linear abhängig < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | | Es seien [mm]K = \IZ_3[/mm] der Körper mit 3 Elementen und V ein 4-dimensionaler K-Vektorraum. Wie viele linear abhängige Tupel [mm][mm] (v_1,v_2) \in [/mm] V [mm] \times [/mm] V gibt es? |
Hallo alle zusammen,
also ich habe bei dieser aufgabe mir gedacht, dass ja ein [mm]v \in V[/mm] exisiert mit [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] wobei [mm] x_i \in \{-1,0,1\}[/mm]
Das heißt es gibt insgesamt doch [mm]3^4 = 81[/mm] Möglickeiten für einen Vektor.
Ich soll jetzt gerade aber die Vektoren finden, so dass [mm](v_1,v_2)[/mm] linear abhängig ist. Da ja der Nullvektor rausfällt, gibt es für 2 Vektoren insgesamt 80*79 = 6320 Möglichkeiten. Also habe ich mir dann mal aufgeschrieben:
[mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] : [mm]\vektor{0 \\ a \\ b \\ c}[/mm]
Das heißt es gibt insesamt dann nur noch 6320-27=6293 Möglickieten.
Das habe ich dann immer so weiter gemacht und halt die Plätze des Eintrags verändert und da komme ich irgendwie auf eine Zahl von 6104 Möglickeiten, aber irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass dies die Lösung ist. Was mach ich falsch?
LG
Elbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Sa 04.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seien [mm]K = \IZ_3[/mm] der Körper mit 3 Elementen und V ein
> 4-dimensionaler K-Vektorraum. Wie viele linear abhängige
> Tupel [mm][mm](v_1,v_2) \in[/mm] V [mm]\times[/mm] V gibt es?
> Hallo alle zusammen,
> also ich habe bei dieser aufgabe mir gedacht, dass ja ein [mm]v \in V[/mm]
> exisiert mit [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] wobei
> [mm]x_i \in \{-1,0,1\}[/mm]
> Das heißt es gibt insgesamt doch [mm]3^4 = 81[/mm] Möglickeiten für
> einen Vektor.
> Ich soll jetzt gerade aber die Vektoren finden, so dass [mm](v_1,v_2)[/mm]
> linear abhängig ist. Da ja der Nullvektor rausfällt, gibt es für 2 Vektoren
> insgesamt 80*79 = 6320 Möglichkeiten. Also habe ich mir dann mal
> aufgeschrieben:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] : [mm]\vektor{0 \\ a \\ b \\ c}[/mm]
> Das heißt es gibt insesamt dann nur noch 6320-27=6293 Möglickieten.
>
> Das habe ich dann immer so weiter gemacht und halt die Plätze des Eintrags
> verändert und da komme ich irgendwie auf eine Zahl von 6104 Möglickeiten,
> aber irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass dies die Lösung ist. Was
> mach ich falsch?
Das Problem ist, dass du zu viele falsche Paare nicht aussortierst.
Ich wuerd das Problem etwas anders angehen: Zu jedem [mm] $v_1 \in [/mm] V$ gib alle [mm] $v_2 \in [/mm] V$ an mit [mm] $(v_1, v_2)$ [/mm] linear abhaengig. Dazu musst du die Faelle [mm] $v_1 [/mm] = 0$ und [mm] $v_1 \neq [/mm] 0$ unterscheiden.
Kommst du damit weiter?
LG Felix
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