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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - koordinatengleichung
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koordinatengleichung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Sa 17.09.2005
Autor: Anna17

Guten Abend!,
ich habe 4 Aufgaben, bei denen ich mir mit meinen Ergebnissen nicht sicher bin. Ich bitte um die Kontrolle meiner Ergebnisse ...danke!

1) Prüfe ob die Punkte P,Q,R zur Ebene gehören:

E: [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ -1} \* [/mm] x = 12

    P(3/1/5), Q(1/4/1), R (6/0/0)

  meine Ergebnisse:

  zu P:  E [mm] :\vektor{2 \\ 3 \\ -1} \* \vektor{3 \\1 \\ 5} [/mm]  = 12
            E :                                                               4    = 12  --> P gehört
                                                                                                    nicht zur E.

  zu Q: E [mm] :\vektor{2 \\ 3 \\ -1} \* \vektor{1 \\4 \\ 1} [/mm]  = 12
            E :                                                               13    = 12  --> Q gehört
                                                                                                    nicht zur E.

  zu R :E [mm] :\vektor{2 \\ 3 \\ -1} \* \vektor{6 \\0 \\ 0} [/mm]  = 12
            E :                                                               12    = 12  --> R gehört
                                                                                                      zur Ebene


2)Bestimme die Spurpunkte und die Spurgeraden der Ebene:

[mm] a)2x_{1}- x_{2}+4 x_{3}= [/mm] 8  

   meine Ergebnisse : Spurpunkte: A1(4/0/0) , A2(0/-8/0) , A3(0/0/2)
                                  Spurgeraden: ? wie berechnet man diese????

[mm] b)x_{1}+2x_{2}-x_{3}= [/mm] 0

   meine Ergebnisse : Spurpunkte: A1(0/0/0) , A2(0/0/0) , A3(0/0/0)
                                  Spurgeraden: ? wie berechnet man diese????

3)Die Ebene E schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten A1, A2 und A3. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene.

A1(3/0/0), A2(0/-2/0), A3(0/0/5)

    meine Lösung: [mm] ax_{1}+ bx_{2}+cx_{3}= [/mm] d
                            [mm] 10x_{1}- 15x_{2}+6x_{3}= [/mm] 1


4)Falls  [mm] ax_{1} \not= [/mm] 0, [mm] ax_{2}\not= [/mm] 0, [mm] ax_{3}\not= [/mm] 0, kann man eine

Ebenengleichung auch in der Form   [mm] \\bruch{x_{1}}{a_{1}}+\bruch{x_{2}}{a_{2}}+\bruch{x_{3}}{a_{3}}=1 [/mm] schreiben (sog. Achsenabschnittsform). Begründe dies. Bestimme die Sprungpunkte der Ebene.

meine Lösung: habe keine,verstehe diese Aufgabe überhaput nicht

Bitte helft mir! DAnke  
                            
                            

        
Bezug
koordinatengleichung: Kontrolle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Sa 17.09.2005
Autor: MathePower

Hallo Anna17,

> 1) Prüfe ob die Punkte P,Q,R zur Ebene gehören:
>  
> E: [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ -1} \*[/mm] x = 12
>  
> P(3/1/5), Q(1/4/1), R (6/0/0)
>  
> meine Ergebnisse:
>  
> zu P:  E [mm]:\vektor{2 \\ 3 \\ -1} \* \vektor{3 \\1 \\ 5}[/mm]  =
> 12
>              E :                                            
>                    4    = 12  --> P gehört

> nicht zur E.
>  
> zu Q: E [mm]:\vektor{2 \\ 3 \\ -1} \* \vektor{1 \\4 \\ 1}[/mm]  =
> 12
>              E :                                            
>                    13    = 12  --> Q gehört

> nicht zur E.
>  
> zu R :E [mm]:\vektor{2 \\ 3 \\ -1} \* \vektor{6 \\0 \\ 0}[/mm]  =
> 12
>              E :                                            
>                    12    = 12  --> R gehört

> zur Ebene
>  

[ok]


>
> 2)Bestimme die Spurpunkte und die Spurgeraden der Ebene:
>  
> [mm]a)2x_{1}- x_{2}+4 x_{3}=[/mm] 8  
>
> meine Ergebnisse : Spurpunkte: A1(4/0/0) , A2(0/-8/0) ,
> A3(0/0/2)

[ok]

>                                    Spurgeraden: ? wie
> berechnet man diese????

Bilde eine Gerade durch je zwei Spurpunkte.

>  
> [mm]b)x_{1}+2x_{2}-x_{3}=[/mm] 0
>  
> meine Ergebnisse : Spurpunkte: A1(0/0/0) , A2(0/0/0) ,
> A3(0/0/0)

[ok]

>                                    Spurgeraden: ? wie
> berechnet man diese????

Hier gibt es wohl keine Spurgerade, da alle drei Spurpunkte zusammenfallen.


>  
> 3)Die Ebene E schneidet die Koordinatenachsen in den
> Punkten A1, A2 und A3. Bestimme eine Koordinatengleichung
> der Ebene.
>  
> A1(3/0/0), A2(0/-2/0), A3(0/0/5)
>  
> meine Lösung: [mm]ax_{1}+ bx_{2}+cx_{3}=[/mm] d
>                              [mm]10x_{1}- 15x_{2}+6x_{3}=[/mm] 1
>  

Das sollte wohl [mm]10\;x_{1}- 15\;x_{2}+6\;x_{3}= 30[/mm] heissen.

Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
koordinatengleichung: zur 4
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:17 So 18.09.2005
Autor: Stefan

Hallo Anna!

Im Falle $a [mm] \ne [/mm] 0$, $b [mm] \ne [/mm] 0$, $c [mm] \ne [/mm] 0$ und $d [mm] \ne [/mm] 0$ erhält man aus

$ax+by+cz=d$

natürlich:

[mm] $\frac{x}{\frac{d}{a}} [/mm] + [mm] \frac{y}{\frac{d}{y}} [/mm] + [mm] \frac{z}{\frac{d}{c}} [/mm] =1$.

Setze nun

[mm] $a_1:= \frac{d}{a}$, [/mm]
[mm] $a_2:= \frac{d}{b}$, [/mm]
[mm] $a_3:= \frac{d}{c}$ [/mm]

Ist etwa $b=0$, dann muss man [mm] $a_2:=0$ [/mm] setzen (und entsprechend für die anderen Variablen).

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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