konvergenz reeller Zahlenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mi 21.11.2007 | | Autor: | arzoo |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_n)n \in [/mm] N eine Folge von reellen Zahlen mit [mm] a_n [/mm] > 0 für alle n [mm] \in [/mm] N
UND [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_n+1)/(a_n) [/mm] = L für ein L [mm] \in [/mm] R .
Zeigen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_n}=L
[/mm]
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Hallo allerseitz,
ich sitze jetzt schon seit einigen Stunden an dieser Aufgabe aber immer noch habe ich keinen Ansatz wie ich diese Aufgabe lösen könnte. Das einzige was ich weiß ist das ich ich das Sandwich Lemma benutzen könnte.
Dafür bräuchte ich ja 2 Werte einmal kleiner und einmal größer von denen ich die Grenzwerte kenne und der bei beiden gleich ist dann hat auch der mittleere Wert den gleichen Grenzwert.
Nun müsste ich die gegebene Formel irgendwie umformen und auf eine Form bringen von den ich den Grenzwert schon kenne aber irgendwie komme ich da nicht weiter. Könnt ihr mir da vieleicht helfen .
Danke euch !
PS; bei der Aufgabe heißt es a_(n+1) aber irgendwie hat es mit der Formatierung nicht so richtig geklappt.
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Die Formatierung funktioniert. Du musstest [mm] a_{n+1} [/mm] schreiben.
Ich habe gerade mal den Beweis skizziert. Es ist nicht gesagt, dass es nicht mehrere Wege gibt. Meiner ist allerdings etwas schreibintensiv. Nun gut. Ich versuche es kurz zu machen. Den Rest lasse ich dir.
[mm] $\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=:b_n>0$ [/mm] N.Vss. [mm] $b_n\rightarrow [/mm] L$. Jetzt schreibst du
[mm] \[ a_{n}=b_n a_{n-1}=b_n b_{n-1} a_{n-2}=...=\prod^{n}_{i=1}b_i a_1
[/mm]
Jetzt nimmst du links und rechts die $n$te Wurzel. Zu zeigen:
[mm] \[\prod_{i=1}^n\wurzel[n]{b_i}\rightarrow [/mm] L.
Hierbei lohnt es sich folgendes zu benutzen: [mm] $x^a=e^{a\logx}$ [/mm] Das laesst du auf die Wurzelausdruecke los. Das Produkt kannst du aufspalten in zwei Produkte: fuer $i$ gross genung [mm] $L-\epsilon\leq b_i\leq L+\epsilon$. [/mm] Das zweite Produkt lautet
[mm] \[\prod_{i=k+1}^n e^{-n\log b_i}\approx \prod_{i=k+1}^n e^{-n\log L}e^{-n\log \frac{\epsilon}{L}}
[/mm]
[mm] Taylorformel!$\approx$ [/mm] durch geeignete Ungleichungen ersetzen! Beachte dass [mm] $n\log \frac{\epsilon^{n-k}}{L^{n-k}}$ [/mm] fuer [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] gegen $0$ konvergiert. Dadurch schaetzt du das zweite Produkt durch $L+etwas$ ab. Das erste konvergiert gegen $1$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mi 21.11.2007 | | Autor: | arzoo |
Danke erstmal für die schnelle Antwort aber das ist ja noch komplizierter als ich gedacht hatte :(
Ich habe so viele Fragen weiß gar nicht wo ich anfangen soll *seufz*.
Also den Beweis verstehe ich nur bis zur Wurzel . ABer wieso muss ich hier plötzlich
$ [mm] \[\prod_{i=1}^n\wurzel[n]{b_i}\rightarrow [/mm] $ = L zeigen und nicht
$ [mm] \[\prod_{i=1}^n\wurzel[n]{a_n}\rightarrow [/mm] $ = L ?
Die Schritte danach verstehe ich auch nicht insbesondere die Produkte und z.B mit [mm] e^x [/mm] wie komme ich plötzlich auf so etwas von alleine ? und die Produkte mit log wie komme ich darauf .. könntest du das Bitte näher erläutern ? Taylorformel hatten wir noch gar nicht kann ich das auch ohne Taylerformel lösen ?
Währe toll
Danke
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> ABer wieso muss ich hier plötzlich
> [mm]\[\prod_{i=1}^n\wurzel[n]{b_i}\rightarrow[/mm] = L zeigen und
> nicht
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> [mm]\[\prod_{i=1}^n\wurzel[n]{a_n}\rightarrow[/mm] = L ?
Das habe ich hingeschrieben. [mm] $a_n=b_n a_{n-1}=....=\prod b_i a_1$ [/mm] daraus folgt, dass [mm] $\wurzel[n]{a_n}=\prod \wurzel[n]{b_i} \wurzel[n]{a_1}$
[/mm]
Tut mir leid. Ich kann dir beim besten Willen nicht jeden Zwischenschritt aufschreiben. Ich habe dir ja auch nur ein paar Ideen gegeben. Die $e$-Funktion kommt ins Spiel damit du den ausdruck [mm] $\wurzel[n]{b_i}$ [/mm] umschreibst in [mm] $e^{n\log b_i}$. [/mm] Mach dir das erst einmal klar. Es ist ganz einfach. Man benutzt nur dass [mm] $e^{\log x}=x$ [/mm] und [mm] $\log(x^b)=b\log [/mm] x$
> Die Schritte danach verstehe ich auch nicht insbesondere
> die Produkte und z.B mit [mm]e^x[/mm] wie komme ich plötzlich auf so
> etwas von alleine ? und die Produkte mit log wie komme ich
> darauf .. könntest du das Bitte näher erläutern ? Währe
> toll
Ich habe dir vorher ja gesagt, dass viele Wege nach Rom fuehren. Dieser ist mir spontan eingefallen. Ich gebe aber zu, dass er einiges voraussetzt. Ich meine aber, so etwas in der Art in einer meiner alten Tutoraten gemacht zu haben. Das Problem beim Beweisen der Aussage, dass [mm] $\wurzel[n]{a_n}\rightarrow [/mm] L$ ist doch, dass die Wurzeln selber von $n$ abhaengen. Das ist im allgemeinen immer etwas dornig, aber auch nicht so schlimm. Die Idee ist doch, [mm] $a_n$ [/mm] als $n$-Produkt zu schreiben. Am besten waere es ja, wenn schon [mm] $a_n=L^n$ [/mm] waere. Nun gut. Das ist zwar nicht, aber es ist auch nicht so "ganz weit weg" davon. Dieses "nicht ganz so weit weg" ist es eben, was der Analytiker in Form von Abschaetzungen in die rechnung hineinbringen muss. Ich gebe dir einen Tipp: beherzige diese letzte Idee und versuche es mal selber. Es ist nie gut, wenn man sich an der Idee eines anderen an das Ziel hangelt. Man versteht dann viele Einzelrechnungen nicht oder versteht ihren Wert im Zusammenhang nicht so ganz. Wie gesagt: die Idee ist es [mm] $a_n$ [/mm] als Produkt zu schreiben....
> Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Mi 21.11.2007 | | Autor: | arzoo |
vieleicht habe ich gerade ein Brett vor dem Kopf aber so richtig durchblicken tue da gerade nicht , aber na ja ich habe ja einen Ansatz werde mich ransetzen vileicht komme ich ja noch irgendwie dahinter.
Jedenfalls Danke für die Mühe
Gruß Arzoo
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