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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Di 19.05.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Sei p>0 eine Primzahl. Beweisen Sie, dass es genau [mm] p^2 [/mm] nilpotente Matrizen [mm] \in Mat(2,\IF_p). [/mm] (man darf die Tatsache benutzen, dass in [mm] \IF_{p}^{x}, p\not=2 [/mm] genau die Hälfte der Elemente Quadrate sind). |
Hallo, ZUSAMMEN!!
Ich bräuchte dringend Hilfe bei der Aufgabe!!!
Habe überhaupt keine Ahnung, wie ich heran gehen soll!
Ich weiß, dass Tr(A)=0 und det(A)=0, weil A nilpotent ist. Ich hab das bei p=3 und p=5 untersucht, das funktioniert, aber das bringt mich nicht weiter!!!
Wäre sehr froh, wenn mir jemand antworten würde!!
Danke!!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:50 Mi 20.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei p>0 eine Primzahl. Beweisen Sie, dass es genau [mm]p^2[/mm]
> nilpotente Matrizen [mm]\in Mat(2,\IF_p).[/mm] (man darf die
> Tatsache benutzen, dass in [mm]\IF_{p}^{x}, p\not=2[/mm] genau die
> Hälfte der Elemente Quadrate sind).
Ehrlich gesagt: den Tipp braucht man nicht. Man kann das vermutlich auch anders loesen und dabei den Tipp gebrauchen, es geht aber auch ohne.
> Hallo, ZUSAMMEN!!
> Ich bräuchte dringend Hilfe bei der Aufgabe!!!
> Habe überhaupt keine Ahnung, wie ich heran gehen soll!
> Ich weiß, dass Tr(A)=0 und det(A)=0, weil A nilpotent ist.
> Ich hab das bei p=3 und p=5 untersucht, das funktioniert,
> aber das bringt mich nicht weiter!!!
Geh wie folgt vor: nimm dir eine beliebige Matrix $M = [mm] \pmat{ a & c \\ b & d }$. [/mm] Diese ist genau dann nilpotent, wenn $a + c = 0$ ist und [mm] $\vek{ a \\ b }$ [/mm] und [mm] $\vek{ c \\ d }$ [/mm] linear abhaengig sind.
Jetzt mach eine Fallunterscheidung:
1. Fall: $(a, b) = (0, 0)$. Hier gibt es genau $p$ Matrizen die auftreten koennen.
2. Fall: $(a, b) [mm] \neq [/mm] (0, 0)$. In diesem Fall gibt es ein [mm] $\lambda \in \IF_p$ [/mm] mit $c = [mm] \lambda [/mm] a$, $d = [mm] \lambda [/mm] c$.
Zeige hier zuerst, dass $b [mm] \neq [/mm] 0$ ist, und dass fuer $b [mm] \neq [/mm] 0$ es genau eine Wahl fuer [mm] $\lambda$ [/mm] gibt. Daraus folgt: es gibt hier $p [mm] \cdot [/mm] (p - 1)$ Faelle.
Zusammen bekommst du also $p + p (p - 1) = [mm] p^2$ [/mm] nilpotente Matrizen. (Und den Tipp brauchst du gar nicht.)
Ein alternatives Vorgehen ist ueber die Jordansche Normalform zu gehen. Nilpotente Matrizen sind entweder die Nullmatrix oder aequivalent zu $A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }$. [/mm] Wenn man jetzt ermitteln kann, wieviele Matrizen aequivalent zu $A$ sind, ist man fertig. Das ist allerdings nicht umbedingt gerade einfach 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Sa 23.05.2009 | | Autor: | math101 |
Vielen-vielen dank, Felix!!!
Gruß
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