lokaler Umkehrsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Für welche Punkte [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] in [mm] \IR^{2} [/mm] garantiert der lokale Umkehrsatz die Existenz einer Umgebung, in der [mm] f(x,y)=\vektor{x^{3} - x^{2} - 3xy^{2} + y^{2} \\ 3yx^{2} - 2xy - y^{3}} [/mm] injektiv ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo an alle,
an sich scheint die Aufgabe ja ganz einfach, mein Vorgehen wäre: (1) zeigen, dass die Funktion stetig differenzierbar ist und (2) Bestimmung der Determinante bzw. die x,y für die [mm] det(f'(x,y))\not=0 [/mm] (dann sind die Vorrausetzungen des lokalen Umkehrsatzes ja erfüllt und dementsprechend gibt es eine Umgebung etc.).
zu 1.) Die Ableitung ist [mm] f'(x,y)=\pmat{ 3x^{2} - 2x - 3y^{2} & -6xy+2y \\ 6xy-2y & 3x^{2} - 2x - 3y^{2}} [/mm] . f ist also differenzierbar und die Ableitungen sind stetig, also ist die stetige Differenzierbarkeit gegeben.
zu 2.) Wenn ich die Determinante von f'(x,y) bestimme, dann komme ich auf [mm] det=9x^{4}-12x^{3}+4x^{2}+18x^{2}y^{2}-12xy^{2}+9y^{4}+4y^{2} [/mm] .
Nun muss ich ja die x,y auschließen, für die der Term 0 wird. Aber wie mache ich denn jetzt weiter? Oder ist das Vorgehen falsch?
Vielen Dank, Steffen
|
|
| |
|
Hallo
> zu 2.) Wenn ich die Determinante von f'(x,y) bestimme, dann
> komme ich auf
> [mm]det=9x^{4}-12x^{3}+4x^{2}+18x^{2}y^{2}-12xy^{2}+9y^{4}+4y^{2}[/mm]
Das waere ziemlicher overkill, davon die Nullstellen zu berechnen. Deine Jacobimatrix ist eine konforme Abbildung, das heisst, sie hat die Gestalt
[mm] \pmat{ a & -b \\ b & a }
[/mm]
mit gewissen $a,b$ ,die von $x,y$ abhaengen. Die Determinate solcher Abbildungen ist [mm] $a^2+b^2$. [/mm] Das heisst, dass die Matrix singulaer ist, wenn $a=0$ und $b=0$ ist. Hilft dir das weiter?
LG Kornfeld
|
|
|
| |
|
Hallo,
(sorry für die späte Antwort/Frage). Ich bin mir nicht sicher, ob ich deinen Tip bzw. die Konsequenz für mein Vorgehen richtig verstehe. Die Determinante wird also genau dann null, wenn [mm] b^{2} [/mm] = 0 und [mm] a^{2} [/mm] = 0, also [mm] (3x^{2} [/mm] - 2x - [mm] 3y)^2 [/mm] + (6xy - [mm] 2y)^{2} [/mm] = 0
<-->
[mm] (3x^{2} [/mm] - 2x - [mm] 3y)^{2} [/mm] = (6xy - [mm] 2y)^{2}
[/mm]
<-->
[mm] 3x^{2} [/mm] - 2x - 3y = 6xy - 2y
<-->
[mm] 3x^{2} [/mm] - 2x - y - 6xy = 0
und jetzt die Nullstellen bestimmen?
