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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Mo 11.02.2008 | | Autor: | DoNiPa |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für eine endliche Gruppe G ungleich {e} folgende beiden Aussagen äquivalent sind:
a) G ist zyklisch von Primzahlpotenzordnung
b) G besitzt genau eine maximale Untergruppe |
Beweis =>
Ich weiß, dass für alle l aus {1,...,r-1} eine Untergruppe U der Ordnung [mm] p^l [/mm] existiert. (Ordnung von G sei [mm] p^r)
[/mm]
Also ist U mit Ordnung [mm] p^l [/mm] für l=r-1 eine maximale Untergruppe. Für den Zusatz der Eindeutigkeit finde ich in meinen Algebra-Büchern nur, dass dies evident sei.
Kann mir jemand einen tipp geben, wie ich das formal korrekt beweisen kann? Ich wollte versuchen, anzunehmen dass es zwei solche Untergruppen gibt und das zu einem Widerspruch führen, klappt aber irgendwie nicht =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Morgen!
Du kannst verwenden, dass die Gruppe zyklisch ist. Damit ist auch jede Untergruppe zyklisch. Eine Untergruppe der Ordnung [mm] $p^{r-1}$ [/mm] muss von einem Element von eben dieser Ordnung erzeugt werden und da gibt es nicht allzu viel Auswahl.
Es geht natürlich auch ein, dass $p$ eine Primzahl ist... ich hoffe, das hilft Dir etwas auf die Sprünge.
Gruß,
Lars
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:09 Mo 11.02.2008 | | Autor: | DoNiPa |
Ja, an das hab ich auch gedacht, nur stand ich wohl gewaltig auf der Leitung. Trotzdem danke!
Jedes Element aus G, das Ordnung p^(r-1) hat, kann natürlich nur in dieser maximalen Untergruppe sein und erzeugt eben diese... Somit is genau eine maximale Untergruppe, was zu zeigen war.
Reicht dann folgendes für die Rückrichtung <=
Sei U Untergruppe von G mit U maximal. Dann gilt für jedes Element g aus G ohne U: g erzeugt G. Somit ist G zyklisch.
Ist damit bereits klar, dass G Primzahlpotenzordnung hat? wenn ja warum? mir brummt bereits der Kopf ;))
lg kathrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 13.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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