irreduzible Polynome < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mo 18.12.2006 | | Autor: | hopsie |
Hallo!
Ich bräuchte ein bißchen Hilfe beim Verständnis der irreduziblen Polynome.
Ich kenne die allgemeine Definition eines irreduziblen Elements:
Sei R ein kommutativer Integritätsring. Ein Element q [mm] \in [/mm] R heißt irreduzibel, wenn:
(1) q [mm] \not= [/mm] 0
(2) q [mm] \not\in R^{x}
[/mm]
(3) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] R mit q = ab gilt: a [mm] \in R^{x} [/mm] oder b [mm] \in R^{x} [/mm]
Der dritte Punkt heißt doch nicht unbedingt, dass q überhaupt ein Produkt sein muss, oder? Nur, wenn q ein Produkt von a und b ist, muss a [mm] \in R^{x} [/mm] oder b [mm] \in R^{x} [/mm] sein, oder?
Und das zweite was mir hier noch nicht ganz klar ist: es dürfen nicht a UND b Einheiten sein, oder?
So, nun zu meinem eigentlichen Problem:
Ich hab nun versucht diese Definition auf Polynome zu übertragen, wobei K ein Körper sein soll, und die Polynome [mm] \in [/mm] K[X] sein sollen.
Also: f [mm] \in [/mm] K[X] ist irreduzibel, wenn
(1) f [mm] \not= [/mm] 0. D.h. also, dass f nicht das Nullpolynom sein darf.
(2) f [mm] \not\in K[X]^{x}. [/mm] D.h. Das Polynom f darf keine Einheit sein. Aber was sind denn die Einheiten in K[X]? Sind das nur die konstanten Polynome? (Das sind doch Einheiten, oder?!) Oder wie bestimme ich, welche Polynome Einheiten sind?
(3) [mm] \forall [/mm] g,h [mm] \in [/mm] K[X] mit f = gh gilt: g [mm] \in K[X]^{x} [/mm] oder h [mm] \in K[X]^{x}
[/mm]
Hier wieder die gleiche Frage: Was sind die Einheiten in K[X]?
Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen und bedanke mich schon mal im Voraus!
Gruß, hopsie
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Hallo,
> Hallo!
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> Ich bräuchte ein bißchen Hilfe beim Verständnis der
> irreduziblen Polynome.
> Ich kenne die allgemeine Definition eines irreduziblen
> Elements:
> Sei R ein kommutativer Integritätsring. Ein Element q [mm]\in[/mm]
> R heißt irreduzibel, wenn:
> (1) q [mm]\not=[/mm] 0
> (2) q [mm]\not\in R^{x}[/mm]
> (3) [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] R mit q = ab
> gilt: a [mm]\in R^{x}[/mm] oder b [mm]\in R^{x}[/mm]
>
> Der dritte Punkt heißt doch nicht unbedingt, dass q
> überhaupt ein Produkt sein muss, oder? Nur, wenn q ein
> Produkt von a und b ist, muss a [mm]\in R^{x}[/mm] oder b [mm]\in R^{x}[/mm]
> sein, oder?
> Und das zweite was mir hier noch nicht ganz klar ist: es
> dürfen nicht a UND b Einheiten sein, oder?
Stimmt.
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> So, nun zu meinem eigentlichen Problem:
> Ich hab nun versucht diese Definition auf Polynome zu
> übertragen, wobei K ein Körper sein soll, und die Polynome
> [mm]\in[/mm] K[X] sein sollen.
> Also: f [mm]\in[/mm] K[X] ist irreduzibel, wenn
> (1) f [mm]\not=[/mm] 0. D.h. also, dass f nicht das Nullpolynom
> sein darf.
> (2) f [mm]\not\in K[X]^{x}.[/mm] D.h. Das Polynom f darf keine
> Einheit sein. Aber was sind denn die Einheiten in K[X]?
> Sind das nur die konstanten Polynome? (Das sind doch
> Einheiten, oder?!) Oder wie bestimme ich, welche Polynome
> Einheiten sind?
> (3) [mm]\forall[/mm] g,h [mm]\in[/mm] K[X] mit f = gh gilt: g [mm]\in K[X]^{x}[/mm]
> oder h [mm]\in K[X]^{x}[/mm]
> Hier wieder die gleiche Frage: Was
> sind die Einheiten in K[X]?
Was könnten denn die Einheiten in K[x] sein? Man kann sich leicht überlegen, dass das gerade alle Polynome
[mm] \summe_{i\ge 1}^{}a_{i}x^{i} [/mm] sind mit [mm] a_{0}\not=0.
[/mm]
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> Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen und bedanke mich
> schon mal im Voraus!
>
> Gruß, hopsie
>
>
Grüße Daniel
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Lieber Daniel,
wo bitte nimmst Du denn her, daß die Einheiten (!) im Polynomring K[X] über einem Körper K von dieser von Dir angegebenen Gestalt sind?
Eine Einheit ist doch ein multiplikativ invertierbares Element.
Daß in einem Polynomring R[X] über einem beliebigen Ring stets die Einheitengruppe R* von R in der Einheitengruppe R[X]* von R[X] enthalten ist, ist offensichtlich und trivial.
Weiter ist ein Körper immer ein kommutativer Integritätsring (!!!), d.h. nullteilerfrei.
Nimm die Gradformeln, und Du siehst, daß sowohl in Körpern K wie auch bereits in (kommutativen) Integritätsringen R (ein Integritätsring ist meines Wissens immer kommutativ) stets gilt
K* = K[X]*,
R* = R[X]*,
das bedeutet: Die einzigen multiplikativ invertierbaren Polynome sind die konstanten Polynome [mm] \not= [/mm] 0 - und die haben Grad 0 !!
Weiterhin viel Spaß mit Algebra!
Liebe Grüße,
Alex
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Hallo Alex,
ja du hast Recht. Da habe ich wieder etwas vorschnell überlegt. Natürlich lässt sich nicht so einfach ein invertierbares Polynom finden vom Grad größer gleich 1. Also im Polynomring [mm] \IZ[x] [/mm] sind nur die konstanten Polynome Einheiten. Andere lassen sich im Ring nicht invertieren!
Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Di 19.12.2006 | | Autor: | hopsie |
Hallo!
erstmal vielen Dank euch Beiden. Bin sehr erleichtert, dass das alles nicht so schwer ist 
Ist dann Folgendes eine richtige Definition?
f [mm] \in [/mm] K[X] irreduzibel, wenn:
(1) deg(f) [mm] \ge [/mm] 1
(2) f lässt sich nicht in Polynome zerlegen, bis auf das, dass man Koeffizienten ausklammern kann? Aber das kann man ja immer und bringt einen auch nicht weiter (wenn man überprüfen will, ob ein Polynom irreduzibel ist, oder?)
Kann man Punkt 2 irgendwie anders/besser formulieren?
Vielen Dank schonmal
Grüße, hopsie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Di 19.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo hopsi
Du hast recht: In einem Polynomring über einem Körper ist ein Polynom irreduzibel, wenn der Grad grösser gleich 1 ist, und es sich nicht faktorisieren lässt als Produkt von Polynomen von kleinerem Grad. Deshalb sind alle Polynome vom Grad 1 irreduzibel.
Die Entscheidung, ob ein konkret gegebenes Polynom irreduzibel ist, ist im Allgemeinen keine einfache Aufgabe.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Di 19.12.2006 | | Autor: | hopsie |
Hallo Moudi!
Danke für deine Antwort.
Dann hab ich's ja soweit richtig verstanden
Grüße, hospie
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