder besser Arsinh. Es ist
[mm] \frac{d}{dx}(Arsinh(x)) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
[/mm]
LG
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> hi nochmals,
>
> nach langem überlegen kam mir folgende idee wie ich das
> integral
>
> [mm]\integral \bruch{1}{(x+1) \wurzel(x^2+1)}[/mm] dx lösen
> könnte
>
> ich substituiere nun arcsinhx = u und somit ist
> dx =[mm]\wurzel(x^2+1)[/mm] du mit x = sinhu
>
> alles eingesetzt erhalte ich nun
>
> [mm]\integral \bruch{1}{(sinhu+1) * coshu}*coshu[/mm] du
>
> gekürzt also
>
> [mm]\integral \bruch{1}{(sinhu+1)}[/mm] du
>
> vorausgesetzt habe ich hier, dass [mm]cosh^2[/mm] u - [mm]sinh^2[/mm] u = 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bevor ich weitermache erstmal die frage ist das überhaupt
> richtig ? und falls ja wie löse ich nun das erhaltene
> integral ?
>
> mfg
>
> meep
Hallo meep,
das ist soweit richtig. Ein weiterer Blick in Mathematica
zeigt, dass die weitere Substitution
[mm] t:=tanh\left(\frac{u}{2}\right)
[/mm]
weiter führen sollte. Dazu braucht man dann z.B. die
Doppel- bzw. Halbwinkelformeln der hyperbolischen
Funktionen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Di 24.11.2009 | | Autor: | meep |
ok vielen dank. die aufgaben ärgern mich zum teil wirklich, kaum ist man einen schritt weiter kommt schon wieder die nächste hürde.
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