Danke, Steffen
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> (sorry für die späte Antwort/Frage). Ich bin mir nicht
> sicher, ob ich deinen Tip bzw. die Konsequenz für mein
> Vorgehen richtig verstehe. Die Determinante wird also genau
> dann null, wenn [mm]b^{2}[/mm] = 0 und [mm]a^{2}[/mm] = 0, also [mm](3x^{2}[/mm] - 2x
> - [mm]3y)^2[/mm] + (6xy - [mm]2y)^{2}[/mm] = 0
> <-->
> [mm](3x^{2}[/mm] - 2x - [mm]3y)^{2}[/mm] = (6xy - [mm]2y)^{2}[/mm]
> <-->
Nein. aus [mm] $a^2=0$ [/mm] und [mm] $b^2=0$ [/mm] folgt, $a=0$ und $b=0$
> [mm]3x^{2}[/mm] - 2x - 3y = 6xy - 2y
> <-->
> [mm]3x^{2}[/mm] - 2x - y - 6xy = 0
> und jetzt die Nullstellen bestimmen?
>
> Danke, Steffen
LG Kornfeld
|
|
|
| |
|
Hallo kornfeld,
> Nein. aus [mm]a^2=0[/mm] und [mm]b^2=0[/mm] folgt, [mm]a=0[/mm] und [mm]b=0[/mm]
Ja klar. Aber der Punkt [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] ist ja in a und b enthalten, deshalb muss ich das doch gleichsetzen oder nicht ? Mal anders: Man sieht ja, dass die det für [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] null wird, d.h. für den Punkt [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] kann ich sagen, dass es keine Umgebung gibt etc. Was mich aber interessiert ist, ob es noch andere Punkte gibt bzw. ob [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] der einzige Punkt ist.
Danke nochmal, Steffen
|
|
|
| |
|
Ja klar. AUs [mm] $a^2+b^2=0$ [/mm] folgt $a=0$ UND $b=0$. D.h. du musst ein System loesen, naemlich
[mm] \begin{equation*}\left\{\begin{aligned}a(x,y)=0\\
b(x,y)=0\end{aligned}\right.\end{equation*}
[/mm]
Bringt dir das etwas?
LG Kornfeld
|
|
|
| |
|
Hallo kornfeld,
genau da habe ich Probleme, z.B. für 6xy - 2y folgt ja 6xy - 2y = y(6x-2), also y = 0 und x kann dann beliebig sein, oder?
Ich bin mir also nicht sicher, wie man Nullstellen bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen bestimmt. Gibts da einen Algorithmus?
Danke, Steffen
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe den Verlauf des Threads nicht bis in alle Einzelheiten studiert, im Moment jedenfalls scheint es darum zu gehen, wie man das Gleichungssystem
(1) 6xy - 2y=0
(2) [mm] 3x^{2} [/mm] - 2x - 3y=0
Es ist, wie Du bereits schriebst, 0=6xy - 2y=y(6x-2)=2y(3x-1).
Wann ist ein Produkt =0? Wenn einer der Faktoren =0 ist.
Also folgt
y=0 oder 3x-1=0
<==> y=0 oder [mm] x=\bruch{1}{3}
[/mm]
Du hast aus der Gleichung (1) bis hierher also folgende Erkenntniss gewonnen: wenn das GS bestehend aus (1) und (2) eine Lösung (x,y) hat, hat diese die Gelstalt (x,y)=(x,0) oder [mm] (x,y)=(\bruch{1}{3},y).
[/mm]
Informationen über die zweite Variable liefert Dir nun das Einsetzen in (2).
Untersuche hierzu beide Fälle getrennt:
A. (x,y)=(x,0)
Dann erhält man aus (2)
[mm] 3x^{2} [/mm] - 2x - 3*0=0
==> ???
B. [mm] (x,y)=(\bruch{1}{3},y)
[/mm]
Dann erhält man aus (2)
[mm] 3(\bruch{1}{3})^{2} [/mm] - [mm] 2\bruch{1}{3} [/mm] - 3*y=0
==> ...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Di 29.05.2007 | | Autor: | steffenhst |
Hallo Angela,
wie immer vielen Dank. Hatte es schon so ähnlich war mir aber nicht sicher, ob man es so machen kann. Jetzt sind alle Aufgaben auf dem Zettel gelöst.
Grüße, Steffen
|
|
|
|
