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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mi 06.07.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | Finden Sie die reellen Lösungen von [mm] y'=\pmat{1&-3\\1&3}y. [/mm] |
Hallo,
ich bezeichne die Matrix mit A. Dann sind die Eigenwerte von A: [mm] \lambda_{1/2}=2\pm\sqrt{2}i.
[/mm]
Die allgemeine reelle Lösung ist nun gemäß der Vorlesung:
[mm] y'=c_1*Re\left(e^{\lambda_1*x}u\right)+c_2*Im\left(e^{\lambda_1*x}u\right)
[/mm]
(Das haben wir aber nicht gezeigt bekommen).
Ein Eigenvektor zu [mm] \lambda_1=2+\sqrt{2}i [/mm] ist [mm] \pmat{\sqrt{2}i-1\\1}=:u.
[/mm]
Also berechne ich Real- und Imaginärteil von [mm] e^{\lambda_1*x}u.
[/mm]
[mm] \large e^{\lambda_1*x}u=e^{(2+\sqrt{2}i)*x}u=e^{2x}u(\cos(\sqrt{2}x)+i\sin(\sqrt{2}x))=e^{2x}\left(\pmat{-\cos(\sqrt{2}x)-\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x)\\\cos(\sqrt{2}x)}+i\pmat{-\sin(\sqrt{2}x)+\sqrt{2}\cos(\sqrt{2}x)\\\sin(\sqrt{2}x)}\right)
[/mm]
[mm] =:e^{2x}*(\varphi_1(x)+i*\varphi_2(x))
[/mm]
Daran erkennt man den Real- und Imaginärteil.
Damit ist eine Fundamentalmatrix [mm] \Phi [/mm] die Matrix mit den Spalten [mm] e^{2x}*\varphi_1(x) [/mm] und [mm] e^{2x}*\varphi_2(x) [/mm] und die allgemeine Lösung [mm] y=\Phi(x)*c, c\in\IR^2.
[/mm]
Ich bin mir zwar recht sicher, dass das stimmt. Ich möchte aber darum bitten, dass jemand noch einmal drübersieht. Danke!
Gruß,
pyw
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Hallo pyw,
> Finden Sie die reellen Lösungen von [mm]y'=\pmat{1&-3\\1&3}y.[/mm]
> Hallo,
>
> ich bezeichne die Matrix mit A. Dann sind die Eigenwerte
> von A: [mm]\lambda_{1/2}=2\pm\sqrt{2}i.[/mm]
>
> Die allgemeine reelle Lösung ist nun gemäß der
> Vorlesung:
>
> [mm]y'=c_1*Re\left(e^{\lambda_1*x}u\right)+c_2*Im\left(e^{\lambda_1*x}u\right)[/mm]
> (Das haben wir aber nicht gezeigt bekommen).
>
> Ein Eigenvektor zu [mm]\lambda_1=2+\sqrt{2}i[/mm] ist
> [mm]\pmat{\sqrt{2}i-1\\1}=:u.[/mm]
> Also berechne ich Real- und Imaginärteil von
> [mm]e^{\lambda_1*x}u.[/mm]
>
> [mm]\large e^{\lambda_1*x}u=e^{(2+\sqrt{2}i)*x}u=e^{2x}u(\cos(\sqrt{2}x)+i\sin(\sqrt{2}x))=e^{2x}\left(\pmat{-\cos(\sqrt{2}x)-\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x)\\\cos(\sqrt{2}x)}+i\pmat{-\sin(\sqrt{2}x)+\sqrt{2}\cos(\sqrt{2}x)\\\sin(\sqrt{2}x)}\right)[/mm]
>
> [mm]=:e^{2x}*(\varphi_1(x)+i*\varphi_2(x))[/mm]
>
> Daran erkennt man den Real- und Imaginärteil.
>
> Damit ist eine Fundamentalmatrix [mm]\Phi[/mm] die Matrix mit den
> Spalten [mm]e^{2x}*\varphi_1(x)[/mm] und [mm]e^{2x}*\varphi_2(x)[/mm] und die
> allgemeine Lösung [mm]y=\Phi(x)*c, c\in\IR^2.[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Ich bin mir zwar recht sicher, dass das stimmt. Ich möchte
> aber darum bitten, dass jemand noch einmal drübersieht.
> Danke!
>
> Gruß,
> pyw
Gruss
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