ist eine F stetig u ableitbar < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mi 29.09.2004 | | Autor: | karo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ihr Lieben.
Da ich eine doppelstd. im LK gefehlt habe, komm ich nicht weiter, schreibe aber am DI eine Klausur und nun hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
So nun meine Frage (bzw. des Lehrers)
Gegeben ist f(x)= [mm] \begin{Bmatrix}
x^2-2x, x \le 2 \\
-(x-3)^3+3, x >2
\end{Bmatrix} [/mm]
Untersuchen sie, ob f im gesammten Definitionsbereich stetig und ableitba ist.
Leider weiss ich auch keinen Ansatz. Danke im Vorraus für eure Hilfe. Karo
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Hallo Karo,
vielleicht hilft dir ja folgendes weiter:
Eine Funktion f oder eine Abbildung f: X -> Y ist dann stetig,wenn es ein
a>0 gibt, mit d(f(x),f(y)) [mm] \le [/mm] a*d(x,y) für x,y [mm] \in [/mm] X.
d=Abstand
Das sollte eigentlich ziemlich leicht anwendbar sein !
Zur Diffenenzierbarkeit(Ableitbarkeit):
Zu allererst: Ist eine Funktion f in a diff'bar, so ist f in a stetig! (kann manchmal ganz nützlich sein!)
Wenn ich mich nicht irre kannst du dieser Frage mit der Definition der Ableitung ganz gut nähern, es gilt nämlich: Eine Funktion ist in a diff'bar, wenn der Grenzwert f'(a):=lim x -> a [mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}
[/mm]
existiert!
Vielleicht konnte ich dir eine kleine Gedankenstütze geben...
Gruß
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Fermat!
Ich habe nicht viel Zeit, daher hier etwas knapp:
> Eine Funktion f oder eine Abbildung f: X -> Y ist dann
> stetig,wenn es ein
> a>0 gibt, mit d(f(x),f(y)) [mm]\le[/mm] a*d(x,y) für x,y [mm]\in[/mm] X.
> d=Abstand
Das stimmt so nicht. Was du hier beschreibst, ist die Lipschitz-Steitigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen, nicht die Stetigkeit. Aus der Lipschitz-Stetigkeit folgt die Stetigkeit; die Umkehrung gilt aber nicht.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Do 30.09.2004 | | Autor: | Fermat2k4 |
Hey Stefan,
ich habe mich nochmal schlau gemacht und du hast Recht!
Die Lipschitz-Stetigkeit stellt,wenn ich mich nicht irre, lediglich eine "schwächere" Definition der Stetigkeit dar.
Ich werde demnächst meine Antworten sorgfälltiger prüfen.
Gruß
Alex
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Hallo Karo!
Also, deine Funktion hat die Form:
[mm]f(x)=\left\{
\begin{matrix}
f_{1}(x) & \mbox{wenn} & x\le x_{0} \\
f_{2}(x) & \mbox{wenn} & x>x_{0}
\end{matrix}
\right.
[/mm]
Die Funktion ist stetig, wenn:
[mm] f_{1}(x_{0}) [/mm] = [mm] f_{2}(x_{0})
[/mm]
Die Funtion ist differenzierbar, wenn die Ableitung stetig ist, also:
[mm] f_{1}^{\prime}(x_{0}) [/mm] = [mm] f_{2}^{\prime}(x_{0})
[/mm]
Wenn die Funktion f nicht stetig ist in x0, dann ist sie auch nicht differenzierbar in x0. Also, wenn sie ableitbar ist, ist sie auch stetig. Umgekehrt gilt der Satz nicht. Also sie kann stetig sein und doch nicht ableitbar.
Schöne Grüße, 
Ladis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Do 30.09.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Ladis!
> Also, deine Funktion hat die Form:
>
> [mm]f(x)=\left\{
\begin{matrix}
f_{1}(x) & \mbox{wenn} & x\le x_{0} \\
f_{2}(x) & \mbox{wenn} & x>x_{0}
\end{matrix}
\right.
[/mm]
>
>
> Die Funktion ist stetig, wenn:
> [mm]f_{1}(x_{0})[/mm] = [mm]f_{2}(x_{0})
[/mm]
>
> Die Funtion ist differenzierbar, wenn die Ableitung stetig
> ist, also:
> [mm]f_{1}^{\prime}(x_{0})[/mm] = [mm]f_{2}^{\prime}(x_{0})
[/mm]
Dein zweiter Satz stimmt nicht ganz:
Bei der Formel [mm] f_{1}'(x_{0}) [/mm] = [mm] f_{1}'(x_{0}) [/mm] greifst du auf Funktionswerte der Ableitung von [mm] f_{2} [/mm] zu, die gar nicht im Definitionsbereich (alle x > [mm] x_{0}) [/mm] liegen. Man muss also erst die Definition von [mm] f_{2} [/mm] auf "naheliegende" Art und Weise erweitern, um von [mm] f_{2}'(x_{0}) [/mm] zu sprechen. Und dann muss man noch zusätzlich fordern ,dass [mm] f_{1}(x_{0}) [/mm] = [mm] f_{2}(x_{0}), [/mm] ansonsten wäre die folgende Funktion g bei [mm] x_{0} [/mm] = 0 differenzierbar:
g: R --> R, x --> g(x)
g(x) := [mm] g_{1}(x), [/mm] wenn x > 0
g(x) := [mm] g_{2}(x), [/mm] wenn x [mm] \le [/mm] 0
[mm] g_{1}: R^{+} [/mm] --> R, x --> [mm] g_{1}(x)
[/mm]
[mm] g_{1}(x) [/mm] := 1
[mm] g_{2}: R^{-}_{0} [/mm] --> R, x --> [mm] g_{2}(x)
[/mm]
[mm] g_{2}(x) [/mm] := 0
Nun wäre nach deiner Definition g in 0 differenzierbar, denn [mm] g_{2}'(0) [/mm] = 0 und bei "naheliegender" erweiterter Definition von [mm] g_{1} [/mm] auf ganz R wäre auch [mm] g_{1}'(0) [/mm] = 0.
Gruß Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Mo 04.10.2004 | | Autor: | karo |
Hallo an alle die geantwortete haben. Danke für die Hilfe, bins nochmal selber durchgegangen und mit eurer Hilfe kann morgen eigentlich nix schief gehen. Danke
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